4.3 Bilinearformen. 312 LinAlg II Version Juni 2006 c Rudolf Scharlau

Transkript

1 312 LinAlg II Version Juni 2006 c Rudolf Scharlau 4.3 Bilinearformen Bilinearformen wurden bereits im Abschnitt 2.8 eingeführt; siehe die Definition Die dort behandelten Skalarprodukte sind spezielle Bilinearformen. Definition Es sei K ein Körper, V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, A = (v 1,..., v n ) eine Basis von V und b : V V K eine Bilinearform auf V. Die Gram-Matrix von b bezüglich A ist definiert als G A (b) = (g ij ) K n n, g ij := b(v i, v j ). Wir erinnern an die Bilinearform b S auf K n aus Beispiel 2.8.3, die durch eine n n-matrix S definiert wird. Die Gram-Matrix dieser Bilinearform bezüglich der Standardbasis E von K n ist S selbst: G E (b S ) = S. Die folgende Bemerkung sagt, daß in Koordinaten ausgedrückt jede Bilinearform so aussieht wie eine Bilineaform b S. Bemerkung a) Es seien V, B, b, G = G B (b) wie eben, v, w V und x, y ihre Koordinatenspalten bezüglich B. Dann gilt b(v, w) = n g ij x i y j. i,j=1 Insbesonders ist b durch seine Gram-Matrix eindeutig bestimmt. b) Wenn umgekehrt G eine beliebige n n-matrix ist, dann ist die gemäß a) definierte Abbildung b : V V K eine Bilinearform. Ihre Gram-Matrix bezüglich der gegebenen Basis ist G. c) Eine Bilinearform ist symmetrisch genau dann, wenn ihre Gram-Matrix (bezüglich irgendeiner Basis) sysmmetrisch ist. Korollar Jede Bilinearform auf K n ist von der Gestalt b S für eine eindeutig bestimmte Matrix S K n n. Beweis: Man nehme S := G E (b) und benutze a). Satz (Gram-Matrizen bei Basiswechsel) Es sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, b : V V K eine Bilinearform, und A, B zwei Basen von V mit Basiswechselmatrix S := M B A (Id V ). Dann besteht zwischen den Gram-Matrizen von b bezüglich A bzw. B die Beziehung G B (b) = S t G A (b) S.

2 LinAlg II Version Juni 2006 c Rudolf Scharlau 313 Definition und Bemerkung (Kongruenz von Matrizen) Zwei quadratische Matrizen A, A K n n heißen kongruent, falls eine invertierbare Matrix S GL n (K) existiert mit S t A S = A. Die so definierte Relation in K n n ist eine Äquivalenzrelation. Nach dem letzten Satz sind also verschiedene Gram-Matrizen zur selben Bilinearform alle kongruent zueiander, und dieses ist natürlich der Grund, warum man diese Definition einführt. Weiter gilt (analog zur Situation für Darstellungsmatrizen von Endomorphismen und die zugehörige Relation der Ähnlichkeit): Wenn G eine Gram-Matrix für b ist, also G = G B (b) für eine Basis B von V und G eine zu G kongruente Matrix, dann ist auch G eine Gram-Matrix für b. Satz sagt, wie man die Basis B definieren muß, die zur Matrix G führt. Aus Satz kann man auch ablesen, daß zwei Gram-Matrizen zur selben Bilinearform den gleichen Rang haben. Diese Beobachtung wird später vertieft, ist aber schon im Hintergrund der folgenden Begriffsbildung; siehe den folgenden Satz Definition Eine Bilinearform b : V V K heißt nicht-entartet, falls für alle v V gilt: x V : b(x, v) = 0 = v = 0 Satz Für eine Bilinearform b auf dem endlich-dimensionalen Vektorraum V sind die folgenden Aussagen äquivalent: (i) b ist nicht-entartet. (ii) Es gibt eine Basis A von V so, daß die Gram-Matrix G A (b) regulär ist. (iii) Für jede Basis A von V ist die Gram-Matrix G A (b) regulär. Bemerkung Es sei K = R. Dann ist jede positiv definite Bilinearform (d.h. jedes Skalarprodukt) insbesondere nicht-entartet. Satz Es sei K = R. Eine symmetrische Bilinearform ist genau dann positiv definit, wenn alle Eigenwerte ihrer Gram-Matrix (bezüglich irgendeiner Basis) positiv sind. Beweis(skizze): Wir benutzen entscheidend den Satz c) über die Diagonalisierbarkeit reeller symmetrischer Matrizen. Eine (zunächst willkürlich gewählte) Gram-Matrix G ist nicht nur ähnlich, sondern gleichzeitig auch kongruent zu einer Diagonalmatrix: S 1 GS = D = Diag(d 1, d 2,..., d n ), wobei natürlich die d i die Eigenwerte sind und ferner S eine orthogonale Matrix, also S 1 = S t ist. In geeigneten Koordinaten ist also b(v, v) = d i x 2 i, und dieses ist genau dann positiv für alle x R n { 0}, wenn alle d i positiv sind.

