EINFÜHRUNG IN DIE ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA

Transkript

1 EINFÜHRUNG IN DIE ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA VON SIEGFRIED BREHMER UND HORST BELKNER MIT 146 A B B I L D U N G E N VEB DEUTSCHER VERLAG DER WISSENSCHAFTEN BERLIN 1966

2 INHALTSVERZEICHNIS I. Affine Geometrie der Ebene Verschiebungen Begriff Repräsentanten von Verschiebungen Addition von Verschiebungen Subtraktion von Verschiebungen Entgegengesetzte Verscliiebung ; Ortsverschiebung Streckungen G Begriff Rcchengesetze für Streckungen Vektoren Linearkombiuationen. Lineare Abhängigkeit Basis des Vektorraumes der Ebene Koordinatensysteme Geraden Geradengleichungen Zweipunktegleichung ' Lagerelationen. Schnittpunkte von Geraden Geradenbüschel ' Kollineare Punkte ^ Teilverhältnisse Begriff Satz von CEVA Doppelverhältnis Satz von MENELAOS Satz von DESARGUES Koordinatentransformationeu und affine Abbildungen Koordinatcntransforinationen Affine Abbildungen Metrische Geometrie der Ebene : 4/ 2.1. Drehungen Drehsinn Drehwinkel Winkelfunktionen Kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten Winkel zwischen A^ektoren bzw. Geraden Drehung des Koordinatensystems 53

3 VI11 Inhaltsverzeichnis 2.2. Das Skalarprodukt Begriff Das Skalarprodukt in der Koordinatendarstellung Rechenregeln für das Skalarprodukt / Zerlegung in Parallel- und Normalkomponente Das Flächenprodukt Begriff Das Flächenprodukt in der Koordinatendarstellung Rechenregeln für das Flächenprodukt Zerlegung in Parallel- und Normalkomponente Zerlegung in Komponenten Gegenüberstellung der Eigenschaften von Skalar- und Flächenprodükt Geraden Stellungsvektor Orientierung durch den Stellungsvektor : Hessesche Normalform Abstand eines Punktes von einer Geraden Spiegelung an einer Geraden Anwendung auf die Dreieckslehrc Kosinussatz Sinussatz Höhenschnittpuidvt Umkreiszentrum Eulersche Gerade Winkelhalbierende Kreislehre Kreisgleichung Kreis und Gerade Potenz Potenzlinie.' Polare."' ' Elemente der Kegelschnittslehre Ellipse Hyperbel Brennpunktseigenschaften von Ellipse und Hyperbel Parabel Lineare Algebra Das Gaußsche Eliminierungsverfahren zur Auflösung linearer Gleichungssysteme, Lineare Gleichungssysteme Äquivalente Gleichungssysteme Transformation auf.trapezform Die Lösungsmannigfaltigkeit Homogene Gleichungssysteme Vektorräume Die Moduleigenschaften von Vektorräumen Die Eigenschalten der Operatoranwendung in Vektorräumen Vektorschreibweise für lineare Gleichungssysteme 110

4 Inhaltsverzeichnis IX Lineare Abhängigkeit Rang. Dimension. Basis Unterräume Inneres Produkt Der Rang des Lösungsraumes eines homogenen linearen Gleichungssystems Matrizen Grundbegriffe Rang einer Matrix Vektorraum der Matrizen gleichen Typs Multiplikation von Matrizen Matrizen als lineare Abbildungen Hauptsätze über lineare Gleichungssysleme Inverse einer regulären Matrix Darstellung elementarer Umformungen durch Matrizenprodukte ' Determinanten Determinanten von zweireihigen Matrizen Determinanten von dreireihigen Matrizen Induktive Determinantendefinition Determinanteneigenschaften Berechnung von Determinanten Leibnizsche Determinantendefinition Weitere Determinantendefinitioneii Explizite Darstellung der Inversen. Cramersche Regel Rangkriterium von FROBENIUS. Regelfall Einführung in die Theorie der linearen Optimierung Problemstellung Basisfolgen Simplextransformation Zulässige Basisfolgen Das Optimierungsverfahren Die Ermittlung einer nichtnegativen Basislösung ^ Affine Geometrie des Raumes Grundbegriffe ' Axiome der räumlichen affinen Geometrie Räumliche Koordinatensysteme Geraden und Ebenen ' Parametergleichung der Geraden Ebenengleichungen Lagerelationen Kollinearitätskriterium. Komplanaritätskriterium Metrische Geometrie des Raumes Axiome der räumlichen metrischen Geometrie Produkte von Vektoren Das Skalarprodukt Das vektorielle Produkt Spatvolumen. Spatprodukt 239

5 X Inhaltsverzeichnis Das dreifache vektorielle Produkt Das skalare Produkt zweier vektorieller Produkte Das vektorielle Produkt zweier vektorieller Produkte Reziproke Vektortripel Geraden und Ebenen Parameterfreie Ebenengleichung Hessesche Normalform. Abstand eines Punktes von einer Ebene bzw. Geraden ?3. Abstand windschiefer Geraden Winkel zwischen zwei Ebenen. Winkel zwischen Gerade und Ebene Projektion von ebenen Flächenstücken Mehrdimensionale Räume Affine und äquiaffine Räume Koordinatensysteme. Lineare Teilräume Volumenverhältnis. Äquiaffine Räume Metrische Räume Skalarprodukt Orthonormierte Basis. Das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren Koordinatentransformationen Affine Koordinatentransformiitionen Transformation von kartesischen Koordinatensystemen Orthogonale Matrizen Affine Abbildungen : Regriff und Eigenschaften Matrixdarstellung affiner Abbildungen Produkte affiner Abbildungen Affine Transformationen : Begriff ^ Äquiaffine Transformationen Metrische Transformationen Ähnlichkeitstransformalionen Kurven und Flächen zweiter Ordnung Die allgemeine Gleichung zweiten Grades Summenschreibweise der allgemeinen Gleichung zweiten Grades Die allgemeine Gleichung zweiten Grades in Malrizenschreibweise Kurven und Flächen zweiter Ordnung mit Mittelpunkt Hauptachsentransformation Problemstellung ' Eigenwerte und Eigenvektoren 281 ~ Realität der Eigenwerte ' Orthogonale Transformationen von symmetrischen Matrizen Klassifikation der Kurven und Flächen zweiter Ordnung mit singulärem Gebilde Die Normalform I Das Ellipsoid Das einschalige Hyperboloid Das zweischalige Hyperboloid 291

6 Inhaltsverzeichnis XI Der Kegel Die Kurven und die Zylindcrflächen zweiter Ordnung Klassifikation der Kurven und Flächen zweiter Ordnung ohne singuläres Gebilde Die Normalform II Das elliptische Paraboloid Das hyperbolische Paraboloid Die restlichen Fälle ' Die Transformation auf die Normalform II Tangenten und Polaren Schnittpunkte einer Geraden mit einer Hyperfläche zweiter Ordnung Tangente einer Kurve zweiter Ordnung Tangentialebene einer Fläche zweiter Ordnung Polare Definite quadratische Formen 301 Lösungen der Aufgaben 303 Namen- und Sachverzeichnis 359