Sesqui- und Bilinearformen

Transkript

1 Kapitel 8 Sesqui- und Bilinearformen 8.1 Sesquilinearformen Definition Sei V ein reeller oder komplexer K-Vektorraum (also K = R oder C). Eine Abbildung f : V V K heißt eine Sesquilinearform wenn gilt: [SF1] f(vγ + w, u) = γf(v, u) + f(w, u) [SF2] f(u, vγ + w) = γf(u, v) + f(u, w) Beispiel Jedes innere Produkt ist eine Sesquilinearform. Es gibt jedoch noch viele weitere Beispiele. Sei A eine beliebige Matrix. Dann wird durch x 1 y 1 f(., ) := ( ) x 1 x n A x n. y n y 1. y n eine Sesquilinearform auf C n oder R n definiert. Man zeigt leicht, dass mit f, g auch γf + g eine Sesquilinearform ist, also bilden die Sesquilinearformen einen Vektorraum. Der folgende Satz zeigt, dass ein enger Zusammenhang zwischen linearen Abbildungen auf V und Sesquilinearformen besteht: Satz Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum mit innerem Produkt, und sei f eine Sesquilinearform auf V. Dann gibt es genau einen linearen Operator T f auf V mit f(v, w) = (T f (v) w). 125

2 Ferner ist die Abbildung f T f ein Isomorphismus vom Vektorraum der Sesquilinearformen in den Vektorraum aller linearen Operatoren. Beweis Vorlesung. Definition Ist f eine Sesquilinearform auf V, und ist B eine Basis von V, so nennen wir [f] B := (f(b i, b j )) i,j=1,...,n eine Darstellungsmatrix von f bezüglich B. Bemerkung Die Sesquilinearformen in Beispiel haben als Darstellungsmatrizen bzgl. der kanonischen Basis gerade die definierenden Matrizen A. Satz Sei B eine Basis des Vektorraums V, und sei f eine Sesquilinearform auf V. Ist v = n i=1 µ ib i und u = n i=1 γ ib i, so gilt f(v, u) = ( ) µ 1 µ n [f]b Ist C eine weitere geordnete Basis von V, so gilt wobei P = [id] C B ist. [f] C = P [f] B P, Beweis Nachrechnen: Sie müssen nur beachten, dass der (i, j)-eintrag eines Matrixproduktes ABC gerade a i Bc j ist, wobei c j die j-te Spalte von C und a i die i-te Zeile von A ist. γ 1. γ n. Definition Zwei Matrizen A und B in C (n,n) oder R (n,n) heißen hermit sch kongruent, wenn es eine Matrix P gibt mit A = P B P. Bemerkung (1.) Verschiedene Darstellungsmatrizen einer Sesquilinearform sind hermit sch kongruent. (2.) Matrizen, die unitär äquivalent sind, sind sicherlich auch hermit sch kongruent, aber nicht umgekehrt. Beipielsweise sind die Matrizen ( ) ( ) und

3 ( 2 0 hermit sch kongruent (nehme P = )), aber sicher nicht unitär äquivalent (verschiedene 0 2 Eigenwerte). Lemma Hermit sche Kongruenz ist eine Äquivalenzrelation! Wir können uns fragen, ob zwischen den Darstellungsmatrizen von T f und f ein Zusammenhang besteht. Das ist gerade der Inhalt des folgenden Satzes, der aber nur für Orthonormalbasen richtig ist: Satz Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum mit innerem Produkt ( ), und sei B = (b 1,..., b n ) eine Orthonormalbasis, dann gilt Beweis Es gilt [f] B = ([T f ] B B). f(b i, b j ) = (T f (b i ) b j ) Auf der rechten Seite rechnen wir aber genau den (j, i)-eintrag von [T f ] B B aus: Der Darstellungsvektor von T f (b i ) bzgl. B ist die i-te Spalte von [T f ] B B. Der Wert des inneren Produktes (T f (b i ) b j ) ist dann der j-te Eintrag dieses Vektors, weil B eine Orthonormalbasis ist. Also ist f(b i, b j ) der (j, i)-eintrag der Darstellungsmatrix von f bzgl. B. Viele Eigenschaften von T f übertragen sich auf f, z.b.: Satz Sei f eine Sesquilinearform auf einem unitären endlichdimensionalen Vektorraum V. Dann gibt es eine Orthonormalbasis B von V derart, dass [f] B eine untere Dreiecksmatrix ist. Beweis Das folgt unmittelbar aus Satz Von besonderer Bedeutung sind hier für uns die symmetrischen (über R) und die hermit schen (über C) Formen: Definition Eine Sesquilinearform auf einem komplexen Vektorraum heißt hermit sch, wenn f(v, w) = f(w, v) für alle v, w gilt. Eine hermit sche Form auf einem reellen Vektorraum nennt man symmetrisch Lemma f ist hermit sch genau dann wenn T f selbstadjungiert ist. Beweis Sei f hermit sch. Dann gilt f(v, w) = (T f (v) w) = f(w, v) = (T f (w) v) = (v T f (w)), weil f hermit sch, also T f = T f. Die Umkehrung geht genauso. 127

