Mathematik. für das Ingenieurstudium. Jürgen Koch HANSER. Martin Stämpfle. 3., aktualisierte und erweiterte Auflage

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1 Jürgen Koch Martin Stämpfle Mathematik für das Ingenieurstudium 3., aktualisierte und erweiterte Auflage Mit 627 Abbildungen, 499 durchgerechneten Beispielen und 339 Aufgaben mit ausführlichen Lösungen im Internet HANSER

2 7 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Logik und Mengen Aussagenlogik Mengen Zahlen Natürliche Zahlen Ganze Zahlen Rationale Zahlen Reelle Zahlen Ordnung Intervalle Betrag und Signum Summe und Produkt Potenz und Wurzel Potenzen Potenzgesetze Wurzeln Binomischer Satz Trigonometrie Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck Winkel im Grad- und Bogenmaß Sinus- und Kosinussatz Gleichungen und Ungleichungen Lineare Gleichungen Potenzgleichungen Quadratische Gleichungen Wurzelgleichungen Ungleichungen Beweise Direkter Beweis Indirekter Beweis Konstruktiver Beweis Vollständige Induktion Aufgaben 55 2 Lineare Gleichungssysteme Einführung 57

3 8 Inhaltsverzeichnis 2.2 Gauß-Algorithmus Äquivalenzumformungen Vorwärtselimination Rückwärtseinsetzen Gaußsches Eliminationsverfahren Rechenschema Spezielle Typen linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen Systeme mit redundanten Gleichungen Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme Überbestimmte lineare Gleichungssysteme Homogene lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme mit Parametern Numerische Verfahren Jacobi-Iteration Gauß-Seidel-Iteration Anwendungen Produktion Netzwerkanalyse in der Elektrotechnik Aufgaben 79 3 Vektoren Der Begriff eines Vektors Vektorrechnung ohne Koordinaten Addition und Subtraktion Skalare Multiplikation Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung Vektoren in Koordinatendarstellung Koordinatendarstellung Addition und Subtraktion Skalare Multiplikation Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung Punkte, Geraden und Ebenen Kartesisches Koordinatensystem Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen Parameterfreie Darstellung von Geraden und Ebenen Schnitte von Geraden und Ebenen Abstände 113

4 Inhaltsverzeichnis Winkel Anwendungen Kraft Arbeit Drehmoment Aufgaben Matrizen Der Begriff einer Matrix Rechnen mit Matrizen Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation Multiplikation von Matrizen Determinanten Determinante einer (2,2)-Matrix Determinante einer (3,3)-Matrix Determinante einer (n.n)-matrix Inverse Matrix Invertierbare Matrizen Inverse einer (2,2)-Matrix Inverse Matrix und lineares Gleichungssystem Lineare Abbildungen Matrizen als Abbildungen Kern, Bild und Rang Eigenwerte und Eigenvektoren Numerische Verfahren Anwendungen Aufgaben Funktionen Relationen und Funktionen Relationen Funktionen Reelle Funktionen Definitionsmenge, Zielmenge und Wertemenge Wertetabelle und Schaubild Explizite und implizite Darstellung Abschnittsweise definierte Funktionen Funktionsschar Verkettung von Funktionen Eigenschaften Symmetrie Periode Monotonie Beschränktheit Das Prinzip der Umkehrfunktion 184

5 10 Inhaltsverzeichnis 5.5 Anwendungen Messwerte Kennfelder Aufgaben Elementare Funktionen Potenz- und Wurzelfunktionen Potenzfunktionen Wurzelfunktionen Polynome und gebrochenrationale Funktionen Polynome Gebrochenrationale Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens und Arkusfunktionen Definition am Einheitskreis Eigenschaften Allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion Arkusfunktionen Exponential- und Logarithmusfunktionen Exponentialfunktionen Die e-funktion Logarithmusfunktionen Hyperbel- und Areafunktionen Hyperbelfunktionen Areafunktionen Anwendungen Freileitungen Industrieroboter Aufgaben Folgen, Grenzwert und Stetigkeit Folgen Zahlenfolgen Grenzwert einer Folge Funktionsgrenzwerte Stetigkeit Asymptotisches Verhalten Numerische Verfahren Berechnung von Funktionswerten Bisektionsverfahren Anwendungen Aufgaben Differenzialrechnung Steigung und Ableitungsfunktion Tangente und Differenzierbarkeit Differenzial 265

