Abschnitt: (symmetrische) Bilinearformen

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1 Abschnitt: (symmetrische) Bilinearformen Def Es seien (V,+, ) ein Vektorraum, u,u,u,v,v,v beliebige Vektoren aus V und λ,λ R beliebiege Skalare Eine Bilinearform auf V ist eine Abbildung σ : V V R mit der Eigenschaft (Bilinearität) σ(λ u + λ u,v) = λ σ(u,v) + λ σ(u,v), σ(u+,λ v + λ v ) = λ σ(u,v ) + λ σ(u,v ) (Symmetrie) Eine Bilinearform σ heißt symmetrisch, falls σ(u,v) = σ(v,u) Bemerkung σ(, v) = σ(u, ) = Tatsächlich, σ(,v) = σ(,v) Linearität = σ(,v) =

2 Bsp (Standard-Skalarprodukt) auf R n Für x = setze σ(x,y) = x y + + x n y n Das ist eine symmetrische Bilinearform Symmetrie ist offensichtlich (weil x i y i = y i x i ) Bilinearität: ½ x x n σ(λ x + λ x,y) = (λ x + λ x )y + + (λ x n + λ x = λ x y + + λ x ny n + λ x y + + λ x n y n = = λ σ(x,y) + λ σ(x,y) Linearität bzgl 2tem Eintrag zeigt man analog und y = n )y n = ½ y y n

3 Bsp σ : R 2 R 2 R sei wie folgt definiert: Für x = x x 2 R 2 und y = y y 2 R 2 setzen wir σ(x,y) := x y 2 x 2 y Das ist eine Bilinearform: Linearität zeigt man wie im Beispiel oben: σ(λ x + λ x,y) := λ x y 2 λ x 2y +λ x y 2 λ x 2 y }{{}}{{} λ σ(x,y) λ σ(x,y) Die Bilinearform σ ist aber nicht symmetrisch: Nach Definition ist σ(x,y) = x y 2 x 2 y und σ(y,x) ( = y x 2 ) y 2 x = (x y 2 x 2 y ) = σ(x,y) ( ) Also σ, = = σ, = =, was zeigt, dass σ nicht symmetrisch ist

4 Hauptbeispiel: Sei B := (b,,b n ) eine Basis in V Sei A Mat(n,n) Wir identifizieren Mat(n,) mit R n und Mat(,) mit R und definieren σ A : V V R wie folgt: Für die Vektoren u,v mit Koordinaten C B (u) := x := ½ x x n σ A (u,v) = x t Ay = (x x n) ½ y y n ½ ½ a a n y a n a nn y n bzw C B (v) := y = setze (In einer Formel: σ A (u,v) = (C B (u)) t AC B (v)) Mat(,) R Bsp ( Für V = ) R 2 mit der Standard-Basis (e,e 2 ) und A = Id ist x σ y A, x 2 y 2 = y y (x x 2 ) = (x y x 2 ) 2 y 2 = (x y + x 2 y 2 ) (Dies ist das Standard-Skalarprodukt in R 2 ) Die Form σ A ist bilinear: Tatsächlich, σ A (λ x + λ x,y) = (λ x + λ x ) t Ay = (λ x t + λ x t )Ay = λ x t Ay + λ x t Ay = λ σ A (u,v) + λ σ A (u,v) Linearität bzgl zweiter Variable ist ähnlich Noch einmal: wir brauchen die folgenden Daten für σ A : eine Matrix A und eine Basis

5 Berechnen Sie bitte selbst: σ A (x, y) ( wobei A = ), x = ( ), y = 2 ( ) 2 Antwort: ( ) ( ) ( ) 2 2 = ( 3 ) ( ) 2 = ( 6)

6 Bsp Wir betrachten das Bilinearprodukt aus dem anderen Beispiel oben: σ(x,y) = x y 2 x 2 y Diese Bilinearform kann man auch wie im Hauptbeispiel darstellen Die entsprechende Matrix ist (und die entsprechende Basis ist die Standardbasis): (x x 2 ) y y 2 = (x x 2 ) y 2 y = x y 2 x 2 y = σ(x,y)

