Ina Kersten Analytische Geometrie und Lineare Algebra 1. L A TEX-Bearbeitung von Stefan Wiedmann

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1 Ina Kersten Analytische Geometrie und Lineare Algebra 1 L A TEX-Bearbeitung von Stefan Wiedmann Universitätsverlag Göttingen 2005

2 Voraussetzungen 11 1 Einige Grundbegriffe Die komplexen Zahlen Der n-dimensionale Raum K n Lineare Gleichungssysteme in zwei Unbekannten Körper Gruppen Übungsaufgaben Vektorraumtheorie 22 2 Vektorräume Definition und Rechenregeln Beispiele für Vektorräume Untervektorräume Beispiele und Gegenbeispiele Der von einer Teilmenge aufgespannte Teilraum Erzeugendensysteme Summen von Vektorräumen Übungsaufgaben Basis und Dimension Lineare Unabhängigkeit Kriterium für lineare Abhängigkeit Definition einer Basis und Beispiele Eindeutigkeit der Basisdarstellung Charakterisierende Eigenschaften einer Basis Existenzsatz Basisergänzungssatz Austauschsatz Folgerung aus dem Austauschsatz Dimension eines K-Vektorraums 42

3 3.11 Weitere Folgerungen aus dem Austauschsatz Dimension eines Untervektorraums Dimensionssatz Übungsaufgaben Lineare Abbildungen Definitionen Beispiele Existenz- und Eindeutigkeitssatz Eigenschaften von linearen Abbildungen Isomorphismen von K-Vektorräumen Klassifikationssatz für endlich dimensionale Vektorräume Dimensionsformel Folgerung aus der Dimensionsformel Beispiele für unendlich dimensionale Vektorräume Rechenregeln für lineare Abbildungen Übungsaufgaben 20 und Matrizenkalkül 56 5 Matrizen und lineare Abbildungen Matrizen Produkt von Matrizen Transponierte Matrix Die Matrix Mg(/) einer linearen Abbildung / Die Dimension von Homx(V,W) Die Darstellungsmatrix M^(/ 09) Invertierbare Matrizen Basiswechsel in V Basiswechsel und Darstellungsmatrix Eine geschickte Basiswahl Die Standardabbildung zu einer Matrix Faktorisierung einer linearen Abbildung Rang einer Matrix Rang und Invertierbarkeit Zeilenrang einer Matrix Übungsaufgaben Lineare Gleichungssysteme Beispiele Lösbarkeitskriterien Die Menge der Lösungen Elementare Umformungen einer Matrix Elementare Umformungen und die Lösungsmenge Gaußscher Algorithmus (m = n = rang A) 81

4 6.7 Verfahren zur Inversion einer Matrix Gaußscher Algorithmus Übungsaufgaben Die Determinante einer n x n-matrix Definition der Determinante Eigenschaften der Determinante Beweis der Eindeutigkeitsaussage in Laplacescher Entwicklungssatz Die Determinante einer oberen Dreiecksmatrix Kriterium für invertierbare Matrizen Determinante der transponierten Matrix Multiplikationssatz für Determinanten Kästchenregel Methode zur Berechnung der inversen Matrix Cramersche Regel Die spezielle lineare Gruppe Die Determinante eines Endomorphismus Zur Bedeutung der Determinante Übungsaufgaben Eigenwertprobleme Ähnliche Matrizen und Diagonalisierbarkeit Eigenwerte und Eigenvektoren Kriterium für Diagonalisierbarkeit Wann sind Eigenvektoren linear unabhängig? Einschub über Polynome Charakteristisches Polynom Eigenräume Hauptsatz über Diagonalisierbarkeit Rechenschritte zur Diagonalisierung Trigonalisierbarkeit Übungsaufgaben Vektorräume mit geometrischer Struktur Euklidische und unitäre Vektorräume Involution auf K Metrik auf V Die zu einer Metrik s gehörende Matrix M ß (s) Basiswechsel Skalarprodukt Standardskalarprodukt Cauchy-Schwarzsche Ungleichung Winkel 132

5 9.9 Orthonormalbasen Selbstadjungierte Endomorphismen Spektralsatz Hermitesche und symmetrische Matrizen Hauptachsentransformation ,«Übungsaufgaben Orthogonale und unitäre Abbildungen Metrische Abbildungen Die Matrix M (/) einer Isometrie / Lineare Gruppen Bestimmung der orthogonalen 2 x 2-Matrizen Orthogonale und unitäre Endomorphismen Orthogonale und unitäre Matrizen Spiegelungen Drehungen von R Fixpunkte orthogonaler Abbildungen Drehungen von R Übungsaufgaben Abbildungsverzeichnis 159 Literaturverzeichnis 160 Index 162