6 Inhaltsverzeichnis Ableitungsfunktion Mittelwertsatz der Differenzialrechnung Höhere Ableitungen Ableitungstechnik Ableitungsregeln Ableitung der Umkehrfunktion Logarithmisches Differenzieren Implizites Differenzieren Zusammenfassung Regel von Bernoulli-de l'hospital Geometrische Bedeutung der Ableitungen Neigungswinkel und Schnittwinkel Monotonie Krümmung Lokale Extrema Wendepunkte Globale Extrema Numerische Verfahren Numerische Differenziation Newton-Verfahren Sekantenverfahren Anwendungen Fehlerrechnung Extremwertaufgaben Momentan- und Durchschnittsgeschwindigkeit Aufgaben Integralrechnung Flächenproblem Integralsymbol Integral als Grenzwert von Summen Bestimmtes Integral Zusammenhang von Ableitung und Integral Integralfunktion Stammfunktion Bestimmtes Integral und Stammfunktion Mittelwertsatz der Integralrechnung Integrationstechnik Integrationsregeln Integration durch Substitution Partielle Integration Gebrochenrationale Funktionen Uneigentliche Integrale Länge, Flächeninhalt und Volumen Flächeninhalte 341

7 12 Inhaltsverzeichnis Bogenlänge Rotationskörper Numerische Verfahren Trapezregel Romberg-Verfahren Anwendungen Effektivwert Schwerpunkte und statische Momente ebener Flächen Aufgaben Potenzreihen Unendliche Reihen Potenzreihen und Konvergenz Taylor-Reihen Eigenschaften Numerische Verfahren Anwendungen Aufgaben Kurven Parameterdarstellung Kegelschnitte Tangente Krümmung Bogenlänge Numerische Verfahren Anwendungen Mechanik Straßenbau Aufgaben Funktionen mit mehreren Variablen Definition und Darstellung Definition einer Funktion mit mehreren Variablen Schaubild einer Funktion mit mehreren Variablen Schnittkurven mit Ebenen und Höhenlinien Grenzwert und Stetigkeit Grenzwert einer Funktion mit mehreren Variablen Stetigkeit Differenziation Partielle Ableitungen und partielle Differenzierbarkeit Differenzierbarkeit und Tangentialebene Gradient und Richtungsableitung Differenzial Höhere partielle Ableitungen Extremwerte 423

8 Inhaltsverzeichnis Ausgleichsrechnung Methode der kleinsten Fehlerquadrate Ausgleichsrechnung mit Polynomen Lineare Ausgleichsrechnung Vektorwertige Funktionen Numerische Verfahren Mehrdimensionales Newton-Verfahren Gradientenverfahren Anwendungen Aufgaben 13 Komplexe Zahlen und Funktionen Definition und Darstellung Komplexe Zahlen Gaußsche Zahlenebene Polarkoordinaten Exponentialform Rechenregeln Gleichheit Addition und Subtraktion Multiplikation und Division Rechnen mit der konjugiert komplexen Zahl Rechnen mit dem Betrag einer komplexen Zahl Potenzen, Wurzeln und Polynome Potenzen Wurzeln Fundamentalsatz der Algebra Komplexe Funktionen Ortskurven Harmonische Schwingungen Transformationen Anwendungen Aufgaben Gewöhnliche Differenzialgleichungen Einführung Grundbegriffe Anfangswert- und Randwertproblem Richtungsfeld und Orthogonaltrajektorie Differenzialgleichung und Funktionenschar Differenzialgleichungen erster Ordnung Separation der Variablen Lineare Substitution Ähnlichkeitsdifferenzialgleichungen Lineare Differenzialgleichungen Homogene und inhomogene lineare Differenzialgleichungen 484

