Orthonormalbasis. Orthogonalentwicklung

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1 Orthonormalbasis Eine Orthogonal- oder Orthonormalbasis des R n (oder eines Teilraums) ist eine Basis {v,..., v n } mit v i = und v i, v j = für i j, d. h. alle Basisvektoren haben Norm und stehen senkrecht aufeinander. Orthogonalentwicklung Für einen beliebigen Vektor x gilt dann n x = x, v i v i = x, v v + x, v v x, v n v n i= Geometrisch bedeutet dies, dass der Vektor x in Komponenten in Richtung der v i zerlegt wird. ortho.pdf, Seite

2 Beispiel ( ), Mit v = und v, 8 = ( ), 8 ist, v = v =, +, 4 = und v, v =,, 8 +, 8, =, d. h. v und v bilden eine Orthonormalbasis des R. ( ), 5 Um z. B. den Vektor x = als Linearkombination dieser Basis darzustellen, berechnet man π v (x) = x, v v =, 5v und π v (x) = x, v v = v und erhält ( ), 5 x = =, 5v + v =, 5 ( ), +, 8 ( ), 8., ortho.pdf, Seite

3 Darstellung von x durch Orthonormalbasis {v, v } ortho.pdf, Seite

4 Beispiel {v, v, v } = {,, ist eine Orthonormalbasis des R. Mit x = folgt dann z. B. x, v = x, v = und x, v = und somit = v v + v = Mit x = (; ; ) folgt analog = v + v + v = } + + ortho.pdf, Seite 4

5 Beispiel { {v, v } = Z. B. ist ( ( ) = ), ( ( )} ), v v + ( ) ( ) = = Bemerkung ist eine Orthonormalbasis des R. ( ), v v ( ) ( ) Die Konstruktion einer Orthonormalbasis kann mit dem Orthogonalisierungsverfahren von GramSchmidt erfolgen. ortho.pdf, Seite 5

6 Das GramSchmidtVerfahren ist eine Methode, ausgehend von einer beliebigen Basis {v,..., v n } des R n oder eines Teilraums (oder allgemeiner eines beliebigen euklidischen Vektorraums) eine Orthonormalbasis {b,..., b n } zu konstruieren. Dazu wird schrittweise ausgehend vom Basisvektor v k ein neuer Vektor b k berechnet, welcher Norm hat und auf den davor berechneten Vektoren b,..., b k senkrecht steht. Algorithmus, Schritt b = v v Der. Basisvektor wird auf Länge normiert. ortho.pdf, Seite

7 Algorithmus, Schritt ˆb = v v, b b und b = ˆb ˆb Die Berechnung erfolgt in zwei Teilschritten. Zunächst wird der zu b senkrechte Anteil v = ˆb von v bestimmt, im zweiten Teilschritt wird dieser auf Länge normiert. Algorithmus, Schritt k k ˆb k = v k v k, b i b i = v k v k, b b... v k, b k b k i= und b k = ˆb k ˆb k Wie im. Schritt wird zunächst der Anteil ˆb k von v k bestimmt, der auf den bisher berechneten Basisvektoren senkrecht steht. Im abschlieÿenden Teilschritt wird dieser normiert. ortho.pdf, Seite 7

8 Beispiel Konstruiert werden soll eine Orthonormalbasis {b, b }{ des R ausgehend ( ) ( )} 4 von der Basis {v, v } =,. Im ersten Schritt wird der erste Basisvektor v normiert: ( ) ( ) b = v v = 4, 8 =. 5, ortho.pdf, Seite 8

9 Fortsetzung Beispiel Um einen zu b senkrechten normierten Basisvektor b zu bekommen, wird zunächst v in einen Parallel- und einen Senkrecht-Anteil bezüglich b zerlegt: (v ) = v, b b ( ) ( ) ( ), 8, 8 =,,, ( ), 8 = b = und, ˆb = (v ) = v (v ) = v v, b b ( ) ( ) ( ), 8, = =,, ortho.pdf, Seite 9