4 Satz Eine Sesquilinearform f auf einem komplexen Vektorraum ist genau dann hermit sch, wenn f(v, v) R für alle v V gilt. Beweis Es ist klar, dass f(v, v) R wenn f hermit sch (f(v, v) = f(v, v)). Umgekehrt betrachten wir f(v + w, v + w) = f(v, v) + f(w, w) + f(v, w) + f(w, v). Wenn f(u, u) stets reell ist, erhalten wir, dass f(v, w) + f(w, v) reell ist. Wir wiederholen das Argument für f(v + iw, v + iw) = f(v, v) + f(iw, iw) if(v, w) + if(w, v) und somit ist auch if(v, w) + if(w, v) reell. Man rechnet nach, dass diese beiden Zahlen nur dann reell sein können, wenn f(v, w) = f(w, v) gilt. Korollar Ein linearer Operator T auf einem unitären Vektorraum V ist genau dann selbstadjungiert, wenn (T(v), v) für alle v V reell ist. Satz (Hauptachsentransformation) Sei f eine hermit sche Sesquilinearform auf einem Vektorraum V mit innerem Produkt, dimv = n. Dann gibt es eine Orthonormalbasis B von V so, dass [f] B eine Diagonalmatrix mit reellen Diagonaleinträgen ist. Beweis Sei T der lineare Operator auf V mit f(v, w) = (T(v) w). Weil f hermit sch ist, ist T selbstadjungiert (Lemma ). Es gibt also eine Orthonormalbasis (b 1,..., b n ) mit T(b i ) = γ i b i, i = 1,...,n, mit γ i R. Also gilt f(b i, b j ) = 0 für i j sowie f(b i, b i ) = γ i. Korollar Sei f eine hermit sche Form, die bzgl. der Orthonormalbasis (b 1,...,b n ) in Diagonalgestalt dargestellt wird. Dann gilt n n f( β i b i, β i b i) = i=1 i=1 n β i β i f(b i, b i ). i=1 Beachten Sie bitte, dass der Basiswechsel, mit dem wir f hier diagonalisiert haben, durch eine unitäre Matrix realisiert wurde. Damit ist schon einmal klar, dass jede hermit sche Matrix zu einer Diagonalmatrix hermit sch kongruent ist, weil sie zu einer Diagonalmatrix unitär äquivalent ist. Es stellt sich die Frage, ob Diagonalmatrizen, die nicht unitär äquivalent sind, vielleicht hermit sch kongruent sind. Diese Frage beantwortet der Trägheitssatz von Sylvester. Aber vorher wollen wir noch die für die Analysis besonders wichtige Klasse definiter Sesquilinearformen untersuchen. 128

