1 Darstellungsmatrizen

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1 Matthias Tischler Karolina Stoiber Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker WS 14/15 A 1 Darstellungsmatrizen Vereinbarungen für dieses Kapitel: K Körper V und W endlich-dimensionale K-Vektorräume B = {v 1,..., v v } und C = {w 1,..., w n } deren Basen. Mit ϕ : V W als lineare Abbilfung und j {1,..., n} gilt: m ϕ(v j = a i,j w i Die Spalten von A sind also die Koordinatenvektoren von ϕ(v i i=1 Definition 1.1 Die obere Gleichung ergibt in Matrixform geschrieben die sogenannte Darstellungsmatrix von ϕ (bzgl. B und C. D B,C (ϕ = A := (a i,j = a 1,1 a 1,n K m n.. a m,1... a m,n Falls die Vektorräume gleich sind, verwndet man nur eine der beiden Basen und schreibt D B bzw D C K n n Die Darstellungsmatrix bestimmt die lineare Abbildung eindeutig. Alternativ wird auch der Begriff Abbildungsmatrix verwendent. Sie wird immer verwendet, um eine lineare Abbildung zwischen zwei endlichdimensionalen Vektorräumen zu beschreiben. Merkregel: Spalten der Darstellungsmatrix Bilder der Basisvektoren Beispiel 1.1: Darstellungsmatrizen von U = R und V = R 3 nach W = R, jeweils mit Basen B n = e 1,..., e n 1. ϕ ˆ= Drehung um 30 nach rechts von U nach W: ϕ(e 1 = ( 3 1 T = 3 e 1 1 e ϕ(e = ( T = 1 e e D B (ϕ = ( x (. lineare Abb. von V nach W: f y x 3y = x y + z z f(e 1 = ( 1 ( T, f(e = ( 3 T, f(e 3 = (0 1 T 3 0 D B3,B = 1 1 1

2 3. gleiche Abb. wie., aber mit Zielbasis C = (( ( 1, = (c 1 1 1, c f(e 1 = 1c 1 + ( 0c, f(e = 1c 1 1c, f(e 3 = 1c 1 + c D C,B = 0 1 Auch lassen sich mehrere Darstellungsmatrizen für die Komposition von mehreren, linearen Abbildungen nutzen. Satz 1.1 Aneinanderreihung von Abbildungen: Vektorräume U, V und W zusammen mit den Basen A, B und C, liefert die Aneindanerreihung von ϕ: U V und ψ: V W D A,C (ψ ϕ = D B,C (ψ D A,B (ϕ Merkregel: Komposition von linearen Abbildungen Matrixprodukt Weiterhin gilt: ϕ A ϕ B = ϕ A B ϕ a ϕ A 1 = ϕ K n bei invertierbaren Matrizen ϕ A 1 Definition 1. allgemeine lineare Gruppe GL n (K := {A K n n A ist invertierbar} = ϕ 1 A Die allgemeine lineare Gruppe ergibt mit dem Matrixprodukt wieder eine Gruppe. Sie (und ihre Unterguppen findet Anwendung in der Darstellung von Gruppen sowie in der Untersuchung von Symmetrien. Wenn sich die Basis B = {v 1,..., v n } bei einer linearen Abbildung V V zu B = {v 1,..., v n} ändert, muss nicht die gesamte Darstellungsmatrix neu berechnet werden. Stattdessen kann man sich die Basiswechselmatrix S := S B,B = (s i,j L n n berechnen. Ihre Einträge sind v j = n s i,j v i Merkregel: Spalten von S = Koordinatenvektoren der neuen Basisvektoren. Umgekehrt (B B ergibt sich die Matrix T. das Führt zu S T = I n bzw. T = S 1. i=1 Definition 1.3 Mit den endlichen Basen B und B von V und C und C von W führt ein Basiswechsel bei linearen Abbildung ϕ : V W zu: D B,C (ϕ = S 1 C,C D B,V (ϕ S B,B Durch einen Basiswechsel ändern sich (im Allgemeinen die Koordinaten der Vektoren und die Darstellungsmatrizen. Ein Basiswechsel ist somit ein Spezialfall einer Koordinatentransformation.

