Mathematisches Kaleidoskop II Materialien Teil 3. Dr. Hermann Dürkop

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1 Mathematisches Kaleidoskop II Materialien Teil 3 Dr. Hermann Dürkop info@ermanus.de

2 .3.3 Noch zwei Isomorphie-Beispiele Beispiel : Wir betrachten die Symmetrien eines nichtquadratischen Rechtecks. Für diese Figur ergeben sich 4 Deckbewegungen, nämlich die Identität e, die Spiegelung an der waagrechten Mittelline a, die Spiegelung an der senkrechten Mittellinie b und die Drehung c um 8 o. In unserer Permutationsschreibweise sind dies die Elemente e = ( b = ( ( a = ( c = Diese 4 Permutationen bilden die sogenannte Kleinsche Vierergruppe V 4, die nach dem Mathematiker Felix Klein benannt ist, der in seinem Erlanger Programm das Ziel gesteckt hatte, geometrische Eigenschaften durch die verschiedenen Transformationsgruppen zu charakterisieren, die jene invariant lassen. Die Multiplikationstafel von V 4 sieht so aus: e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e Offenbar ist dies eine abelsche Gruppe. Auch hier können wir wieder nach ein paar Matrizen Ausschau halten, die sich genauso verhalten wie die Element der Kleinschen Vierergruppe. 2

3 Die vier folgenden Matrizen haben offenbar die gleiche Multiplikationstafel wie die V 4 : E = ( + + B = ( + ( + A = ( C = Die Matrizengruppe { E, A, B, C } ist also isomorph zu V 4. Beispiel 2: Wir betrachten die Drehungen der Ebene (oder eines Quadrates um Vielfache von 9 o. Die 9 o -Drehung nennen wir d, dann ist offenbar d 4 die Identität e. Wir erhalten so eine Gruppe Z 4 = { e, d, d 2, d 3 }, die von nur einem Element erzeugt wird, nämlich z.b. von d. Eine Gruppe mit nur einem erzeugenden Element, die also nur aus den Potenzen eines ihrer Elemente besteht, heißt zyklisch. Die Matrizen E = ( + + D 2 = ( D = ( + D 3 = ( + benehmen sich ganz genauso wie die Elemente von Z 4, also ist die Matrizengruppe { E, D, D 2, D 3 } isomorph zu Z Wie kam ich auf die Matrizengruppe M 3 in.3.2? Um dies zu verstehen, muss man ein paar Dinge aus der linearen Algebra kennen. Ist Ihnen das hier Verwendete unbekannt, grämen Sie sich nicht, sondern überschlagen einfach diesen Abschnitt in dem Wissen, dass die Mathematik für Sie noch viele interessante Geheimnisse auf Lager hat. Wir betrachten den 3-dimensionalen reellen Vektorraum R 3. Mit {e, e 2, e 3 } werde die Standardbasis von R 3 bezeichnet: e =, e 2 =, e 3 =. Jedem Element p S 3 ordnen wir nun diejenige lineare Abbildung L p : R 3 R 3 zu, die e i gerade auf e p(i abbildet. 3

4 Auf diese Weise gehört zu d = ( die lineare Abbildung, die die Basiselemente folgendermaßen abbildet: e e 2, e 2 e 3, e 3 e. Ein allgemeiner Vektor wird dann durch L d so abgebildet: L s : x e + x 2 e 2 + x 3 e 3 x e 2 + x 2 e 3 + x 3 e, oder in Matrizenschreibweise: x x 2 x 3 x x 2 x 3 = Solche Matrizen, wie sie hier auftreten, die in jeder Zeile und jeder Spalte genau eine Eins und sonst nur Nullen enthalten, heißen sinnvollerweise Permutationsmatrizen, weil in ihren Spalten die permutierten Einheitsvektoren stehen. Wie in diesem Beispiel vorgerechnet, lässt sich jedem Element aus S 3 eine solche Matrix zuordnen und man erhält dadurch eine zu S 3 isomorphe Matrizengruppe aus 3x3-Matrizen. Wie kommt man aber nun zu den 2x2- Matrizen in M 3? Wir betrachten einmal den Vektor e + e 2 + e 3 = + + x 3 x x 2 = Dieser ändert sich offensichtlich nicht, wenn wie e, e 2, e 3 vertauschen. Man kann sich nun überlegen, dass dann Vektoren der Ebene, die senkrecht zu e + e 2 + e 3 ist, durch unsere Permutationsmatrizen wieder in diese Ebene abgebildet werden. Wir suchen daher eine Basis dieser Ebene zu bestimmen: Ein Vektor (x, x 2, x 3 liegt in dieser Ebene, wenn er auf dem Vektor (,, senkrecht steht. Zwei Vektoren stehen aber gerade dann auf einander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt = ist, d.h. wenn x x 2 x 3, = x + x 2 + x 3 = 4

