Mathematik für Anwender II

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1 Prof Dr H Brenner Osnabrück SS 22 Mathematik für Anwender II Vorlesung Euklidische Vektorräume Im Anschauungsraum kann man nicht nur Vektoren addieren und skalieren, sondern ein Vektor hat auch eine Länge, und die Lagebeziehung von zwei Vektoren zueinander wird durch den Winkel zwischen ihnen ausgedrückt Länge und Winkel werden beide durch den Begriff des Skalarprodukts präzisiert Dafür muss ein reeller Vektorraum vorliegen Definition Sei V ein reeller Vektorraum Ein Skalarprodukt auf V ist eine Abbildung V V R, (v,w) v,w, mit folgenden Eigenschaften: () Es ist λ x +λ 2 x 2,y = λ x,y +λ 2 x 2,y für alle λ,λ 2 R, x,x 2,y V und ebenso in der zweiten Komponente (2) Es ist v,w = w,v für alle v,w V () Es ist v,v für alle v V und v,v = genau dann, wenn v = ist Die dabei auftretenden Eigenschaften heißen Bilinearität (das ist nur eine andere Bezeichnung für multilinear, wenn der Definitionsbereich das Produkt von zwei Vektorräumen ist), Symmetrie und positive Definitheit Beispiel 2 Auf dem R n ist die Abbildung R n R n R, (v,w) = ((v,,v n ),(w,,w n )) n v i w i, ein Skalarprodukt, das man das Standardskalarprodukt nennt Eine einfache Rechnung zeigt, dass dies in der Tat ein Skalarprodukt ist werden AuchfürkomplexeVektorräumegibtesSkalarprodukte,waswirabernichtbehandeln i=

2 2 Beispielsweise ist im R mit dem Standardskalarprodukt, 4 = ( ) = 2 6 Definition Ein reeller, endlichdimensionaler Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt versehen ist, heißt euklidischer Vektorraum Zu einem euklidischen Vektorraum V ist jeder Untervektorraum U V selbst wieder ein euklidischer Vektorraum, da man das Skalarprodukt auf U einschränken kann und dabei die definierenden Eigenschaften erhalten bleiben Norm und Abstand Mit einem Skalarprodukt kann man die Länge eines Vektors und damit auch den Abstand zwischen zwei Vektoren erklären Definition 4 Sei V ein Vektorraum über R mit einem Skalarprodukt, Dann nennt man zu einem Vektor v V die reelle Zahl die Norm von v v = v,v Satz Sei V ein Vektorraum über R mit einem Skalarprodukt, und der zugehörigen Norm Dann gilt die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung, nämlich v,w v w für alle v,w V Beweis Bei w = ist die Aussage richtig Sei also w und damit auch w = Damit hat man die Abschätzungen v v,w v,w w 2w,v w 2w = v,v v,w v,w v,w v,w w 2 w,v w 2 v,w + w,w w 4 = v,v v,w 2 w 2 Multiplikation mit w 2 und Wurzelziehen ergibt das Resultat Bemerkung 6 FürzweivonnullverschiedeneVektorenv undw ineinem euklidischen Vektorraum V folgt aus der Ungleichung von Cauchy-Schwarz, dass v,w v w

3 ist Damit kann man mit Hilfe der trigonometrischen Funktion Kosinus bzw der Umkehrfunktion den Winkel zwischen den beiden Vektoren definieren, nämlich durch v,w (v,w) = arccos v w Lemma 7 Sei V ein Vektorraum über R mit einem Skalarprodukt, Dann gelten für die zugehörige Norm folgende Eigenschaften () v, (2) v = genau dann, wenn v = ist () Für λ R und v V gilt (4) Für v,w V gilt λv = λ v v +w v + w Beweis Die ersten beiden Eigenschaften folgen direkt aus der Definition des Skalarprodukts Die Multiplikativität folgt aus λv 2 = λv,λv = λ v,λv = λ 2 v,v = λ 2 v 2 Zum Beweis der Dreiecksungleichung schreiben wir v +w 2 = v +w,v +w = v 2 + w 2 +2 v,w v 2 + w 2 +2 v,w Aufgrund von Fakt ***** ist dies ( v + w ) 2 Diese Abschätzung überträgt sich auf die Quadratwurzeln Lemma 8 Sei V ein Vektorraum über R mit einem Skalarprodukt, und der zugehörigen Norm Dann gilt die Beziehung Beweis Siehe Aufgabe ***** v,w = 2 ( v +w 2 v 2 w 2 ) Definition 9 Sei V ein Vektorraum über R mit einem Skalarprodukt, Zu zwei Vektoren v,w V nennt man den Abstand zwischen v und w d(v,w) := v w Lemma Sei V ein Vektorraum über R mit einem Skalarprodukt, Dann besitzt der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften (dabei sind u,v,w V) () Es ist d(v,w) (2) Es ist d(v,w) = genau dann, wenn v = w () Es ist d(v,w) = d(w,v)