3 Definition 1.4 Ähnlichkeit und Äquivalenz von Matrizen 1. A, B K n n heißen ähnlich, falls S GL n (K mit B = S 1 AS. A, B K m n heißen äquivalent, falls S GL n (K, T GL m (K mit B = T 1 AS Beispiel 1.: V = R und ϕ : V V, (x {( y T ( } (x + y x y T mit der Standardbasis B. 1 3 Die neue Basis ist B =, und damit 4 Vereinbarungen ( 1 S = S B,B = 3 4 ( 1 D B (ϕ = 1, 5 0, 5 1. Alle Matrizen A, B, etc. K n n. Alle Vektoren a, b, etc. K n Determinanten Definition.1 Fehlstellen ( w(σ ˆ= Anzahl der Fehlstellen: (i, j mit 1 i j n; i, j N mit σ(i > σ(j. Vorzeichen von σ: sgn(σ := ( 1 w(σ ( S 1 1 = 1, 5 0, 5 ( 1 = 3 4 ( Beispiel.1: Fehlstellen 134: keine 143: eine 143: zwei 431: sechs 341: drei Nun führen wir die Determinante ein. Sie ist eine spezielle Funktion, die einer quadratischen Matrix (bzw. allgemein einem Endomorphismus einen Skalar zuordnet. Sie gibt Informationen, ob ein lineares GLeichungssystem eindeutig lösbar ist. Definition. Determinante Determinante einer Matrix A = (a i,j K n n : det(a := Zusatz.1 Eigenschaften der Determinante σ S n sgn(σ n i=1 a i,σ(i 3

4 1. det(a T = det(a. Falls es in A zwei identische Spalten oder Zeilen gibt: det(a = 0 3. Mit B := (a i,σ(j oder B := (a σ(i,j : det(b = sgn(σ det(a Beispiel.: Determinanten von A K n n 1. n=1: trivial ( a b. n=: det = ad bc c d n=3: Sarrus-Regel: det.1..3 = n > 3: Entwicklung von Determinanten einfacher Satz.1 det(a B = det(a det(b 1 Satz. A regulär det(a 0 det(a 1 = 1 det(a Äquivalente Aussagen: 1. A ist regulär. A ist invertierbar 3. linear unabhängige Zeilen 4. linear unabhängige Spalten 5. Abbildung ϕ A ist injektiv 6. Abbildung ϕ A ist surjektiv 7. A x = 0 eindeutig lösbar 8. b K n, A x = b eindeutig lösbar 9. det(a 0 Bei größeren Matrizen ist das Berechnen der Determinante durch das Abzählen der Fehlstellen schwer. Daher greifen wir hier auf eine andere Methode zurück, um aus großen wieder kleine Matrizen zu gewinnen. 1 Determinante ist multiplikativ, aber nicht additiv (außer für n=1 4

5 Satz.3 Entwickeln nach Zeilen bzw. Spalten: Weglassen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte führt zu A i,j det(a = n j=1 ( 1i+j a i,j det(a i,j bzw. det(a = n i=1 ( 1i+j a i,j det(a i,j Beispiel.3: 0 1 A = nach der ersten Spalte entwicklen: ( ( ( det(a = 0 det 3 det + 6 det = 3 ( (5 8 = Die Adjunkte (auch klassische Adjungierte oder komplementäre Matrix, nicht echte adjungierte Matrix ist die Transponierte der Kofaktormatrix, also die Transponierte jener Matrix, deren Einträge die vorzeichenbehafteten Unterdeterminanten sind. Definition.3 Adjunkte C := (c i,j K n n mit c i,j := ( 1 i+j det(a j,i Für diese gilt A C = C A = det(a I n. Mit ihrer Hilfe kann man die Inverse einer regulären Matrix berechnen. Auch bei Determinanten kann man Zeilen-Operationen (theoretisch auch Spalten anwenden. Dabei vehält sie sich wie folgt: Zusatz. Veränderungen der Determinante (beimgauß-algotirhmus: 1. Typ I: (Vertauschen zweier Zeilen (/ Spalten: Determinante ändert das Vorzeichen. Typ II: (Zeilenmultiplikation (Spaltenmultikplikation mit Skalar s: det(neu = s det(alt 3. Typ III: (s-fache Addition einer Zeile (/Spalte zu einer anderen: det bleibt gleich Beispiel.4: det Ziehe von der 4. Zeile dreimal die 1. Zeile ab = det Entwickle nach der letzten Spalte = 1 det Addiere die 1. Zeile 5mal zur 3., und ziehe sie 4mal von der. ab = 1 det Entwickle nach der erste Spalte ( 5 0 = 1 ( 1 det =

