Lineare Algebra. Grundlagen der Vektorrechnung. fsg Verlag

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1 Rolf Stahlberger Alexander Golfmann Lineare Algebra Grundlagen der Vektorrechnung fsg Verlag

2 Impressum Herausgeber: FSG Verlag Alexander Golfmann Augustenstr München Version Nr.: Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jegliche unzulässige Form der Entnahme, des Nachdrucks, der Vervielfältigung, Veröffentlichung oder sonstiger Verwertung ist untersagt und wird strafrechtlich verfolgt. Alle Rechte vorbehalten FSG Verlag 2

3 Inhaltsverzeichnis 1 Zweidimensionaler Vektorraum Einführung Lineare Unabhängigkeit Skalarprodukt Hessesche Normalform 31 2 n-dimensionaler Vektorraum Einführung Lineare Unabhängigkeit Skalarprodukt Übungsaufgaben Zusammenfassung Allgemeine Übungen 75 3 Matrizenrechnung Einführung Multiplikation von Matrizen Spezielle Matrizen Übungsaufgaben

4 4 Lineare Gleichungssysteme Einführung Der Rang einer Matrix Lösen linearer Gleichungssysteme Inverse einer Matrix Input-Output Relationen Übungsaufgaben Übungsaufgaben LGS Hyperräume Zusammenfassung Lineare Planungsrechnung Einführung Grafische Lösung Simplex-Algorithmus Zusammenfassung Übungsaufgaben Simplex Übungsaufgaben gemischt

5 1 Zweidimensionaler Vektorraum 1.1 Einführung Wozu Vektorrechnung: Vektoren benötigt man beispielsweise zur Berechnung von Landkarten, für Routenplaner aber auch in den Naturwissenschaften und der Ökonomie. Zu Beginn einige Definitionen: IR 2 = IR x IR ist eine Zahlenmenge aus jeweils zwei reellen Zahlen, die zu einem Paar (sogenannte Zweitupel) zusammengefasst werden. Ein solches Paar ist etwa (2,1). Wir nennen IR 2 den zweidimensionalen Vektorraum. Ein Vektor ist ein Element der oben dargestellten Zahlenmenge IR 2. Wir unterscheiden nicht zwischen Punkt oder Vektor. Man schreibt den Vektor als Spaltenvektor in der Form Den Zeilenvektor erhält man, indem man den Spaltenvektor transponiert : Transponiert man den Zeilenvektor, erhält man wieder den Spaltenvektor: Der Vektor heißt der Nullvektor. Der Vektor und der Vektor heißen Einheitsvektoren des zweidim. Vektorraums. Ein (zweidimensionaler) Vektor ist als Pfeil darstellbar. Wir schreiben daher Vektoren benötigen zur Darstellung ein Koordinatensystem: Beispiel: Es seien die drei nachfolgenden Vektoren bzw. Punkte zu zeichnen. Dabei zeichnet man an der waagrechten x-achse (die Abszisse) die obere Komponente. Die untere Komponente des Vektors trägt man auf der senkrechten y-achse (Ordinate) ab. 5

6 Merke: In einem zweidimensionalen Vektor steht in der oberen Komponente der Wert, der auf der x-achse abzutragen ist. In der unteren Komponente steht der Wert für die y-achse. Abbildung 1 VEK OR y-achse 6 5 p 2.5 Q = x-achse R = 3 Abbildung 2 Rechenregeln für Vektoren - 1. Die Addition von Vektoren: Vektoren können genauso wie Zahlen addiert werden. Dabei ist jedoch zu beachten, dass die Vektoren aus dem gleichen Vektorraum stammen müssen. Bei der Addition wird komponentenweise aufaddiert. 6

7 Beispiel: Gegeben seien die folgen vier Vektoren. Die Summe der Vektoren erhalten wir komponentenweise. y x -5 P= (-7, -9) Abbildung 3 7

8 Rechenregeln für Vektoren - 1. Die Subtraktion von Vektoren: Vektoren können genauso wie Zahlen subtrahiert werden. Dabei ist jedoch zu beachten, dass die Vektoren aus dem gleichen Vektorraum stammen müssen. Bei der Subtraktion wird komponentenweise subtrahiert. Beispiel: Gegeben seien die folgen zwei Vektoren. Die Differenz der Vektoren erhalten wir komponentenweise. Man subtrahiert dabei einen Vektor b von einem anderen Vektor a, indem man das negative von Vektor b zu Vektor a addiert. y x -1-2 a-b -3 a+b a -4 -b -5 a -b Abbildung 4 8