5 8.2 Definite Sesquilinearformen Definition Eine hermit sche Sesquilinearform f auf V heißt positiv definit f(v, v) > 0 für alle v V, v 0 positiv semidefinit f(v, v) 0 für alle v V negativ definit f(v, v) < 0 für alle v V, v 0 negativ semidefinit f(v, v) 0 für alle v V Ist eine Matrix weder positiv noch negativ (semi)definit, so nennt man sie indefinit. Bemerkung (1.) Wir nennen hermit sche Matrizen positiv (negativ) (semi)definit, wenn die gemäß Beispiel konstruierte Sesquilinearform die entsprechende Eigenschaft hat. (2.) Ist f positiv (semi)definit, so ist f negativ (semi)definit. Deshalb betrachten wir im folgenden nur positiv definite Matrizen. Ein einfaches und übersichtliches Definitheitskriterium folgt unmittelbar aus Satz und dem Korollar : Satz Sei f eine hermit sche Sesquilinearform f auf einem Vektorraum V mit innerem Produkt, dim V <, und sei B eine Orthonormalbasis von V. Ferner sei T = [f] B. Dann gilt: positiv definit positiv semidefinit negativ definit negativ semidefinit alle Eigenwerte von T sind positiv alle Eigenwerte von T sind nicht-negativ alle Eigenwerte von T sind negativ alle Eigenwerte von T sind nicht-positiv Der Nachteil dieses Kriteriums ist, dass man die Eigenwerte ausrechnen muss, obwohl ja nur die Vorzeichen der Eigenwerte interessant sind. Hier ist der folgende Satz hilfreich: Satz Sei A eine hermit sche Matrix, und sei χ A := x n + α n 1 x n α 1 x + α 0 das charakteristische Polynom von A. Genau dann ist A positiv definit, wenn ( 1) n j α j > 0 für j = 0,...,n 1 gilt. Das folgt unmittelbar aus der sogenannten Vorzeichenregel: 129

6 Satz Sei f = x n + α n 1 x n α 1 x + α 0 ein reelles Polynom, das in Linearfaktoren zerfällt. Dann gilt: (a.) Genau dann sind alle Nullstellen von f negativ, wenn alle α i positiv sind (i = 0,...,n 1). (b.) Genau dann sind alle Nullstellen von f positiv, wenn ( 1) n j α j > 0 für i = 0,...n 1 gilt. Beweis Vorlesung. Wir haben bereits gesehen, dass jede positiv-definite Matrix in der Form T T geschrieben werden kann, siehe Korollar Man kann sogar verlangen, dass T eine obere Dreiecksmatrix ist: Satz Eine hermit sche Matrix A ist genau dann positiv definit, wenn es eine obere Dreiecksmatrix T gibt mit A = T T. (8.1) Beweis Sei f das durch A definierte innere Produkt auf C n oder R n. Dann ist A die Darstellungsmatrix dieses inneren Produktes bzgl. der kanonischen Basis (e 1,..., e n ). Es gibt also eine Orthonormalbasis B (bzgl. des durch A definierten inneren Produktes, nicht bzgl. des gewöhnlichen inneren Produktes) mit e 1,...,e s = b 1,..., b s (8.2) für s = 1,...,n. Sei Q die Matrix, deren Spalten die komplex konjugierten Vektoren b i sind, ausgedrückt bzgl. der kanonischen Basis. Wegen (8.2) ist Q eine invertierbare obere Dreiecksmatrix, und weil die b i eine Orthonormalbasis bilden gilt Q A Q = I. Die gewünschte Matrix T ist Q 1 (ebenfalls eine obere Dreiecksmatrix). Man kann auf diese Weise relativ leicht feststellen, ob eine Matrix positiv definit ist (Beispiel siehe Vorlesung). Im reellen Fall nennt man die Zerlegung (8.1) die Cholesky-Zerlegung. Abschließend wollen wir ein weiteres Kriterium angeben, um eine Matrix auf positive Definitheit zu testen. Dieses Verfahren ist im wesentlichen nur von theoretischem Interesse, da sehr viele Determinanten ausgerechnet werden müssen. Zunächst eine Definition: 130