7 Lemma 29 Die Bilinearform σ A ist symmetrisch A t = A (Solche Matrizen heißen symmetrische Matrizen) Bsp: symmetrische Matrizen Bsp Wir haben gesehen, dass das Standard-Skalarprodukt, also die Bilinearform ) σ ( ½ ½ x y, x n y n = (x x n ) ½ ½ y y n = x y + + x n y n symmetrisch ist Die Matrix Id ist offensichtlich auch symmetrisch Bsp Wir haben gesehen, dass die Bilinearform σ(x,y) = x y 2 x 2 y nicht symmetrisch ist Die Matrix A für diese Bilinearform haben wir ebenfalls konstruiert: A = ; diese Matrix ist NICHT symmetrisch, weil A t = A A

8 Beweis in = Lemma 29 Die Bilinearform σ A ist symmetrisch A t = A (Solche Matrizen heißen symmetrische Matrizen) Wiederholung Hausaufgabe c Blatt 8 (Rechenregel für das Produkt transponierter Matrizen) : (AB) t = B t A t Beweis in = Angenommen, A t = A Setzen wir σ A (u,v) = α Zz: σ A (v,u) = α Seien x = C(u) R n und y = C(v) R n die Koordinatenvektoren von u und v Nach Definition ist Mat(,) (α) Def = x t Ay ( ) Wir transponieren die beiden Seiten der Gleichung ( ) Da (α) t = (α), (α) = (x t t Hausaufgabe c Blatt 8 Ay) = y t A t (x t ) t weil (xt ) t = x und A t = A ist = y t Ax = σ A (v,u) Also σ A (u,v) = α = σ A (v,u) und σ A ist daher symmetrisch

9 Beweis in = Wicht Frage vor dem Beweis: Was ist σ A (b i,b j )? Antwort: Wir wissen, dass C(b j ) = e j = Platz j ist Dann gilt: σ A (b i,b j ) = ( ßÞÐ Platz i ) a a j a n a i a ij a in a n a nj a nn ½ ½ Platz j = ( ßÞÐ Platz i ) a j a ij a nj ½ = a ij Beweis von = in Lemmas 29: Angennommen, σ A ist symmetrisch Dann ist σ A (b i,b j ) = σ A (b j,b i ) Dann ist a ij = a ji, und deswegen A t = A

10 Jede Bilinearform ist wie in HauptBsp Satz 33 Sei (b,,b n ) eine Basis in V Dann gilt: für jede Bilinearform σ auf V gibt es genau ein A Mat(n,n), so dass σ = σ A Ferner gilt: das Element (i,j) der Matrix A ist gleich σ(b i,b j ) Die Matrix A = (a ij ) = σ(b i,b j ) heißt die Matrix der Bilinearform oder Gramsche Matrix Bsp Wir haben gesehen, dass die Gramsche Matrix des Standard-Skalarprodukts bzgl der Standardbasis, σ(x,y) := x y + + x n y n, gleich Id ist (weil x t Id y = (x x n ) ½ y y n = x y + + x n y n ) Man kann Sie auch mit der im Satz vorgeschlagenen Regel konstruieren: {(i,j) Element ist für i = j σ(ei,e i ) = = für i j σ(e i,e j ) = = wie in der Einheitsmatrix Bsp Wir haben gesehen, dass die Gramsche Matrix der Bilinearform σ(x,y) = x y 2 x 2 y bzgl der Standardbasis gleich ist

11 Beweis von Satz 33: zuerst Konstruktion und Eindeutigkeit Angenommen σ A (u,v) = σ B (u,v) für alle u,v V Dann ist σ A (b i,b j ) = σ B (b i,b j ) Da σ A (b i,b j ) gleich dem Element (i,j) von A ist (siehe Wicht Bsp in Beweis von Lemma 29) und σ B (b i,b j ) gleich (i,j)-element von B ist, sind die Matrizen gleich Eindeutigkeit ist bewiesen Außerdem sehen wir, dass wenn σ = σ A für eine Matrix A ist, dann ist (i,j) Eintrag von A gleich σ(b i,b j )