10 Beispiel, letzter Schritt Schlieÿlich muss der zweite Basisvektor ˆb normiert werden. Mit ( ) ˆb =,, =, 44 +, 5 = 4 = erhält man b = ˆb ˆb = ( ), =, ( ),., 8 Somit berechnet das Verfahren von GramSchmidt ausgehend von der Basis {v, v } die Orthonormalbasis { ( ) ( )}, 8, {b, b } =,.,, 8 ortho.pdf, Seite

11 Beispiel im R Mit v =, v = und v = erhält man b = v v =, Mit v, b = v, b b = ˆb = v v, b b = und b = ˆb ˆb =. = = ist ortho.pdf, Seite

12 Fortsetzung Beispiel (. Schritt) v =, v =, v =, b =, b = Von v werden zunächst die zu b und zu b parallelen Anteile abgezogen: Mit v, b = und v, b = erhält man ˆb = v b b = und damit b = ˆb ˆb =. = = ortho.pdf, Seite

13 Bemerkung Beim Normieren eines Vektors spielen skalare Vorfaktoren α > keine Rolle, da sie sich rauskürzen, d. h. für x R n ist x = x αx (αx). Dies kann ausgenutzt werden, um im Normierungsschritt die Rechnung zu vereinfachen. Beispiel: Mit x = ist / / = / x = x = x x. und x = x = ortho.pdf, Seite

14 Bemerkung Das Verfahren von GramSchmidt funktioniert auch, wenn die v k linear abhängig sind. In diesem Fall wird einer oder mehrere der ˆb k zu Null. Die entsprechenden b k sind wegzulassen. Die verbleibenden b k bilden dann eine Orthonormalbasis des von v,..., v n erzeugten Teilraums. ortho.pdf, Seite 4

15 Beispiel v = Man erhält b =,, v = ˆb = v b = v und ˆb = v 5 b b = Es folgt, dass {b, b } =, v = 4 5 = b = =. 5 { }, eine Orthonormalbasis ( des von v ), v und v erzeugten Teilraums L,, 4 5 ist, der somit eine Ebene im R ist. ortho.pdf, Seite 5

16 Orthogonale Matrizen Eine n nmatrix Q heiÿt orthogonal, wenn ihre Spalten eine Orthonormalbasis des R n bilden. Da die Komponenten des Matrizenprodukts Q T Q Skalarprodukte der Zeilen von Q T (= Spalten von Q) mit den Spalten von Q sind, folgt Q orthogonal Q T Q = I n Q T = Q QQ T = I n. Damit bilden auch die Zeilen einer orthogonalen Matrix eine Orthonormalbasis des R n. Beispiel Q = Q = (, Q = ) und I n sind orthogonale Matrizen., ortho.pdf, Seite

17 Eigenschaften orthogonaler Matrizen Eine quadratische Matrix Q ist genau dann orthogonal, wenn Q T Q = I n, d. h. die Transponierte Q T gleich der Inversen Q ist. Ist Q orthogonal, so auch Q T = Q. Sind P und Q orthogonal, so auch PQ. Die Menge aller orthogonalen n nmatrizen bildet eine Gruppe bezüglich der Matrizenmultiplikation. Die Determinante einer orthogonalen Matrix ist oder. (aber nicht jede Matrix mit Determinante ± ist orthogonal!) Sind b,..., b n die Spaltenvektoren einer orthogonalen Matrix Q, so erhält man die Koordinatendarstellung y = n a i= ib i eines beliebigen Vektors y R n durch a = (a,..., a n ) T = Q T y. ortho.pdf, Seite 7

18 Beispiel Der Vektor y = Orthonormalbasis { (, 8 {b, b } =, ( ) soll als Linearkombination bezüglich der ), ( )}, dargestellt werden., 8 Gesucht sind a, a R mit ( ) ( ) (, 8,, 8, y = a + a, =, 8,, 8 Es folgt ( ) a = Q y = Q T y = a )( a a ) ( )( ) (, 8, =,, 8 ( ) ( ), 8 d. h. man erhält die Darstellung = +, = Q( a a ) ), ( ),, 8 ortho.pdf, Seite 8

19 Beispiel Gesucht ist eine Darstellung von y = als Linearkombination y = a b + a b + a b der Orthonormalbasis { } {b, b, b } =,,. Es folgt a a a = also ist y = = b b b = =, ortho.pdf, Seite 9