7 Definition Sei A K (n,n) mit A = (α i,j ). Die Skalare α 1,1 α 1,k det.. =: k (A) α k,1 α k,k heißen die Hauptminoren von A (hier kann K ein beliebiger Körper sein). Lemma Sei A eine invertierbare Matrix in K (n,n), wobei K ein beliebiger Körper ist. Dann sind die beiden folgenden Aussagen äquivalent: (1.) Es gibt eine obere Dreiecksmatrix P = (γ i,j ) mit γ i,i = 1 (1 i n) so, dass B := AP eine untere Dreiecksmatrix ist. (2.) Alle Hauptminoren von A sind 0. Beweis siehe Vorlesung. Damit können wir die folgende schöne Charakterisierung positiv definiter Matrizen beweisen: Satz Sei f eine Sesquilinearform auf einem inneren Produktraum V. Ferner sei B eine beliebige Basis von V. Dann ist f genau dann eine positiv definite Form, wenn [f] B hermit sch ist und alle Hauptminoren von [f] B positiv sind. Beweis Vorlesung. Man kann dem Beweis auch noch ansehen, was passiert, wenn die Form nur positiv semidefinit ist: Korollar Sei B eine Orthonormalbasis von V. Ist f eine positiv semidefinite Sesquilinearform auf V, so gilt für alle Hauptminoren k (A) 0. Beweis Folgt unmittelbar aus dem Beweis von Satz Beispiel Das Beispiel ( ) zeigt, dass in Korollar kein genau dann wenn gelten kann, weil hier alle Hauptminoren 0 sind, die Matrix aber nicht positiv semidefinit ist. 131

8 8.3 Der Trägheitssatz von Sylvester Lemma Sei A R (n,n) eine Diagonalmatrix γ 1... mit γ 1,..., γ s > 0, γ s+1,..., γ s+t < 0 und γ s+t+1 =... = γ n = 0. Dann ist A hermit sch kongruent zu einer Diagonalmatrix I s I t =: W s,t,n 0 n s t d.h. die positiven Diagonaleingträge werden +1, die negativen zu 1. Beweis Sei P die Diagonalmatrix mit Diagonaleinträgen 1/ γ i. Dann ist γ n W s,t,n = P AP. Die Matrizen W s,t,n und A sind in der Regel nicht unitär äquivalent. Man kann sich fragen, ob man nicht auch die 1 über C zu 1 machen kann, indem man den entsprechenden Diagonaleintrag von links und rechts mit i multipliziert. Das geht aber nicht, weil wir bei hermit scher Kongruenz bei der entsprechenden Transformation (8.1.7) auf einer der beiden Seiten mit der komplexkonjugierten Matrix multiplizieren, vgl. aber Lemma Weil jede hermit sche Matrix unitär diagonalisierbar ist, erhalten wir unmittelbar das folgende Korollar: Korollar Jede hermit sche Matrix ist hermit sch kongruent zu einer Matrix W s,t,n. Beweis Lemma und Satz Bemerkung Um eine Darstellung der Form W s,t,n zu erhalten, suggeriert der Beweis von Korollar 8.3.2, dass man zunächst unitär diagonalisiert (also das charakteristische Polynom faktorisiert) und dann die Technik aus Lemma anwendet. Das ist aber mit Kanonen auf Spatzen geschossen. Man kann eine Transformationsmatrix P mit P AP = W s,t,n auch wesentlich einfacher finden. Wir erinnern dazu an die Elementarmatrizen aus Definition Multiplikation von links mit einer solchen Matrix entsprach einer Zeilenumformung, Multiplikation von rechts einer Spaltenumformung. Ist A eine hermit sche Matrix, und 132