12 Beweis der Existenz Man betrachte die Matrix A mit a ij = σ(b i,b j ) Man betrachte die Bilinearform σ : V V R, σ (u,v) := σ(u,v) σ A (u,v) Zz: σ (u,v) = Nach Konstruktion ist σ (b i,b j ) = σ(b i,b j ) }{{} a ij }{{} a ij Wicht Bsp = ( ) Seien u = x b + + x n b n und v = y b + + y n b n Dann ist σ (u,v) = σ (x b + + x n b n,y b + + y n b n ) = x σ (b,y b + + y n b n ) + + x n σ (b n,y b + + y n b n ) = ( = x y σ (b,b ) }{{} nach ( ) ++y n σ (b,b n ) }{{} nach ( ) ) ( ++xn y σ (b n,b ) }{{} nach ( ) Da alle σ (b i,b j ) ( ) =, ist die Summe oben gleich ++y n σ (b n,b n ) }{{} nach ( ) Bemerkung Es gibt eine klare Analogie zum Beweis von Satz 3 aus dem Abschnitt Matrizen von linearen Abbildungen : Wir haben gezeigt, dass wegen der Linearität die Werten der Bilinearform auf den Basisvektoren die Bilinearform bestimmen Die Gramsche Matrix A ist so konstruiert, dass σ(b i,b j ) = σ A (b i,b j ) für beliebige Basisvektoren b i,b j ; daraus folgt dass σ σ A )

13 Wie ändert sich die Gramsche Matrix, wenn wir die Basis wechseln? Wiederholung: Gramsche Matrix zu σ bzgl Basis B ist die Matrix A sodass σ(u,v) = (C B (u)) t AC B (v) ( ) Wiederholung Satz 25 v gilt: TC B (v) = C B (v), ( ) wobei T die Transformationsmatrix von B nach B ist,dh die Spalten von T sind die Koordinaten von b i in der Basis B Also ist σ(u,v) ( ) = (C B (u)) t AC B (v) ( ) = (TC B (u)) t Hausaufgabe c Blatt 8 ATC B (v) = (C B (u)) t } T t {{ AT } C B (v) A Wir haben bewiesen: Satz 34 (Transformationsregel für Gramsche Matrizen) Sei A die Gramsche Matrix der Bilinearform σ bzgl der Basis B Dann ist A := T t AT die Gramsche Matrix von σ bzgl der Basis B, wobei T die Transformationsmatrix von B nach B ist Kleine Übung: Ist A symmetrisch (dh A t = A), so ist T t AT auch symmetrisch In der Tat, (T t t Hausaufgabe c Blatt 8 AT) = T t A t (T t ) t = T t AT

14 Zielsetzung: Ziel: Symmetrische Bilinearformen untersuchen Methode: Suchen eine Basis, sodass die Matrix einfach ist Wiederholung Satz 34 (Transformationsregel für Gramsche Matirzen) Nach Basiswechseln mit der Transformationsmatrix T wird die Gramsche Matrix A der Bilinearform σ wie folgt geändert: A T t AT Ziel umformuliert: In welche einfachste Form kann man eine Matrix mit Hilfe der Transformation A T t AT bringen (wobei T Mat(n, n) nichtausgeartet ist)?

15 Skalarprodukt: Def einer Bilinearform Vorsetztung: Eine Bilinearform heißt positiv definit, falls (Positive Definitheit) σ(u, u) > für u Eine symmetrische positiv definite Bilinearform heißt ein Skalarprodukt (oder: inneres Produkt) Bsp Das Standard-Skalarprodukt auf R n, σ(x, y) = x y + + x n y n = (x x n ) ½ y y n, ist ein Skalarprodukt: Bilinearität und Symmertrie haben wir bereits bewiesen Zz: (Positive Definitheit): σ(x, x) = x + + x2 n für x >

16 Bsp Seien α,, α n R Setze σ(x, y) = α x y + + α n x n y n Das ist eine symmetrische Bilnearform auf R n (beweis wie im Bsp mit Standard-Skalarprodukt) Frage: Ist sie positiv definit? Frage umformuliert: Ist σ(x, x) > für alle x R n, x? Antwort hängt von den α i ab Sind alle α i >, so ist σ(x, x) = α x α nxn 2 und dies ist nur für x = gleich Falls ein α i ist, dann ist σ(e i, e i ) = + + α i + + = α }{{} i, also gibt es i te Summante ein u, so dass σ(u, u) und die Bilinearform ist nicht positiv definit Frage: Was ist die Gramsche Matrix von σ? Satz 33 Antwort: a ij = σ(e i, e j ) = Also ist die Gramsche Matrix { für i j α i für i = j ½ α α n

