g g 1 = g 1 g = e. (79)

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1 B Anhang B B.1 Kristallographische Symmetriegruppen B.1.1 Definition Eine Menge G = {g 1, g 2,...,g k,... } von Elementen g k nennt man eine Gruppe, wenn die Verknüpfung (Operator: ) der Elemente g k die folgenden Gruppenaxiome (76) (79) erfüllt: 1. Die Menge ist abgeschlossen: jedem geordneten Paar g k, g l ist genau ein Element g j G zugeordnet durch g j = g k g l (76) 2. Die Verknüpfung ist assoziativ (g j g k ) g l = g j (g k g l ). (77) 3. Es gibt das Einselement (Identität, neutrales Element) e mit den folgenden Eigenschaften: e g j = g j e = g j für alle g j G. (78) 4. Zu jedem g G gibt es ein inverses Element g 1 G mit g g 1 = g 1 g = e. (79) B.1.2 Grundbegriffe Gruppentafel: Gruppen können durch eine Gruppentafel dargestellt werden, wobei das Element a b im Schnittpunkt der Spalte (Zeile) von a und Zeile (Spalte) von b steht. Kommutativgesetz: Gilt g j g k = g k g j für alle Elemente g j, g k G, so heißt die Gruppe kommutativ oder abelsch. Ordnung einer Gruppe: Die Anzahl G der Elemente einer Gruppe G heißt die Ordnung der Gruppe. Ist die Ordnung G endlich, dann spricht man von einer endlichen Gruppe. Ist G aber nicht endlich, ist die Gruppe also von unendlicher Ordnung, dann liegt eine unendliche Gruppe vor. Zyklische Gruppen: Nach Axiom (76) ist für g G auch g g = g 2 G, allgemein g k G. Für endliche Gruppen muß es eine kleinste Zahl k mit g k = e geben. k heißt die Ordnung des Elements g. Die Menge {g, g 2,..., g k = e}, die durch wiederholtes Verknüpfen eines einzigen Elements entsteht, bildet eine Gruppe der Ordnung k. Derartige Gruppen nennt man zyklische Gruppen. Komplexmultiplikation: Eine beliebige Teilmenge A= {a 1, a 2, a 3,...} G heißt Komplex aus G. Ein solcher Komplex erfüllt im allgemeinen nicht die Gruppenaxiome. Ist B= {b 1, b 2, b 3,...} G ebenfalls ein Komplex aus G, so versteht man unter AB die Menge aller Verknüpfungen der beiden Komplexe A und B (Komplexmultiplikation): {a j b k }={a 1 b 1, a 1 b 2, a 1 b 3,..., a 2 b 1, a 2 b 2,...}. B-1

2 Erzeugendensystem: Ein Komplex von Elementen heißt ein Satz von Erzeugenden, wenn durch fortgesetzte Verknüpfung der erzeugten Elemente mit den Erzeugenden die ganze Gruppe gewonnen werden kann. Unter- und Obergruppen: Eine Teilmenge (Komplex) H G, die die Gruppenaxiome erfüllt, nennt man eine Untergruppe und schreibt dafür H G. Wenn die Ordnung H von H kleiner ist als die Ordnung G von G, spricht man von einer echten Untergruppe. G = G als Untergruppe von sich selbst und das für sich stets eine Gruppe bildende Einselement {e} sind triviale Untergruppen. H<G heißt maximale Untergruppe von G, wenn es keine Untergruppe F gibt, so daß H<F<G gilt. Ist H eine maximale Untergruppe von G, so nennt man G>H eine minimale Obergruppe von H. Theorem von Lagrange: Die Ordnung einer Untergruppe ist ein ganzzahliger Teiler der Ordnung ihrer Obergruppe. G/H = i heißt der Index von G in H. Isomorphie: Gruppen, die bis auf die Namen der Gruppenelemente die gleiche Gruppentafel besitzen (evtl. nach Umordnung der Zeilen und Spalten), heißen isomorph, d.h. es besteht eine umkehrbar eindeutige Zuordnung (Abbildung) zwischen den Elementen isomorpher Gruppen. Verschiedene isomorphe Gruppen sind spezielle Realisierungen einer gemeinsamen abstrakten Grupppe. B.1.3 Symmetriegruppen Wir stellen Symmetrieoperationen durch ein Matrix Spalte Paar (R, T) oder durch 4 4 Matrizen dar. Sowohl die Matrixmultiplikation als auch die Vektoraddition erfüllen die Gruppenaxiome (76) (79). Daher erfüllt auch der Seitz-Operator (R,T) diese Axiome. Die Menge der Symmetrieoperationen (R, T) einer Kristallstruktur bildet eine Gruppe, die sog. Raumgruppe der Struktur. (a) Raumgruppen Die Menge G = {(R, T)} der Symmetrieoperationen einer Kristallstruktur bildet eine (kristallographische) Raumgruppe. (b) Punktgruppen Die Menge P = {(R, 0)} = {R} der Symmetrieoperationen, die mindestens einen Punkt invariant läßt, bildet eine (kristallographische) Punktgruppe. (c) Holoedrien Die Punktgruppen der Gittersymmetrien nennt man Holoedrien. B-2