9 ist E eine Elementarmatrix, so ist auch E eine Elementarmatrix und E AE ist wieder hermit sch. Wir können nun das Gauß-Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme etwas modifizieren, um durch elementare Zeilen- und Spaltenumformungen eine hermit sche Matrix A = (α i,j ) zu diagonalisieren. Wir suchen also ein Produkt von Elementarmatrizen E 1 E r so, dass E r E r 1 E 1 AE 1 E r eine Diagonalmatrix ist. Offenabr genügt es, ein Verfahren anzugeben, welches A in die Form β A 0 transformiert. Ist hierbei α 1,1 0, so geht das einfach: Wähle als Elementarmatrizen die Matrizen der Form E j,1 ( α 1,j α 1,1 ), d.h. wir subtrahieren die erste Zeile, nach Multiplikation mit α1,j α 1,1, von den übrigen Zeilen. Wenn nun α 1,1 = 0, so finden wir ein j mit α 1,j 0 (andernfalls sind wir fertig). Dann ist der (1, 1)-Eintrag von E 1,j (α 1,j ) AE 1,j (α 1,j ) die Zahl 2α 1,j α 1,j, also 0. Fahre nun fort, wie oben beschrieben. In der Vorlesung wird dieses Verfahren an mehreren Beispielen erläutert. Satz (Trägheitssatz von Sylvester) Die Matrizen W s,t,n und W s,t,n sind genau dann hermit sch kongruent, wenn gilt. s = s und t = t und n = n Beweis Klar ist n = n. Ferner gilt s+t = s +t, weil s+t der Rang von W s,t,n ist und der Rang unter hermit scher Kongruenz invariant ist (man multipliziert in Definition auf beiden Seiten mit einer invertierbaren Matrix!). Sei f eine beliebige hermit sche Sesquilinearform. Ferner sei V + ein Unterraum von V so, dass f(v, v) > 0 für alle v V + mit v 0, und V sei ein Unterraum mit f(v, v) < 0 für alle v V, v 0. Schließlich sei V 0 ein Unterraum mit f(v, w) = 0 für alle v V 0 und w V. Offensichtlich gilt V + V = {0}. Wir zeigen nun (V + + V ) V 0 = {0}. Sei dazu v 1 + v 2 V 0 mit v 1 V + und v 2 V. Dann gilt 0 = f(v 1 + v 2, v 1 ) = f(v 1, v 1 ) + f(v 2, v 1 ) 0 = f(v 2, v 1 + v 2 ) = f(v 2, v 1 ) + f(v 2, v 2 ). 133

10 Weil f(v 1, v 1 ) > 0 und f(v 2, v 2 ) < 0 für v 1, v 2 0, können diese beiden Gleichungen simultan nur erfüllt sein wenn v 1 = v 2 = 0 gilt. Dieses Argument zeigt dim V + + dimv + dimv 0 n. (8.3) Sei f eine Sesquilinearform, die zu W s,t,n und W s,t,n hermit sch kongruent ist. Dann gibt es einen s-dimensionalen Unterraum V +, einen t -dimensionalen Unterraum V sowie einen n s t -dimensionalen Unterraum V 0. Wäre s > s, so wäre dimv + + dim V + dim V 0 = s + t + (n s t ) > n, ein Widerspruch zu (8.3). Das zeigt s s und aus demselben Grund s s, also s = s. Korollar Wenn zwei hermit sche Matrizen A und B hermit sch kongruent sind, dann haben A und B dieselbe Anzahl positiver Eigenwerte und dieselbe Anzahl negativer Eigenwerte. 8.4 Bilinearformen Wir können in diesem Kapitel rasch vorgehen, weil die meisten Konzepte im Zusammenhang mit Sesquilinearformen bereits eingeführt wurden. In diesem Abschnitt kann K aber ein beliebiger Körper sein. Definition Sei V ein K-Vektorraum. Eine Abbildung f : V V K heißt eine Bilinearform wenn gilt: [BF1] f(vγ + w, u) = γf(v, u) + f(w, u) [BF2] f(u, vγ + w) = γf(u, v) + f(u, w) Beispiel Sei A K (n,n). Dann ist µ 1 γ 1 f(.,. ) = ( ) µ 1 µ n [f]b µ n γ n γ 1. γ n eine Bilinearform auf K n. Die Menge der Bilinearformen bildet einen K-Vektorraum, den wir mit Bil(V, V ) bezeichnen wollen. Addition und Skalarmultiplikation sind in der naheliegenden Weise durch (f + g)(v, w) := f(v, w) + g(v, w) (λf)(v, w) := λf(v, w) 134