17 Orthogonale und orthonormale Basen Def Eine Basis (b,,b n ) heißt orthogonal bzgl einer Bilinearform σ, falls für alle i j {,,n} gilt: σ(b i,b j ) = Falls zusäzlich für jedes i {,,n} σ(b i,b i ) = gilt, dann heißt die Basis orthonormal Bsp Die Standard-Basis in R n ist eine Orthogonalbasis für die Bilinearform σ(x,y) := α x y + + α n x n y n (In der Tat, für i < j gilt σ(e i,e j ) := + + α i + + α }{{} j + + = ) }{{} i te Summante j te Summante Außerdem ist jede Basis der Form (λ e,,λ n e n ) wobei λ i orthogonal (dh alle Vektoren sind vielfache der Standard-Basisvektoren) Bsp Die Standard-Basis in R n ist eine Orthonormalbasis für das Standard-Skalarprodukt σ(x,y) := x y + + x n y n In der Tat, wie wir oben bewiesen haben, ist sie orthogonal Da zusätzlich σ(e i,e i ) := + + }{{} + + =, ist sie orthonormal i ter Summand Die Basis der Form (λ e,,λ n e n ) mit λ i ist im Allgemeinen nicht mehr orthonormal: die Bedingung σ(b i,b j ) = für i j ist erfüllt, aber die Bedingung σ(b i,b i ) = ist nur dann erfüllt, wenn die λ i {, } sind

18 Geometrische Vorstellung Wir werden später (in einem Vektorraum mit Skalarprodukt) Länge und Winkel einführen Sie werden sehen, dass eine Basis gd orthogonal ist, wenn alle Winkel zwischen den Basisvektoren rechte Winkel sind, und gd orthonormal, wenn zusätzlich alle Basisvektoren die Länge haben Orthonormale Basis Orthogonale Basis

19 Lemma 3 Sei σ eine Bilinearform Dann gilt: Ist (b,,b n ) eine orthogonale Basis, so ist die Gramsche Matrix von σ diagonal Ist (b,,b n ) eine orthonormale Basis, so ist die Gramsche Matrix von σ gleich Id Beweis: Ausrechnen: nach { Definition der Gramschen Matrix A = (a ij ) Satz 33 für i j gilt a ij = σ(b i,b j ) = Wir sehen, dass σ(b i,b i ) := α i für i = j A = ½ α α n Ist außerdem die Basis orthogonal, dann sind die α i := σ(b i,b i ) Def =, also ist die Matrix gleich Id

20 Folgerung: Es gilt: (a) eine othogonale Basis= die Bilinearform ist symmetrisch (b) eine othonormale Basis= die Bilinearform ist symmetrisch und positiv definit (und ist deswegen ein Skalarprodukt) Beweis: Die diagonalen Matrizen sind symmetrisch (dh sie erfüllen A t Lemma 29 = A) = σ ist symmetrisch Gibt es eine orthonormale Basis, so ist die Gramsche Matrix gleich Id, also gilt für v V,v mit Koordinaten σ(v, v) = (x x n )Id ½ x x n = (x x n ) ½ ½ x x n ½ x x n, dass = x2 + + x2 n >

21 Satz 35 σ sei eine Bilinearform auf einem Vektorraum V der Dimension n Es gibt genau dann eine orthonormale Basis, wenn die Bilinearform ein Skalarprodukt ist Satz in Richtung = : Folgerung (b) Beweis von = Angenommen σ ist ein Skalarprodukt Wir werden zuerst eine orthogonale und dann eine orthonormale Basis algorithmisch konstruieren; der Algorithmus heißt Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren Wir werden auch sehen, dass wir als ersten Vektor der orthonormalen Basis einen beliebigen Vektor v mit σ(v,v) = wählen können Ferner gilt: { wenn die Vektoren b,,b k die Bedienungen für i = j σ(b i,b j ) = erfüllen, dann kann man das k Tupel für i j (b,,b k ) zu einer orthonormalen Basis vervollständigen