9 14 Inhaltsverzeichnis Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung Allgemeine Eigenschaften Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Schwingungsdifferenzialgleichungen Allgemeine Form Freie Schwingung Harmonisch angeregte Schwingung Frequenzgänge Differenzialgleichungssysteme Eliminationsverfahren Zustandsvariablen Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten Lineare Differenzialgleichung als System Stabilität Numerische Verfahren Polygonzugverfahren von Euler Euler-Verfahren für Differenzialgleichungssysteme Anwendungen Temperaturverlauf Radioaktiver Zerfall Freier Fall mit Luftwiderstand Feder-Masse-Schwinger Pendel Wechselstromkreise Aufgaben Differenzengleichungen Lineare Differenzengleichungen Differenzengleichungen erster Ordnung Differenzengleichungen höherer Ordnung Systeme linearer Differenzengleichungen Homogene Systeme erster Ordnung Inhomogene Systeme erster Ordnung Asymptotisches Verhalten Anwendungen Aufgaben Fourier-Reihen Fourier-Analyse Periodische Funktionen Trigonometrische Polynome Fourier-Reihe Satz von Fourier Gibbssches Phänomen Komplexe Darstellung Komplexe Fourier-Reihe 571

10 Inhaltsverzeichnis Berechnung komplexer Fourier-Koeffizienten Spektrum Minimaleigenschaft Eigenschaften Symmetrie Integrationsintervall Mittelwert Linearität Ähnlichkeit und Zeitumkehr Zeitverschiebung Aufgaben Verallgemeinerte Funktionen Heaviside-Funktion Dirac-Distribution Verallgemeinerte Ableitung Faltung Anwendungen Aufgaben Fourier-Transformation Integraltransformation Definition Darstellung mit Real- und Imaginärteil Sinus- und Kosinustransformation Transformation gerader und ungerader Funktionen Darstellung mit Amplitude und Phase Eigenschaften Linearität Zeitverschiebung Amplitudenmodulation Ähnlichkeit und Zeitumkehr Inverse Fourier-Transformation Definition Vertauschungssatz Linearität Differenziation, Integration und Faltung Differenziation im Zeitbereich Differenziation im Frequenzbereich Multiplikationssatz Integration Faltung Periodische Funktionen Fourier-Transformation einer Fourier-Reihe Koeffizienten der Fourier-Reihe Grenzwertbetrachtung 626

11 15 Inhaltsverzeichnis 18.6 Anwendungen Lineare zeitinvariante Systeme Tiefpassfilter Aufgaben Laplace-Transformation Bildbereich Definition Laplace- und Fourier-Transformation Eigenschaften Linearität Ähnlichkeit Zeitverschiebung Dämpfung Differenziation, Integration und Faltung Differenziation Integration Faltung Grenzwerte Transformation periodischer Funktionen Rücktransformation Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen Anwendungen Aufgaben z-transformation Transformation diskreter Signale Definition z-transformation und Laplace-Transformation Eigenschaften Linearität Dämpfung Verschiebung Vorwärtsdifferenzen Multiplikationssatz Diskrete Faltung Lösung von Differenzengleichungen Anwendungen Aufgaben Elementare Zahlentheorie Teilbarkeit Kongruente Zahlen Primzahlen Aufgaben 690

12 Inhaltsverzeichnis 17 A Anhang 691 A.l Bedeutende Mathematiker 691 A.2 Trigonometrische Funktionen 708 A.3 Ableitungen 709 A.4 Ableitungsregeln 709 A.5 Integrale 710 A.6 Integralregeln 711 A.7 Potenzreihen 711 A.8 Fourier-Reihen 712 A.9 Korrespondenzen der Fourier-Transformation 714 A.10 Eigenschaften der Fourier-Transformation 716 A.ll Korrespondenzen der Laplace-Transformation 717 A.12 Eigenschaften der Laplace-Transformation 718 A.13 Korrespondenzen der z-transformationen 719 A.14 Eigenschaften der z-transformatioren 719 A.15 Griechisches Alphabet 720 Literaturverzeichnis 721 Sachwortverzeichnis 723