11 definiert. Zu jeder Bilinearform auf einem endlichdimensionalen Vektorraum gibt es eine Darstellungsmatrix: Definition Sei B = (b 1,..., b n ) eine geordnete Basis von V, und sei f Bil(V, V ). Dann nennen wir eine Darstellungsmatrix von f. [f] B := (f(b i, b j )) i,j=1,...,n Satz Sei B eine Basis von V, dim V <. Dann ist ein Vektorraumisomorphismus. [ ] : Bil(V ) K n,n f [f] B Beweis Vorlesung. Satz Sei B = (b 1,..., b n ) eine Basis des Vektorraums V, und sei f eine Bilinearform auf V. Ist v = n i=1 µ ib i und u = n i=1 γ ib i, so gilt f(v, u) = ( ) µ 1 µ n [f]b Ist C eine weitere geordnete Basis von V, so gilt wobei P = [id] C B ist. [f] C = P [f] B P, γ 1. γ n. Beweis Wie Satz Definition Zwei Matrizen A und B in K (n,n) heißen kongruent, wenn es eine Matrix P gibt mit A = P B P. Lemma Kongruenz ist eine Äquivalenzrelation! Den folgenden Begriff haben wir für Sesquilinearformen noch nicht benutzt, man hätte ihn aber auch dort schon einführen können: 135

12 Definition Eine Bilinearform heißt nicht ausgeartet, wenn es zu jedem v V ein w gibt mit f(v, w ) 0, und es gibt ein w mit f(w, v) 0. Andernfalls heißt f ausgeartet. Im endlichdimensionalen Fall genügt eine dieser beiden Bedingungen. Ferner kann man die Ausartung an einer Darstellungsmatrix leicht ablesen: Satz Sei V ein Vektorraum mit dimv <, und sei f eine Bilinearform auf V. Ferner sei B = (b 1,....b n ) eine geordnete Basis von V. Dann gilt: f nicht ausgeartet Rang[f] B = dim V. Beweis Für jedes v = n i=1 λ ib i 0 gilt (λ 1 λ n )[f] B = (λ 1 λ n ) 0. Es gibt also µ 1,..., µ n mit n i=1 λ i µ i 0. Entsprechendes gilt für [f] B λ 1. λ n = λ 1. λ n 0. (indirekt) Ist Rang[f] B dim V, so gibt es (λ 1 λ n ) mit (λ 1 λ n )[f] B = 0. Es gibt also zu v = n i=1 λ ib i kein w mit f(v, w) 0, also ist f ausgeartet. Von besonderer Bedeutung sind die symmetrischen und die schiefsymmetrischen Bilinearformen. Wir beginnen mit dem symmetrischen Fall: Definition Eine Bilinearform f auf V heißt symmetrisch wenn für alle v, w V gilt. f(v, w) = f(w, v) Offenbar ist eine Bilinearform auf einem endlichdimensionalen Vektorraum genau dann symmetrisch, wenn eine (und damit jede) Darstellungsmatrix symmetrisch ist. 136

13 Definition Sei V ein K-Vektorraum. Eine Abbildung q : V K heißt quadratische Form wenn gilt: (Q1) q(λv) = λ 2 v für alle v V, λ K. (Q2) Die Abbildung f q : V V K mit f q (v, w) = q(v+w) q(v) q(w) ist eine Bilinearform. Beispiel Die Standardbeispiele quadratischer Formen auf K n sind die multivariaten Polynome vom Grad 2: x 1 q(. ) := λ i,j x i x j. x i,j,i j n Der folgende Satz zeigt, dass jede symmetrische Bilinearform aus einer quadratischen Form konstruiert werden kann. Wir setzen hier voraus, dass der Körper die Eigenschaft hat (also insbesondere K F 2 ). In dem Fall kann man sogar etwas mehr zeigen als nur, dass jede Bilinearform aus einer quadratischen Form konstruiert werden kann. Es geht sogar eindeutig: Satz Sei K ein Körper mit Zu jeder symmetrischen Bilinearform f gibt es genau eine quadratische Form q mit f = f q, und zwar Beweis Vorlesung. q(v) := 1 f(v, v). 2 Es sei darauf hingewiesen, dass die Theorie quadratischer Formen und symmetrischer Bilinearformen stark davon abhängt, ob = 0 (man sagt auch, der Körper hat die Charakteristik 2) oder gilt. Satz Sei K ein Körper mit , und sei V ein K-Vektorraum mit dimv <. Jede symmetrische Bilinearform f auf V kann bzgl. einer geeigneten Basis in Diagonalgestalt dargestellt werden. In Matrixform: Jede symmetrische Bilinearform ist zu einer Diagonalmatrix kongruent. Beweis Wir haben in Bemerkung ein Verfahren kennengelernt, wie man eine reelle Matrix diagonalisieren kann. Dieses Verfahren funktioniert genauso über beliebigen Körpern mit (an welcher Stelle benötigen wir ?). Beispiel Die Matrix ( ) über F 2 ist zu keiner Diagonalmatrix kongruent. 137