6 3 Eigenwerte Um spezielle Formen einer Matrix (,die oft nützlicher sind als die Original-Matrix, zu erzeugen, muss man wissen, welche Vektoren von der Matrix am wenigsten beeinflusst werden. Definition 3.1 Eigenwert einer Matrix, Eigenraum λ K ist ein Eigenwert von A, wenn es einen Vektor v außer dem Nullvektor gibt, für den gilt: A v = λ v Diese Vektoren heißen Eigenvektoren. E λ := {v K n A v = λ v} 0 Eigenräume sind immer auch Unterräume von K n n. Um die Eigenwerte zu berechnen, benutzt man nun das charakteristische Polynom. Außerdem gibt es weitere Auskunft pber einige Eigenschaften der Matrix bzw. der linearen Abbildung. Definition 3. Charakteristisches Polynom χ A := det(x I n A Satz 3.1 Nullstellen von χ A Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms zur Matrix A sind deren Eigenwerte. Beispiel 3.1:Eigenwerte und Eigenvektoren 1. n=1: trivial, jeder Vektor ist Eigenvektor ( 1 λ. n=: χ A = det = λ 5 4 λ 5λ 6 = (λ 6 (λ + 1 Eigenwerte: 6 und -1, Eigenvektoren: (, 5a a, ( a a, a R Satz 3. Fundamentalsatz der Algebra Jedes nicht-konstante Polynom f C[x] (Polynomring hat eine Nullstelle in C. Also haben Matrizen mindestens eine Eigenwert in C. 1. A hat höchsten n Eigenwerte.. Für abgeschlossene Körper (wie C gibt es Eigenwerte von A. Neben dem Eigenwert selbst ist auch interessant, wie öftër auftritt. Dabei unterscheidet man zwei Arten: Definition 3.3 algebraische und geometrische Vielfachheit 1. algebraisch: m a (λ von λ ist die Ordnung der Nullstelle (einfach, doppelt,.... geometrisch: m g (λ := dim(e λ Dabei gilt 1 m g (λ m a (λ. Beispiel 3.: Vielfachheiten 6

7 1. Die Eigenwerte 6 und -1 aus Beispiel 3.1 haben m g = m a = 1 ( 1 0. Die Matrix A = hat nur den Eigenwert 1 mit m 3 a = und m g = 1 wegen rg(a ( 0 0 I = rg( = 1 0 Die am einfachsten zu verwendende ähnliche Matrize ist die Diagonalmatrix (nur Einträge auf der Diagonalen von links oben nach rechts unten. Jedoch gibt es diese nicht für alle Matrizen. Definition 3.4 Diagonalisierbarkeit Eine Matrix A heißt diagonalisierbar, falls es eine Basis von K n gibt, die aus Eigenvektoren von A besteht. (A ist ähnlich zu einer Diagonalmatrix Definition 3.5 Bedingungen der Diagonalisierbarkeit Eine Matrix A ist genau dann diagonalsierbar, wenn beide Bedingungen erfüllt sind: 1. χ A = r i=1 (x λ i ma(λ. λ i : m g = m a Beispiel 3.3: 1.. ( 0 1 nicht diagonalisierbar in R, da es nicht in Linearfaktoren zerfällt (in C schon 1 0 ( 1 1 nicht diagonalisierbar, da 1 = m 0 1 g m a = Zusatz 3.1 Falls χ A in Linearfaktoren zerfällt und nur Nullstellen der Vielfachheit 1 hat, so ist A diagonalisierbar. Da nicht jede Matrix diagonalisierbar ist (auch nicht in einem algebraisch abgeschlossenem Körper, gibt es auch eine abgeschwächt Form der Diagonalmatrix, die obere Dreieicksmatrix: Satz 3.3 K algebraisch abgeschlossen A ist ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix. λ 1 S 1 AS =... 0 λ n 7