3 B.2 Kristallographische Raumgruppen (a) Translationengruppe T Die Menge aller Gittertranslationen (I, T n ) einer Raumgruppe G bildet eine Gruppe, denn sie erfüllen die Gruppenaxiome (76) (79) bezüglich der Addition als Verknüpfung der translativen Anteile (d.h. der Spaltenvektoren des Seitzoperators (R, T)). Das inverse Element ist jeweils die negative Gittertranslation (I, T n ), der Nullvektor ist das Einselement (I,0). Folglich bilden die Gittertranslationen eine Untergruppe der Raumgruppe, nämlich die sog. Translationengruppe T einer Kristallstruktur. (b) Nebenklassenzerlegung nach T Die Symmetrieoperationen einer Raumgruppe G lassen sich wie im oberen Teil der folgenden Tabelle so anordnen, daß jede Spalte jeweils nur (unendlich viele) Operationen mit demselben rotativen Anteil R i enthält: Raumgruppe G T j T j (R 2, T 2 )... T j (R k, T k ) (I,0) (R 2, T 2 + 0)... (R k, T k + 0) (I, T n2 ) (R 2, T 2 + T n2 )... (R k, T k + T n2 ).... (I, T nu ) (R 2, T 2 + T nu )... (R k, T k + T nu ).. Faktorgruppe G/T T T(R 2, T 2 )... T(R k, T k ) Punktgruppe P isomorph zu G/T I R 2... R k Die erste Spalte ist T selbst, repräsentiert durch die identische Abbildung (I, 0). Für die nächste Spalte wählt man irgendeine Symmetrieoperation (R 2, T 2 ) als Repräsentanten. Die Symmetrieoperationen dieser Spalte werden dann durch (I, T nu )(R 2, T 2 ) = (R 2, T 2 + T nu ) dargestellt. Jedes Element besitzt den gleichen rotativen Anteil R, d.h. jede Spalte wird durch eine Matrix R charakterisiert. So fährt man fort bis zum k-ten Repräsentanten (R k, T k ), wobei k die Anzahl der Matrizen R in der betrachteten Raumgruppe ist. Die einzelnen Symmetrieoperationen in einer Spalte unterscheiden sich nur in ihrem translativen Anteil. Eine derartige Zerlegung der Symmetrieoperationen einer Raumgruppe in Klassen mit gemeinsamen rotativen Anteilen I, R 2,...,R k bezeichnet man gruppentheoretisch als Nebenklassenzerlegung der Raumgruppe G nach der (abelschen) Gruppe der Translationen T. (c) Translationen-Normalteiler der Raumgruppen Dabei ist es gleich, ob man die rotativen Anteile von links oder von rechts mit den Gittertranslationen multipliziert. Die Translationengruppe T kommutiert nämlich mit den restlichen Symmetrieoperationen (R, T) der Raumgruppe G:. (R, T)(I, T n ) = (R, RT n + T) ; (I, T n )(R, T) = (R, T + T n ). (80). B-3