14 Beachten Sie bitte: Unser Existenzbeweis, dass wir jede symmetrische reelle Matrix diagonalisieren können, ist den Umweg über die unitäre Äquivalenz gegangen. Den Beweis können wir nicht verallgemeinern, um zu zeigen, dass jede symmetrische Matrix kongruent zu einer Diagonalmatrix ist, denn der Begriff der unitären Äquivalenz macht über beliebigen Körpern keinen Sinn. Insbesondere ist über beliebigen Körpern nicht jede symmetrische Matrix A diagonalisierbar (im Sinne P 1 AP, siehe Definition ): Beispielsweise ist A = ( ) F (2,2) 3 nicht diagonalisierbar, weil χ A (x) = x 2 x 1 keine Nullstellen hat, es also keine Eigenwerte gibt. Man könnte Satz auch durch eine Modifikation des Orthogonalsierungsverfahrens beweisen. Dazu später mehr. Wir notieren zunächst folgendes Korollar: Korollar Über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ist jede symmetrische Matrix zu einer Diagonalmatrix mit Einträgen 0 und 1 kongruent. Beweis Das folgt unmittelbar aus der Existenz einer kongruenten Diagonalbasis. Ist γ einer der Diagonaleinträge, so können wir von rechts und links jeweils mit γ 1 multiplizieren. Korollar Zwei komplexe symmetrische Matrizen sind genau dann kongruent, wenn sie denselben Rang haben. Kommen wir nun zu den schiefsymmetrischen Bilinearformen. Definition Eine Bilinearform f auf V heißt alternierend, wenn f(v, v) = 0 für alle v V ist. Bemerkung Für jede alternierende Bilinearform gilt. f(v, w) = f(w, v), denn 0 = f(v + w, v + w) = f(v, v) + f(v, w) + f(w, v) + f(w, w) = f(v, w) + f(w, v). Wenn K ein Körper ist mit , so ist offensichtlich jede Bilinearform mit f(v, w) = f(w, v) (8.4) alternierend. Bilinearformen mit (8.4) nennt man schiefsymmetrisch. Für Bilinearformen auf Vektorräumen über Körpern, in denen gilt, ist schiefsymmetrisch dasselbe wie alternierend. Im Fall = 0 ist schiefsymmetrisch der allgemeinere Begriff. 138

15 Satz Sei f eine alternierende Bilinearform auf einem Vektorraum V, dimv <. Dann gibt es eine Basis B so, dass H... [f] B = H 0,... 0 wobei H = ( ) Die Anzahl dieser Kästchen bestimmt die Kongruenzklasse, d.h. die Äquivalenzklasse unter der Relation Kongruenz. Beweis Suche v, w mit f(v, w) 0 (sonst ist nichts zu beweisen). Sei ohne Einschränkung der Allgemeinheit f(v, w) = 1. Setze W := v, w. Wenn u = λv + γw, so können wir λ und µ konkret ausrechnen: f(λv + γw, w) = λ f(v, λv + γw) = γ. Das zeigt, dass v und w linear unabhängig sind, und dass ( ) 0 1 [f W W ] (v,w) =. 1 0 Wir definieren Wir zeigen W := {s V : f(s, v) = f(s, w) = 0}. (8.5) V = W W, d.h. V = W + W sowie W W = {0}. Die zweite Aussage ist klar, z.b. wegen (8.5). Nun zu V = W + W : Sei dazu z V beliebig. Wir setzen sowie z 1 := f(z, w)v f(z, v)w z 2 := z z 1. Klar ist z 1 W. Man rechnet nach, dass f(z 2, v) = 0 und f(z 2, w) = 0, was zu zeigen war. 139