3 314 LinAlg II Version Juni 2006 c Rudolf Scharlau Wir kommen auf diese Aussage und vor allem ihren Beweis in der analytischen Geometrie unter dem Thema quadratische Formen und Quadriken zurück. Zunächst haben die Eigenwerte einer Gram-Matrix keine eigenständige Bedeutung: verschiedene Gram-Matrizen der gleichen Bilinearform werden in aller Regel auch verschiedene Eigenwerte haben. Vor dem nächsten Satz eine kleine, eigentlich fast selbsterklärende Notation: wenn b eine Abbildung ist, die auf einem kartesischen Produkt von Mengen definiert ist, b : X Y Z, dann bezeichnen wir für festes y mit b(, y) die Abbildung x b(x, y), also b(, y) : X Z. Analog auch b(x, ) : Y Z, y b(x, y), für festes x X. Dieses ist insbesondere auf Bilinearformen (mit einem Vektorraum X = Y und Z = K) anwendbar. Satz a) Wenn b : V V K eine Bilinearform ist, dann wird durch v b(, v) eine lineare Abbildung b : V V definiert. b) Wenn umgekehrt eine lineare Abbildung β : V V gegeben ist, dann wird durch b(v, w) := β(w)(v) eine Bilinearform auf V definiert; für diese gilt b = β. c ) Die Abbildung b b ist ein Isomorphismus zwischen dem Vektorraum Bil(V ) aller Bilinearformen auf V und dem Vektorraum L(V, V ). Direkt aus den Definitionen ergibt sich folgende Satz. Satz Eine Bilinearform b auf V ist genau dann nicht-entartet, wenn die zugehörige Abbildung b : V V injektiv ist. Satz (Darstellungssatz) Es sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und b : V V K eine nicht-entartete Bilinearform auf V. Dann kann jede Linearform ϕ : V K dargestellt werden in der Form ϕ(x) = b(x, v) (x V ) für einen eindeutig bestimmten Vektor v = v ϕ V Spezialfall Es (V,, ) ein euklidischer Vektorraum und ϕ : V R linear. Dann gibt es einen eindeutigen Vektor v V so, daß ϕ(x) = x, v für alle x V. Bemerkung Es sei V ein K-Vektorraum, b : V V K eine Bilinearform, b : V V wie in , A = (v 1,...,v n ) eine Basis von V und A die duale Basis von V. Dann ist die Gram-Matrix von b bezüglich A die Darstellungsmatrix von b bezüglich A und A : G A (b) = M A A ( b). Die nächste Definition ist eine unmittelbare, praktisch wörtliche Verallgemeinerung der entsprechenden Definition für Skalarprodukte. Wir fassen lediglich die damaligen Teile b) und c) zusammen.