4 RT n + T und T + T n sind zwar normalerweise nicht dieselbe Symmetrieoperation (sofern R I), aber beide gehören zur selben Translationengruppe T und treten in der zu R gehörenden Nebenklasse tatsächlich beide auf. Eine Untergruppe, die diese für die Translationen gefundenen Eigenschaften besitzt, nennt man einen Normalteiler und schreibt dafür abkürzend T G. Die Translationengruppe T ist ein Normalteiler der Raumgruppe G. (d) Faktorgruppe G/T Da die Nebenklassen disjunkt sind (der rotative Anteil in den einzelnen Spalten ist verschieden), erhält man genau soviele Nebenklassen von G nach T wie es Matrizen R gibt. Die Nebenklassen verhalten sich wie Elemente einer Gruppe: 1. Die Komplexmultiplikation zweier Nebenklassen ergibt (Abgeschlossenheit): (R i, T i + T nu )(R j, T j + T nv ) = (R i R j, R i (T j + T nv ) + T i + T nu ) (81) für alle u, v = 1, 2,..., 2. Gruppenaxiom (78), die Existenz des Einselements, ist ebenfalls erfüllt: (I, T nu )(R j, T j + T nv ) = (R j, T j + T nv + T nu ) = (R j, T j + T nuv ). (82) Offensichtlich ist der Normalteiler (Translationengruppe T) das Einselement. 3. Gruppenaxiom (79), die Existenz des inversen Elements, ist genauso erfüllt, weil es zu jedem Operator (R, T) immer auch den inversen (R, T) 1 gibt. Folglich bildet die Translationengruppe zusammen mit ihren Nebenklassen eine Gruppe, die man die Faktorgruppe G/T der Raumgruppe G nach ihrer Translationengruppe T nennt. Die Nebenklassen, als Gruppenelemente der Faktorgruppe G/T, haben damit bezüglich der (Komplex-)Multiplikation die gleiche Gruppentafel (bis auf die Bezeichnung der Gruppenelemente) wie die Matrixteile R, durch die sie charakterisiert sind. Folglich: Die Faktorgruppe G/T ist isomorph zur Punktgruppe P. Die Ordnung dieser Faktorgruppe ist endlich; sie ist gleich der Ordnung P der Punktgruppe P der Raumgruppe G. (e) Hermann-Mauguin Symbole Die Nebenklassenzerlegung nach dem Translationennormalteiler ist die theoretische Grundlage der Hermann Mauguin Symbolik der Raumgruppen. Das erste Symbol bezeichnet das Bravaisgitter der Translationengruppe (Ebenengruppen: p, c; Raumgruppen: P, I, F, A, B, C, R). Darauf folgen bis zu drei Stellen mit den Symmetrieoperationen entlang der Blickrichtungen der konventionellen kristallographischen Zelle. Letztere bilden immer mindestens ein Erzeugendensystem. B-4

5 B.2.1 Symmorphe Ebenen und Raumgruppen Wiederholung des Symmetriegerüsts einer kristallographischen Punktgruppe P = {(R, 0)} auf den Punkten eines (zur Symmetrie passenden) Translationsgitters führt zur Klasse der symmorphen Raumgruppen. Wählt man den Usprung im Fixpunkt des Symmetriegerüstes der Punktgruppe, dann bilden die Operationen (R, 0) eine (echte) Untergruppe der erhaltenen Raumgruppe. Symmorphe Raum- und Ebenengruppen haben folgende Eigenschaften: G = {I, T n }{R, 0} = T P = P T. Alle Symmetrieoperationen der Punktgruppe P kommen in der Raumgruppe G vor. Es gibt Punkte mit der Lagesymmetrie der Punktgruppe P. P = G/T (die Punktgruppe ist ein Faktor der Raumgruppe). Das Hermann-Mauguin Symbol symmorpher Raumgruppen besteht aus dem Symbol des Bravaisgitters und einem Punktgruppensymbol. B.2.2 Nichtsymmorphe Ebenen und Raumgruppen Nicht-symmorphe Raum- und Ebenengruppen erfordern zur Erzeugung translationshaltige Symmetrieelemente, nämlich Schruabenachsen und/oder Gleitspiegelebenen. Sie haben folgende Eigenschaften: G = {I, T n }{R, T + T } T P. Es kommen nicht alle Symmetrieoperationen der Punktgruppe P = {R, 0} in der Raumgruppe G vor. Es gibt keinen Punkt mit der Lagesymmetrie der Punktgruppe P. P G/T (die Punktgruppe ist kein Faktor der Raumgruppe). Das Hermann-Mauguin Symbol nicht-symmorpher Raumgruppen enthält das Symbol mindestens einer Schraubenachse oder Geitspiegelebene, d.h die auf das Symbol des Bravaisgitters folgenden Stellen sind kein Punktgruppensymbol. B-5