22 Sei (a,,a n ) eine Basis Schritt Setze b = a Schritt 2 Setze b 2 = a 2 σ(b,a2) σ(b b,b ) Das ist wohldefiniert, weil σ(b,b ) ist Eigenschaften von b 2 : (i)( σ(b,b 2 ) = und (ii) ) b 2 Beweis (i): σ(b,b 2 ) = σ b,a 2 σ(b,a2) σ(b b,b ) Linearität = σ(b,a 2 ) σ(b,a2) σ(b σ(b,b ),b ) = σ(b,a 2 ) σ(b,a 2 ) = Beweis (ii): Da b 2 eine nichttriviale Linearkombination der Elemente der linear unabhängigen Menge {a,a 2 } ist, ist b 2 Bsp Im R 3 versehen mit dem Standardskalarprodukt betrachten wir das Basistupel ½ ½ ½½,, G-S-Orthogonalisierungsverfahrens durch b := a = ½ ; b 2 := a 2 σ(b,a2) σ(b,b ) b = und führen den ersten Schritt des ½ + + ½ + + = ½ 2 ½ = /2 /2 Wir sehen, dass b und b 2 nicht zueinander proportional sind Außerdem sehen ( wir, dass σ(b,b 2 ) = ist, weil σ ½, /2 ½) /2 = 2 + ( 2) + = wie wir wollten ½

23 Schritt 3 Setze b 3 = a 3 σ(b,a3) σ(b b,b ) σ(b2,a3) σ(b b 2,b 2) 2 Das ist wohldefiniert, weil σ(b,b ) σ(b 2,b 2 ) ist Eigenschaften von b 3 : (i)( σ(b,b 3 ) = σ(b 2,b 3 ) = und (ii) ) b 3 Beweis (i): σ(b,b 3 ) = σ b,a 3 σ(b,a3) σ(b b,b ) σ(b2,a3) σ(b b 2,b 2) 2 Linearität = σ(b,a 3 ) σ(b,a3) σ(b σ(b,b ),b ) σ(b2,a3) σ(b σ(b 2,b 2),b 2 ) = σ(b,a 3 ) σ(b,a 3 ) = Ähnlich zeigt man ( σ(b 2,b 3 ) = : ) σ(b 2,b 3 ) = σ b 2,a 3 σ(b,a3) σ(b b,b ) σ(b2,a3) σ(b b 2,b 2) 2 Linearität = σ(b 2,a 3 ) σ(b,a3) σ(b,b ) σ(b 2,b ) σ(b2,a3) σ(b 2,b 2) σ(b 2,b 2 ) = σ(b 2,a 3 ) σ(b 2,a 3 ) = Beweis (ii): Da b 3 eine nichttriviale Linearkombination der Elemente der linear unabhängigen Menge {a,a 2,a 3 } ist, ist b 3

24 Rechnen Sie bitte selbst: Führen Sie den zweiten Schritt des G-S-Verfahrens für die Basis (a, a 2, a 3 ) = ½, ½, ½½ durch Den ersten Schritt haben wir bereits gemacht: b = a = ½ ; b 2 = Lösung /2 ½ /2 b 3 = a 3 σ(b,a 3 ) σ(b,b ) b σ(b 2,a 3 ) σ(b 2,b 2 ) b 2 = σ σ ½ /2, /2 ½ /2, /2 ½ /2 ½ /2 /2 ( ) ( ) = 2 3 ½, σ σ ½, ½ ½ /2 /2 ½ = Haben wir uns verrechnet? Unwahrscheinlich, da σ(b, b 3 ) = σ(b 2, b 3 ) =, was unser Ziel war ( /3 ) /3 /3