16 8.5 Verallgemeinerte Orthogonalität Ähnlich wie im letzten Abschnitt können wir uns auch hier kurzfassen, weil wir im wesentlichen Konzepte für den reellen Fall verallgemeinern, bzw. einige Dinge schon implizit im letzten Abschnitt angesprochen wurden. In diesem Abschnitt sei f stets eine symmetrische Bilinearform auf V. Definition Sei f eine symmetrische Bilinearform auf einem K- Vektorraum V. Zwei Vektoren v, w heißen orthogonal, wenn f(v, w) = 0 gilt. Ist S V, so nennen wir S := {v V : f(u, v) = 0 für alle u S} den Orthogonalraum von S. Eine Menge S V mit f(v, w) = 0 für alle v, w S, v w heißt Orthogonalsystem. Ist S ein Orthogonalsystem und eine Basis, so nennen wir S eine Orthogonalbasis. Bemerkung (2.) Ist B eine Basis, so gilt (1.) S ist ein Unterraum. [f] B Diagonalmatrix B ist Orthogonalbasis bzgl. f. Im folgenden Lemma stellen wir einige einfache Eigenschaften von Orthogonalrämen zusammen: Lemma Sei V ein Vektorraum, und sei f eine symmetrische Bilinearform auf V. Ferner seien S, S 1, S 2 V. Dann gilt: (a.) S 1 S 2 S 2 S 1 (b.) S = S (c.) S (S ) Beweis Vorlesung. Zur Erinnerung: Eine symmetrische Bilinearform ist ausgeartet wenn es ein w gibt mit f(v, w) = 0 für alle v V, siehe Definition Satz Sei V ein Vektorraum, und sei f eine symmetrische, nichtausgeartete Bilinearform auf V, dim V <. Dann gilt für jeden Unterraum W: V = W W. Beweis Man sieht leicht dass W W = {0} gilt. Man zeigt dim(w ) = dimv dim W, woraus die Behauptung folgt. 140

17 Korollar Sei V ein Vektorraum, und sei f eine symmetrische, nichtausgeartete Bilinearform auf V, dimv <. Ferner seien U, U 1, U 2 V. Dann gilt: (a.) U = (U ) (b.) U 1 U 2 = (U 1 + U 2 ) (c.) U 1 + U 2 = (U 1 U 2 ) Beweis Vorlesung. Wir wollen jetzt noch einmal zeigen, dass jede symmetrische Matrix zu einer Diagonalmatrix kongruent ist (siehe Satz ). Mit anderen Worten: Jede symmetrische Bilinearform ist bzgl. einer geeigneten Basis in Diagonalgestalt darstellbar. Achtung: Das alles gilt wieder nur für Körper mit : Satz Sei f eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen K-Vektorraum V, Dann besitzt V eine Orthogonalbasis (bzgl. f). Beweis Wir geben in der Vorlesung einen Beweis, der als eine Verallgemeinerung des Gram-Schmidt schen Orthogonalisierungsverfahrens angesehen werden kann. Im Unterschied zum Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren kann es hier aber vorkommen, dass f(v, v) = 0 für v 0 gilt. Außerdem kann f ausgeartet sein. Wir wollen zum Abschluss noch zwei Begriffe einführen: Definition Sei f eine symmetrische Bilinearform auf V. Die Menge {v V : f(v, w) = 0 für alle w V } (= V ) heißt das Radikal von f. Ein Vektor v mit f(v, v) heißt isotrop. Offenbar besteht das Radikal nur aus isotropen Vektoren, es kann aber auch isotrope Vektoren außerhalb des Radikals geben (Beipsiele in der Vorlesung). Wir halten fest: Satz Sei f eine symmetrische Bilinearform auf V. Dann gilt: f ist ausgeartet Rad(f) = {0}. 141