6 B.3 Drehinversion und Drehspiegelung Die Drehinversion ist eine kombinierte Bewegung aus Drehung mit nachfolgender Inversion durch einen Punkt auf der Drehachse. Ihr gleichwertig ist eine Drehspiegelung; das ist eine aus Drehung mit nachfolgender Spiegelung an einer Spiegelebene senkrecht zur Drehachse kombinierte Bewegung. Die Inversion bringt im zweiten Schritt einen Punkt x, y, z nach x, y, z, die Spiegelebene spiegelt x, y, z nach x, y, z. Beide unterscheiden sich um eine Drehung durch 180 um z, dann genau das ist die Operation, die x, y, z nach x, y, z bringt. Deshalb gilt die folgende Äquivalenztabelle: Drehinversion : 1 2 m /m Drehspiegelung : S 2 C i S 1 C σ S 6 S 4 S 3 C 3h B Matrixdarstellung des Seitz-Operators Symmetrieoperationen haben wir mit Hilfe des Seitz-Operators als Matrix-Spaltenpaar (R, T) geschrieben. Oft benutzt man aber auch eine erweiterte 4 4-Matrixschreibweise: x 1 x 2 x 3 1 = r 11 r 12 r 13 t 1 r 21 r 22 r 23 t 2 r 31 r 32 r 33 t x 1 x 2 x 3 1, (83) die dasselbe Ergebnis liefert. Kürzer lautet das unter Verwendung partitionierter Matrizen ( ) ( ) ( ) X R T X =. (84) B-6

7 B.5 Bestimmung des Symmetrieelements einer Symmetrieoperation (R, T) In den IT/A sind für jede Raumgruppe unter Positions Coordinates Site symmetry 1 die Symmetrieoperationen in einer Art Kurzschrift angegeben. Es ist nicht das Matrix Spalte Paar (R, T) aufgeführt, sondern die Koordinaten der Bildpunkte (symmetrisch äquivalente Punkte), die bei Anwendung von (R, T) auf den Punkt mit den Koordinaten (x y z) (Punkt allgemeiner Lage) entstehen. Beispiel: Das Koordinaten Tripel y + 1 2, x + 1 2, z entsteht aus x, y, z durch die Symmetrieoperation x 2 y y + 2 = x (85) z 4 z Wie kann man aus diesen Angaben die Art und Lage des zugehörigen Symmetrieelements bestimmen? Wir gehen wie folgt vor: 1. Berechne det R; det R = +1: Drehung, det R = 1: Drehinversion. 2. Berechne die Spur Sp (R) = 2 cos ϕ + 1. Damit ist ϕ und auch der Typ der Drehung oder Drehinversion nach folgender Tabelle bestimmt: det R = +1 det R = 1 Sp (R) Typ = m Ordnung k Im Falle einer Drehung oder Spiegelung berechne 1 k k 1 j=0 R j T = T (86) Ist T = 0, so liegt eine reine Drehung oder Spiegelung vor. Ist T 0, so liegt eine Schraubung oder Gleitspiegelung mit dem Kennanteil T vor. 4. Die Fixpunkte einer Drehachse berechnet man aus (56). Die Lage einer Drehinversionsachse ergibt sich aus (R, T) 2 X F = (R 2, RT + T)X F = X F, (87) denn die zweimalige Ausführung einer Drehinversion ergibt in jedem Fall eine reine Drehung. Für eine Inversion 1 ist X F = 1 2 T. Für Schraubungen und Gleitspiegelungen berechnet man die Lage der entsprechenden Drehachse oder Spiegelebene aus (I R)X F = T = T T. (88) Das obige Beispiel ergibt eine Schraubung 4 1, deren zugehörige Drehachse in z Richtung steht. Kennanteil: T = (0, 0, 3 4 )t, Lageanteil: T = ( 1 2, 1 2, 0)t, Lagekoordinaten: X F = ( 1 2, 0, 0)t. Sie wird in den IT/A mit 4 (0, 0, 3 4 )1 2, 0, z bezeichnet und kommt z.b. in der Raumgruppe Nr.92 mit dem Raumgruppensymbol P vor. B-7

8 B.6 Graphische Symbole für Symmetrieelemente B.6.1 Punktsymmetrieelemente Abbildung 17: Graphische Symbole für Punktsymmetrieelemente. B-8

9 B.6.2 Translationshaltige Symmetrieelemente Abbildung 18: Graphische Symbole für translationshaltige Symmetrieelemente. B-9