25 Schritt k Schritt k liefert k Vektoren b,,b k, die nichttriviale Linearkombinationen der {a,,a k } sind, sodass (ii) jedes b i und sodass (i) σ(b i,b j ) = für i j Setze b k = a k k σ(b i,a k ) i= σ(b i,b i ) b i Wir zeigen: (i) für j < k gilt σ(b j,b k ) = und (ii) b k Beweis (i): σ(b j,b k ) = σ(b j,a k k σ(b i,a k ) i= σ(b i,b i ) b i) k = σ(b j,a k ) Linearität σ(b i,a k ) σ(b i,b i ) σ(b j,b i ) i= }{{} nur σ(b j, b j ) nach (i) = σ(b j,a k ) σ(b j,a k ) = Beweis (ii): Da b k eine nichttriviale Linearkombination der Elemente der linear unabhängigen Menge {a,,a k } ist, ist b k Nach n Schritten bekommen wir {b,,b n } so dass (i) σ(b i,b j ) = für i j und so dass (ii) b i Wir zeigen: diese Menge ist linear unabhängig Sei n i= λ ib i = Für jedes j ist dann σ(b j, n i= λ ib i ) = Aber weil nur σ(b j, b j ) = λ j σ(b j,b j ) σ(b j, n i= λ ib i ) Linearität = n i= λ iσ(b j,b i ) Da σ(b j,b j ) ist, muss λ j = Da j beliebig war, sind alle λ j =, also ist die Linearkombination trivial Also ist (b,,b n ) eine Basis, nach Konstruktion ist sie orthogonal

26 ( Wir normieren die Basis-Vektoren: Man betrachten ) b σ(b, b,b ) σ(b2 2,, b n Da σ(b i, b i ) positiv,b 2 ) σ(bn,b n) ist, sind die Vektoren wohldefinitert Wir ( zeigen: dieses Tupel ist) eine orthonormale Basis Tatsächlich, σ b σ(bi i, b Bilinearität j =,b i ) σ(bj,b j ) { σ(bi,b i ) σ(b σ(bi,b i ) σ(bj i, b j ) = σ(b i,b i ) =, falls i = j,b j ), falls i j

27 Rechnen Sie bitte selbst Normieren ( Sie bitte die Vektoren der orthogonalen Basis ½ )), Lösung: /2 ½ /2 b := 2 σ, ( /3 /3 /3 ( ½, ½ ½ = / ½ 2 / 2 orthogonal; σ(b,b ) ist aber gleich ) ( σ /2 ½ /2, /2 ½) /2 ersetzt (( ) /3 σ /3, /3 b 3 := ( 3 ( /3 /3 /3 /3 /3 /3 )) ) = ) = 2, also wird b in der Basis durch ersetzt (ist immer noch zu b 2 und b 3 = 3 2, also wird b 2 durch 2 = ( / 3 / 3 / 3 Die Basis (b,b 2,b 3 ) = ( / orthonormiert!!! 3, deswegen wird b 3 durch ) ersetzt ½ 2 / 2, / ½ 6 / 6 2/ 3, /2 ½ / ½ 6 /2 3 = / 6 2/ 3 ( )) / 3 / 3 / ist 3

28 Bsp

29 Satz 35 in Worten: Jedes Skalarprodukt in einem endlichdimensionalen Vektorraum ist das Standard-Skalarprodukt in einer geeigneten Basis Modifikation des Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens: Mann kann in jedem Schritt den konstruierten Vektor b k mit σ(bk,b k ) multiplizieren Vorteil : die Basis (b,,b n ) wird orthonormal Vorteil 2: in der Formel b k = a k k i= σ(b i,a k ) σ(b i,b i ) b i wird σ(b i,b i ) = Nachteil Die Formel für b i wird in der Regel Wurzeln enthalten rechnerisch kompliziert

30 Bezeichnung: Wenn wir auf V ein Skalarprodukt σ ausgewält haben, werden wir es mit, bezeichnen, dh statt σ(u,v) werden wir u,v schreiben Alternative Schreibweisen in der Literatur: (, ), Def Ein Euklidscher Vektorraum ist ein Paar (V,, ),wobei V ein endlichdimensionaler Vektorraum ist und, ein Skalarprodukt Nach Satz 35 können wir in V eine Basis B wählen, sodass, das Standard-Skalarprodukt ist: für die Vektoren x, y mit Koordinatenvektoren ½ x x n bzw ½ y y n gilt: x,y = x y + + x n y n Bemerkung Ist U ein Untervektorraum des Euklidschen Vektorraums (V,, ), so ist (U,, U ) ein Euklidscher Vektorraum, wobei u,u 2 U = u,u 2

