Inhalt. Inhaltsverzeichnis. Einleitung Vektoralgebra

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1 3 Inhaltsverzeichnis Einleitung Vektoralgebra 1.1 Geometrische Darstellung von Vektoren Begriff des Vektors Inverser Vektor und Nullvektor Addition von Vektoren Parallelogrammregel Gesetze der Vektoraddition Zerlegung von Vektoren in Komponenten Anwendungsbeispiele Subtraktion von Vektoren Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Einheitsvektoren Darstellung von Vektoren im kartesischen Koordinatensystem Das räumliche kartesische Koordinatensystem Komponenten eines Vektors Addition und Subtraktion von Vektoren Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Betrag eines Vektors Richtungskosinus eines Vektors Skalarprodukt Definition Rechengesetze Winkel zwischen zwei Vektoren Projektion Vektorprodukt Definition Rechengesetze Normalenvektor Spatprodukt Gerade in vektorieller Darstellung Punkt-Richtungsform einer Geraden Abstand eines Punktes von einer Geraden Abstand zwischen parallelen Geraden Ebene in vektorieller Darstellung... 80

2 4 Ingenieurmathematik Punkt-Richtungsform einer Ebene Skalarform der Ebenengleichung Abstand eines Punktes von einer Ebene Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene Neigungswinkel einer Geraden gegen eine Ebene Übungsaufgaben Aufgaben zur geometrischen Darstellung von Vektoren Aufgaben zur Darstellung von Vektoren im kartesischen Koordinatensystem Aufgaben zum Skalarprodukt Aufgaben zum Vektor- und Spatprodukt Aufgaben zu Geraden und Ebenen Zeichenindex Komplexe Zahlen und Ortskurven 2.1 Definition der imaginären Einheit Normalform Definition der komplexen Zahl Geometrische Darstellung komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene Grundrechenoperationen Addition Subtraktion Multiplikation Division Betrag Polarform Definition Umrechnung von der Normalform in die Polarform Umrechnung von der Polarform in die Normalform Grundrechenoperationen Addition Subtraktion Multiplikation Division Satz von Moivre Potenzen mit reellen Exponenten Die n-te Wurzel einer komplexen Zahl Exponentialform

3 Eulersche Formel Rechenoperationen Multiplikation und Division Potenzen und Wurzeln mit reellen Exponenten Natürlicher Logarithmus Potenzen und Wurzeln mit komplexen Exponenten Ortskurven Definition Komplexe Ursprungsgerade Komplexe Gerade Komplexer Kreis um den Ursprung Komplexer Kreis in allgemeiner Lage Inversion der komplexen Geraden Inversion des komplexen Kreises in allgemeiner Lage Anwendungsbeispiel: Netzwerk mit Wechselstrom Übungsaufgaben Rechnen mit der Normalform Rechnen mit der Polar- und Exponentialform Aufgaben zu Ortskurven Zeichenindex Lineare Algebra 3.1 Matrizen Definition der Matrix Spezielle Matrizen Relationen zwischen Matrizen Addition und Subtraktion von Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Multiplikation von Matrizen Anwendungsbeispiele Aufbau weiterer Matrizen Determinanten Definition, Regel von Sarrus Anwendungsbeispiele aus der Vektoralgebra Determinantengesetze Entwicklungssatz nach Laplace Berechnung der inversen Matrix Matrizengleichungen Lineare Gleichungssysteme

4 6 Ingenieurmathematik Definitionen Inhomogenes System Berechnung der inversen Matrix nach dem Gauß-Jordan-Verfahren Cramersche Regel Lösbarkeit quadratischer linearer Gleichungssysteme Eigenwertprobleme Einführungsbeispiel: Linearschwinger Eigenwerte und Eigenvektoren Eigenschaften der Eigenwerte Aufgaben zur Matrizenrechnung Aufgaben zur Determinantenrechnung Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen Zeichenindex Folgen, Reihen und Funktionen 4.1 Zahlenfolgen Definition der Folge Grenzwert Endliche und unendliche Reihen Definition Konvergenz und Divergenz von unendlichen Reihen Arithmetische Reihen Geometrische Reihen Finanzmathematische Anwendungen Funktionen einer Veränderlichen Begriff der Funktion Darstellungsarten Funktionseigenschaften Nullstellen Symmetrieverhalten Monotonie Grenzwert einer Funktion Stetigkeit Ganzrationale Funktionen Definition der gebrochenrationalen Funktion Asymptoten Potenz- und Wurzelfunktionen Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten

5 Wurzelfunktionen Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten Exponential- und Logarithmusfunktionen Definition und Eigenschaften der Exponentialfunktion Trigonometrische Funktionen und Arkusfunktionen Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion Harmonische Schwingungen Arkusfunktionen Hyperbel- und Areafunktionen Einige spezielle Funktionen Betragsfunktion Stufenfunktion Sägezahnfunktion Gaußsche Glockenkurve Übungsaufgaben Aufgaben zu Folgen Aufgaben zu Reihen Aufgaben zu Funktionen Zeichenindex Anhang: Beweise 1. Eulersche Formel (zu 2.4.1) Inversion eines komplexen Kreises durch den Ursprung (zu 2.5.6) Komplexer Kreis in allgemeiner Lage (zu 2.5.7) Multiplikationstheorem für Determinanten (zu 3.2.3) Cramersche Regel (zu 3.3.4) Lösungswege 1. Vektoralgebra Komplexe Zahlen und Ortskurven Lineare Algebra Folgen, Reihen und Funktionen Indexverzeichnis Literaturverzeichnis