4 4 (4) Es ist d(u,w) d(u,v)+d(v,w) Beweis Siehe Aufgabe ***** Damit ist ein euklidischer Raum insbesondere ein metrischer Raum, womit wir uns in den nächsten Vorlesungen beschäftigen werden Orthogonalität Mit dem Skalarprodukt kann man die Eigenschaft zweier Vektoren, aufeinander senkrecht zu stehen, ausdrücken Definition Sei V ein Vektorraum über R mit einem Skalarprodukt, Man nennt zwei Vektoren v,w V orthogonal zueinander (oder senkrecht), wenn v,w = ist Definition 2 Sei V ein euklidischer Vektorraum und U V ein Untervektorraum Dann heißt U = {v V v,u = für alle u U} das orthogonale Komplement von U Beispiel Sei V = R n versehen mit dem Standardskalarprodukt Zum eindimensionalen Untervektorraum Re i zum Standardvektor e i besteht das orthogonale Komplement aus allen Vektoren x x i x i+ x n, deren i-ter Eintrag ist Zum eindimensionalen Untervektorraum Rv zu einem Vektor v = a a 2 a n kann man das orthogonale Komplement bestimmen, indem man die Lösungsmenge der linearen Gleichung a x ++a n x n =

5 bestimmt Zu einem Untervektorraum U R n, der durch eine Basis v j = a j a jn, j =,,k, gegeben ist, bestimmt man das orthogonale Komplement als Lösungsraum des linearen Gleichungssystems x A =, x n wobei A = (a ji ) die aus den v j gebildete Matrix ist Definition 4 Sei V ein euklidischer Vektorraum Eine Basis v,,v n von V heißt Orthonormalbasis, wenn gilt v i,v i = für alle i und v i,v j = für i j Die Elemente in einer Orthonormalbasis haben alle die Norm und sie stehen senkrecht aufeinander Im R n ist die Standardbasis eine Orthonormalbasis Das folgende Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren erlaubt es, ausgehend von einer Basis eine Orthonormalbasis zu konstruieren Satz Es sei V ein euklidischer Vektorraum und es sei v,v 2,,v n eine Basis von V Dann gibt es eine Orthonormalbasis u,u 2,,u n von V mit 2 v,v 2,,v i = u,u 2,,u i für alle i =,,n Beweis Die Aussage wird durch Induktion über i bewiesen, dh es wird sukzessive eine Familie von orthonormalen Vektoren konstruiert, die jeweils den gleichen Unterraum aufspannen Für i = muss man lediglich v normieren, alsodurchu = v ersetzenseidieaussagefürischonbewiesenundseieine v Familie von orthonormalen Vektoren u,,u i mit u,,u i = v,,v i bereits konstruiert Wir setzen w i+ = v i+ v i+,u u v i+,u i u i DieserVektorstehtsenkrechtaufallenu,,u i undoffenbarist u,,u i,w i+ = v,,v i,v i+ Durch Normieren von w i+ erhält man u i+ Beispiel 6 Es sei V der Kern der linearen Abbildung R R, (x,y,z) 2x+y z Als Unterraum des R trägt V ein Skalarprodukt Wir möchten eine Orthonormalbasis von V bestimmen Dazu betrachten wir die Basis bestehend aus 2 Hier bezeichnet den von den Vektoren erzeugten Untervektorraum, nicht das Skalarprodukt

6 6 den Vektoren Es ist v = und somit ist v = und v 2 = 2 u = v v = der zugehörige normierte Vektor Gemäß dem Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren setzen wir 2 Es ist und daher ist w 2 = w 2 = v 2 v 2,u u = = = = 6 2, u 2 = = = 6 der zweite Vektor der Orthonormalbasis = = 4 Isometrien Häufig ist es numerisch geschickter, zuerst nur zu orthogonalisieren und die Normierung erst zum Schluss durchzuführen, siehe Beispiel *****

7 Definition 7 Es seien V und W zwei euklidische Vektorräume und sei ϕ :V W eine lineare Abbildung Dann heißt ϕ eine Isometrie, wenn für alle v,w V gilt: ϕ(v),ϕ(w) = v,w Lemma 8 Es seien V und W zwei euklidische Vektorräume und sei ϕ :V W eine lineare Abbildung Dann sind folgende Aussagen äquivalent () ϕ ist eine Isometrie (2) Für alle u,v V ist d(ϕ(u),ϕ(v)) = d(u,v) () Für alle v V ist ϕ(v) = v Beweis Die Richtungen () (2) und (2) () sind Einschränkungen und () () folgt aus Fakt ***** 7

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9 Abbildungsverzeichnis 9