31 Frage Welche Koordinaten hat ein Vektor v in einer orthonormalen Basis? Satz 36 Es sei (V,, ) ein Euklidscher Vektorraum Sei (b,,b n ) eine orthonormale Basis Dann gilt: die Koordinaten von beliebiges v V sind gleich ½ b, v b n, v In Worten: Die Koordinaten in der orthonormalen Basis sind die Skalarprodukte mit den Basisvektoren Bsp Wir betrachten R 2 mit dem Standard-Skalarprodukt, Die Standard-Basis ist bzgl des Standard-Skalarprodukts orthonormal Dann gilt:, x x 2 = x und, x x 2 = x2, also gibt uns die Formel im Satz 36 die richtige Antwort (weil die Koordinaten von x x 2 in der Standard-Basis offensichtlich x, x 2 sind)

32 Bsp Wir haben ( oben eine orthonormierte Basis (b,b 2,b 3 ) = / ½ 2 / / ½ )) 6 2, / 6, des R 3 mit dem 2/ 3 Standard-Skalarprodukt konstruiert ( / 3 / 3 / 3 Wie findet man die Koordinaten eines Vektors, zb ½, in dieser Basis? Man kann dies mit Hilfe der Definition tun dazu muss man ein LGS / ½ 2 / ½ ( ) 6 / 3 + x 2 / 6 + x 3 / 3 = ½ x / 2 2/ 3 / 3 für die (( Unbekannten x,x 2,x 3 lösen Mit Satz 36 ist dies viel einfacher: ) / 2 x = σ / 2, ½) = / ( / ½ 6 2, x 2 = σ / 6, ½) = / 6, 2/ 3 ) x 3 = σ, ½) = / 3 (( / 3 / 3 / 3 (Sie können diese x,x 2,x 3 in das LGS oben einsetzen und sehen, dass x,x 2,x 3 die Koordinaten des Vektors ½ in der Basis (b,b 2,b 3 ) sind)

33 Beweis von Satz 36 Satz 36 Es sei (V,, ) ein Euklidscher Vektorraum Sei (b,,b n ) eine orthonormale Basis Dann gilt: die Koordinaten eines beliebigen v V sind gleich Beweis Sei ½ x x n ½ b, v b n, v der Koordinatenvektor von v Zz: x i = b i, v, dh, v = x b + + x n b n Man nehme ein i {,,n} und betrachte b i, v = b i, x b + + x n b n Bilinearität = x b i, b + + x n b i, b n Da b i, b j = für i j und b i, b i =, ist b i, v = x i Folgerung Es sei V ein Vektorraum mit dem Skalarprodukt, Für ein u V gelte: für jedes v V ist v, u = Dann gilt: u =

34 Orthogonale Projektion Lot Def Sei (V,, ) ein Euklidscher Vektorraum Die Vektoren u, v V heißen orthogonal, falls u,v = Ein Vektor v heißt orthogonal zu der nichtleeren Teilmenge M V, falls v zu allen Vektoren aus M orthogonal ist Bsp Jeder Vektor ist orthogonal zu Bemerkung Wir werden später sehen, dass die Vektoren u,v gd orthogonal sind, wenn der Winkel (wird später definiert) zwischen u und v gleich π/2 ist Def (Schulgeometrie) Sei U ein Untervektorraum von V Für v V heißt der Vektor u U, so dass v u orthogonal zu U ist, die orthogonale Projektion (oder: das Lot) des Vektors v auf U und wird mit Proj U (v) bezeichnet

35 Geometrische Vorstellung: B C A B C A Vektor AC ist Projektion des Vektors ( AB auf span { ) AC}, da AB AC = CB zu ( AC und deswegen auch zu allen Vektoren aus span { ) AC} orthogonal ist