5 ist. Man erkennt leicht, dass die Vektoren b := e e 3 = und b 2 := e e 2 = eine Basis der gesuchten Ebene bilden; denn sie liegen in dieser Ebene, sind nicht Vielfache von einander und ihre Anzahl ist gleich der Dimension der Ebene. Wir wollen sehen, was unsere Permutationsabbildungen L d und L s mit den Vektoren b und b 2 anstellen : L d (b = L d (e e 3 = L d (e L d (e 3 = e 2 e = b 2 = b + ( b 2 L d (b 2 = L d (e e 2 = L d (e L d (e 2 = e 2 e 3 = b b 2 = b + ( b 2 Die Transformationsmatrix bzgl. der Wirkung von L d in unserer Ebene lesen wir von den Koeffizienten der rechten Seite der Gleichungen nun ab: Für L s erhalten wir: ( A = L s (b = L s (e e 3 = L s (e L s (e 3 = e e 2 = b 2 = b + b 2 L s (b 2 = L d (e e 2 = L d (e L d (e 2 = e e 3 = b = b + b 2 Aus den Koeffizienten der rechten Seite ergibt sich: B = ( Das sind unsere Matrizen A und B, die M 3 erzeugen. Eine andere Basiswahl für die zu e + e 2 + e 3 orthogonale Ebene führt zu anderen Matrixdarstellungen, die aber alle zu einander isomorphe Matrizengruppen liefern..3.5 Ordnungen, Untergruppen, Satz von Lagrange Definition: Unter der Ordnung #G einer endlichen Gruppe G versteht man die Anzahl ihrer Elemente, die Ordnung eines Elementes x G ist die kleinste natürliche Zahl ord(x, für die x ord(x = e gilt. Für S 3 gilt z.b.: #S 3 = 6, ord(d = 3, ord(s = 2. 5

6 Für V 4 finden wir: #V 4 = 4, ord(a = ord(b = ord(c = 2. Vielleicht fällt Ihnen auf, dass die Ordnungen der Elemente immer Teiler der Gruppenordnung sind. Dieses Phänomen wollen wir hier noch ein wenig unter die Lupe nehmen. Zu diesem Zweck führen wir den Begriff der Untergruppe ein. Definition: Eine nichtleere Teilmenge H einer Gruppe G heißt Untergruppe von G, wenn sie unter der Verknüpfung von G selbst wieder eine Gruppe ist. Man kann leicht zeigen, dass das z.b. dann der Fall ist, wenn für alle a, b H gilt: a b H. Z.B. hat die Gruppe S 3 die folgenden Untergruppen: S 3, H d = {e, d, d 2 }, H s = {e, s}, H s2 = {e, ds}, H s3 = {e, d 2 s} und {e}. Wenn wir die Ordnungen der Untergruppen H... betrachten, bekommen wir: #H d = ord(d = 3, #H s = ord(s = 2, #H s2 = ord(ds = 2, #H s3 = ord(d 2 s = 2. Die hier betrachteten Untergruppen sind alle zyklisch, daher ist ihre Ordnung gleich der Ordnung ihrer erzeugenden Elemente. Die Beobachtung, dass bei endlichen Gruppen die Ordnung der einzelnen Elemente ein Teiler der Gruppenordnung ist, ergibt sich so aus dem allgemeinen Satz (Lagrange: Sei G eine endliche Gruppe, dann gilt für jede Untergruppe H von G: #H teilt #G. Die Beweisidee für diesen Satz möchte ich hier am Beispiel G = S 3 nur andeuten. Zuerst betrachten wir H = H d. Wir bilden die Menge Hs, die dadurch entsteht, dass alle Elemente von H von rechts her mit s multipliziert werden: Hs := { e s, d s, d 2 s} = {s, ds, d 2 s} Diese beiden Mengen H und Hs heißen Nebenklassen. Jedes Element von G kommt in genau einer der beiden Nebenklassen vor und beide Nebenklassen haben gleich viele, nämlich #H Elemente, daher ist #G = 2 #H, also ist #H ein Teiler von #G. 6

7 Als zweites Beispiel betrachten wir H = H s. Wir bilden wieder Nebenklassen von H so, dass jedes Element von G in genau einer Nebenklasse vorkommt: H = {e, s}, dh = {d e, d s} = {d, ds}, d 2 H = {d 2 e, d 2 s} = {d 2, d 2 s}. So bekommen wir drei verschiedene elementfremde Nebenklassen mit je #H Elementen, daher ist #G = 3 #H, also ist #H Teiler von #G. Man kann nun ganz allgemein zeigen, dass für beliebige Untergruppen einer endlichen Gruppe solche Nebenklassenaufteilung in lauter gleich große Bestandteile möglich ist, was dann den Satz von Lagrange beweist. 7