4 LinAlg II Version Juni 2006 c Rudolf Scharlau 315 Bemerkung und Definition Es sei b : V V K eine symmetrische Bilinearform. a) Ein Vektor v V heißt orthogonal bezüglich b zu einem Vektor w V, falls b(v, w) = 0 ist. b) Für eine Teilmenge M V ist M = {x V v M : b(x, v) = 0} ein Untervektorraum von V. Er heißt der Orthogonalraum bezüglich b zu M. Falls M = {v} aus einem Element besteht, schreibt man v statt {v} Die Orthogonalitätsrelation auf V ist symmetrisch: v ist orthogonal zu w bezüglich b genau dann, wenn w orthogonal zu v bezüglich b ist. Dieses liegt an der vorausgesetzten Symmetrie von b. Wir können (wie bei Skalarprodukten) auch einfach sagen: v, w V sind orthogonal zueinander. Anders als bei euklidischen Vektorräumen steht hinter dem Orthogonalitätsbegriff im Allgemeinen keine Winkelmessung. Die übliche anschauliche Vorstellung von Senkrecht-Stehen ist selbst für K = R für allgemeine Bilinearformen nicht haltbar. Z.B. gibt es im allgemeinen Vektoren, die zu sich selbst orthogonal sind. Eine Interpretation der allgemeinen Orthogonalität wird in der analytischen Geometrie gegeben. Die Interpretation des Orthogonalraums als Kern einer linearen Abbildung liegt in der gleichen From auch für allgemeine Bilinearformen vor. Nach Satz haben wir sogar eine Bezeichnung für diese Abbildung: v = Kern b(v). Die Bemerkung bleibt richtig: die Bedingung für den Orthogonalraum muß man nur für die Vektoren eines Erzeugendensystems testen. Die aus Satz bekannte Direkte-Summen-Zerlegung eines euklidischen Vektorraumes in einen Unterraum U und sein orthogonales Komplement U bleibt für allgemeine Bilinearformen und beliebige Unteräume U nicht richtig. Wenn z.b. U = Kv eindimensional und b(v, v) = 0 ist, dann ist U U, also die Bedining U U = {0} verletzt. Für nicht-entartete Bilinearformen bleibt zumindest die zu einer direkte Summe gehörige Dimensionsformel richtig: Satz (Dimensionsformel für Orthogonalräume). Es seien V endlich-dimensional, b nicht-entartete symmetrische Bilinearform auf V und U V ein Untervektorraum. Dann gilt: dim U + dim U = dim V. Beweisskizze: Nach Wahl einer Basis entspricht U der Lösunsgsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems, dessen Rang die Dimension von U ist. Besonders gut auf den Punkt bringen kann man den angedeuteten Beweis mit Hilfe der Abbildung b : V V. Da b injektiv ist, hat W := b(u) die gleiche Dimension wie U, und man kann folgende generelle Dimensionsformel benutzen:

5 316 LinAlg II Version Juni 2006 c Rudolf Scharlau Lemma Es sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und W ein r-dimensionaler Unterraum seines Dualraums V. Dann hat der Unterraum die Dimension n r. {v V ϕ W : ϕ(v) = 0} Den im Lemma betrachteten Unterraum könnte man auch als den Kern von W bezeichnen, denn er ist der Schnitt der Kerne aller Elemente von W. Seine Definition ist dual (d.h. die Rollen von V und V werden vertauscht) zur Definition des Annulators. Wenn man die Abbildung b und den Annulator verwendet, kann man den Beweis von noch weiter abkürzen. Direkt aus den Definitionen ergibt sich b(u ) = U, wegen der Bijektivität von b also dim U = dim U, und die Dimension von U hat wir in Satz schon bestimmt. Wenn man von einem Orthogonalraum wieder den Orthogonalraum bildet, ist die Dimension wieder die ursprüngliche, und man erhält folgendes: Folgerung Unter der obigen Voraussetzung gilt U = U. Der Begriff einer Orthogonalbasis wie auch der einer Orthonormalbasis überträgt sich umittelbar auf beliebige Bilinearformen, und es gilt: Bemerkung a) Eine Basis B von V ist genau dann eine Orthogonalbasis für die Bilinearform b auf V, wenn die Gram-Matrix G B (b) eine Diagonalmatrix ist. b) Eine Basis B von V ist genau dann eine Orthonormalbasis für die Bilinearform b auf V, wenn die Gram-Matrix G B (b) die Einheitsmatrix ist. Der Begriff einer Orthonormalbasis ist zwar definiert, für allgemeine Bilinearformen aber nur von eingschränktem Nutzen, da man im allgemeinen Vektoren nicht normieren kann (z.b. bestimmt nicht die Vektoren v mit b(v, v) = 0). Orthogonalbasen sind dagegen für beliebige symmetrische Bilinearformen von großer Bedeutung. Dieses sieht man an folgendem Satz. Satz Es sei K ein Körper, in dem 2 0 gilt (ein sogenannter Körper der Charakteristik 2). Dann besitzt jede symmetrische Bilinearform auf einem endlich-dimensionalen K-Vektorraum V eine Orthogonalbasis.