36 Lemma 3 Sei (V,, ) ein Euklidscher Vektorraum Sei U ein Untervektorraum von V Dann gilt: für jedes v V existiert genau eine Projektion u von v auf U Ferner gilt: für jedes u U, u u ist v u,v u > v u,v u In Worten: Die Projektion des Vektors v auf der Unterraum U existiert, ist eindeutig und minimiert v u für u U Beweis Eindeutigkeit: Für die Vektoren u, u 2 U gelte: für jedes u U v u,u = und v u 2,u = Dann = v u,u v u 2,u Bilinearität = u 2 u,u Folgerung = u u 2 = Existenz Skalarprodukt auf V induziert ein Skalarprodukt auf U Nach Satz 35 existiert eine orthonormalen Basis (b,,b m ) in U Betrachte u := v,b b + v,b 2 b v,b m b m Wir zeigen: u ist die Projektion von v Tatsächlich, v u = v v,b b v,b m b m Deswegen v u,b i = v,b i v,b b,b i v,b m b m,b i = v,b i v,b i = Also ist v u orthogonal zu allen b i und deswegen zu allen u U Damit ist die Existenz der orthogonalen Projektion bewiesen

37 Wir zeigen jetzt: für jedes u U, u u ist v u,v u > v u,v u (wobei u die orthogonale Projektion von v auf U ist) Offensichtlich, v u = v u + u u }{{} Da u U ist, ist u zum u U Vektor v u orthogonal, also v u,u = u,v u = Dann gilt: v u,v u = v u + u,v u + u Linearität = v u,v u + u + u,v u + u Linearität = v u,v u + v u,u + u,v u + u,u = v u,v u + u,u }{{}}{{} Da u,u > nach Definition von Skalarprodukt weil u ist, ist v u,v u = v u,v u + etwas positives, schließlich v u,v u > v u,v u,

38 Wicht Formel aus dem Beweis von Lemma 3: Proj U (v) = v,b b + v,b 2 b v,b m b m, wobei (b,,b m ) eine orthonormierte Basis in U ist Geometrische Beschreibung des Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens: Für k 2 gilt b k = a k Proj span({a,,a k })(a k ) Tatsächlich, die Formel für b k war b k = a k k σ(b i,a k ) i= σ(b i,b i ) b i = a k Proj span({a,,a k })(a k ), { } b weil,, eine orthonormalen Basis in b,b span({a,,a k }) ist b k bk,b k

39 Bsp Wir betrachten die Vektoren und projizieren den Vektor b orthogonal auf span(a) Dann gilt: a,a = 3 ( ) =, also ist die Basis (a) in span(a) bereits orthonormiert a,b = 3 (2 + 7 ) = 8 3 Dann ist Proj span(a) (b) = 8 3 a = 8 3 ½

40 Link zur Schulgeometrie Schuldefinition Ein kartesisches (descartsches) Koordinatensystem in der Ebene besteht aus zwei orthogonalen orientierten Geraden Ein kartesisches (descartsches) Koordinatensystem im Raum besteht aus drei paarweise orthogonalen orientierten Geraden, die alle einen gemeinsamen Punkt haben

41 Link zur Schulgeometrie Die Koordinaten eines Punkts P sind die vorzeichenbehafteten Abstände zu den Fußpunkten der Lote des Punktes auf die Geraden Das Vorzeichen ist +, falls das Lot auf der positiven Hälfte der Geraden liegt, und, falls das Lot auf der negativen Hälfte der Geraden liegt z P=(x,y,z) y P=(x,y) y x x

42 Kartesische Koordinaten als Koordinaten bzgl einer Basis Wir zeigen: Falls die Vektoren u, v orthogonal sind und deren Länge gleich ist, dann sind die Koordinaten jedes Vektors in der Basis ( u, v) der Ebene gleich den kartesischen Koordinaten (bzgl der Geraden, die von den Vektoren u und v erzeugt werden) Nehmen wir einen Punkt A in der Ebene Man betrachte zwei orthogonale Vektoren u, v mit Anfang in A Man betrachte die erzeugten (geordneten) Geraden (X-Achse und Y -Achse) Der Vektor w habe Koordinaten x y in der Basis ( u, v), also w = x u + y v Da die Länge des Vektors x u gleich x ist, ist der Abstand zwischen der orthogonalen Projektion auf die X-Achse und A gleich x Ähnlich ist der Abstand zwischen der orthogonalen Projektion auf die Y -Achse und A gleich y Also sind die kartesische Koordinaten auch x Y-achse C D y yv v w X-achse A u xu

43 Kartesische Koordinaten als Koordinaten bzgl einer (orthonormalen) Basis in D3