Vektoren und Matrizen

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1 Vektoren und Matrizen Einführung: Wie wir gesehen haben, trägt der R 2, also die Menge aller Zahlenpaare, eine Körperstruktur mit der Multiplikation (a + bi(c + di ac bd + (ad + bci Man kann jedoch zeigen, daß für n 3 der R n keine Multiplikation zuläßt, die R n zu einem Körper macht Allerdings haben wir noch in jedem R n eine Addition (wir schreiben n Tupel als Spalten: x x 2 und eine Multiplikation mit λ R : Es gilt: V v + w w + v V2 ( v + w + u v + ( w + u V3 V : + v v + λ V4 zu v existiert v mit v + ( v V5 (α + β v α v + β v V6 (αβ v α(β v V7 α ( v + w α v + α w V8 v v Weiter hat jeder Vektor x x x 2 x x 2 y y 2 y n : : x 2 + x x2 n Der Abstand von x und y ist λx λx 2 λ x + y x 2 + y 2 + y 2 (wie bei den komplexen Zahlen eine Länge x : d( x, y : y x Es gilt: λ x (λx (λ λ 2 (x x2 n λ x Beispiel: Für Vektoren x und y ist x+ y 2 der Mittelpunkt

2 Grund: x + 2 x+ y ( y x 2 Wir betrachten zu x den Ausdruck y t x 2 : x 2 y t x 2 (y tx (y n ty n 2 { t x } y + + y 2 n x 2 + x 2 y 2 (x y + + y n 2 x 2 Grund: Die rechte Seite der Gleichung ist: x 2 t 2 + (x y + + y n 2 x 2 2t (x y + + y n + y 2 (x y + + y n 2 x 2 x 2 t 2 2t (x y + + y n + y 2 Diese Gleichung zeigt uns: n k (y i tx i 2 Der Ausdruck wird minimal für t x y ++ y n x 2 Es ist x 2 y 2 (x y ++ y n 2 x 2, also x 2 y 2 (x y + + y n 2 x 2 y 2 x y + + y n 2 { x y x y + + y n } { x y + x y + + y n } Daher ist x y x y + + y n x y x y + + y n und schließlich: x y + + y n x y + + y n x y

3 Satz: Dreiecksungleichung: x + y x + y Grund: x + y 2 (x + y ( + y n 2 x x2 n + y y2 n + 2(x y + + y n Definition: i Für zwei Vektoren x als: x 2 + y 2 + 2(x y + + y n x 2 + y x y ( x + y 2 x x y :, y n x i y i k y y n ist das Skalarprodukt definiert ii cos ( ( x, y : x y x y speziell ist also für x y Folgerung: Ist einer der beiden am Skalarprodukt beteiligten Vektoren ein Einheitsvektor, so ist das Skalarprodukt die Länge der Projektion auf den Einheitsvektor 2 x y x y Satz (Eigenschaften des Skalarproduktes, Teil I: Für alle x, y, z R n und λ, µ R gilt: x x x und x x x 2 x y y x 3 ( x + y z ( x z + ( y z : x z + y z λ( x z (λ x z x (λ z : λ x z 4 x ± y 2 x 2 + y 2 ± 2 x y 5 x y x y (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung x y x y Grund: - 4 Nachrechnen, 5 haben wir oben gezeigt Erinnerung: In C lassen sich Drehungen beschreiben durch Multiplikation mit einer komplexen Zahl z e iϕ, mit z Ist nämlich y re iψ, so gilt yz re iψ e iφ re i(ψ+ϕ Das Ergebnis hat also wieder die Länge r und schließt mit der positiven x Achse den Winkel ψ + ϕ ein

4 Definition: i Eine Matrix ist ein rechteckiges Schema aus Zahlen, mit m Zeilen und n Spalten: a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn Die Spaltenvektoren dieser Matrix seien mit a,, a n bezeichnet x x 2 ii Für einen Vektor x und eine Matrix A ist das Matrix-Vektor-Produkt definiert als: A x : x a + + a n ( cos(ψ sin(ψ Beispiel: Wir betrachten die Matrix D ψ : sin(ψ cos(ψ Dann gilt: ( cos(ψ sin(ψ sin(ψ cos(ψ ( cos(ϕ r sin(ϕ ( cos(ψ r cos(ϕ sin(ψ ( cos(ϕ cos(ψ sin(ϕ sin(ψ r cos(ϕ sin(ψ + sin(ϕ cos(ψ ( sin(ψ + r sin(ϕ cos(ψ ( cos(ϕ + ψ r sin(ϕ + ψ Das Ergebnis ist also, daß der Vektor um den Winkel ψ gedreht wird 2 Es ist ( 2 5 ( x y ( 2x 5y Der Vektor wird also in x Richtung um den Faktor 2 und in y Richtung um den Faktor 5 gestreckt 3 Die Matrix cos(ψ sin(ψ sin(ψ cos(ψ dreht in der x y Ebene und läßt die z Achse unverändert Satz: Für eine m n Matrix A und Vektoren x, y R n und λ R gilt: A ( x + y A x + A y A (λ x λ(a x Grund: A( x + y (x + y a + + ( + y n a n x a + + a n + y a + + y n a n A x + A y und A(λ x (λx a + + (λ a n λ(x a + + a n λ(a x

5 Bemerkung: Führen wir das Matrix-Vektor-Produkt nacheinander mit den Matrizen A und B durch, so erhalten wir B (A x B(x a + + a n Nach obigem Satz ist das gleich x B a + + B a n Ist nun C (B a,, B a n die Matrix, deren Spalten aus den Vektoren B a,, B a n, so ist obiger Ausdruck gleich C x Es gilt also für alle x R n : B (A x C x Definition: Für eine m n-matrix A und eine n k Matrix B ist das Matrizenprodukt die folgende m k Matrix: B A : (B a,, B a n Bemerkung: Praktischerweise gilt also: B (A x (B A x Satz: Das Matrizenprodukt ist assoziativ Grund: C (B A C (B a,, B a n (C (B a,, C (B a n Wegen der obigen Bemerkung ist das gleich ((C B a, (C B a n, was nichts anderes ist, als (C B A Achtung: Das Matrizenprodukt ist nicht kommutativ: ( ( ( 2 und ( ( ( 2 Definition: Die Transponierte einer Matrix ist gegeben durch ( A t ij A ji Es werden also Zeilen und Spalten vertauscht Beispiel: ( t Satz: Für eine n m Matrix A und eine m p Matrix B gilt: (A B t B t A t

6 Achtung: Die Reihenfolge vertauscht sich Grund: Es ist (A B ij m k A ik B kj, also (A B t ji m k Bt jk At ki (Bt A t ji Satz: (A + B t A t + B t für Matrizen A, B passender Größe Definition: Eine n n Matrix A heißt invertierbar, wenn es eine n n Matrix A gibt, mit A A A A E n Beispiel:2x2 Matrizen ( a b c d ( d ad bc ad bc b ad bc c a ad bc ad bc ( d b c a 3 3 Matrizen a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 a 22 a 33 a 23 a 32 a 3 a 32 a 2 a 33 a 2 a 23 a 3 a 22 a 23 a 3 a 2 a 33 a a 33 a 3 a 3 a 3 a 2 a a 23 a 2 a 32 a 22 a 3 a 2 a 3 a a 32 a a 22 a 2 a 2 (a a 22 a 2 a 2 a 33 + (a 3 a 2 a a 23 a 32 + (a 2 a 23 a 3 a 22 a 3 Satz: Die Inversen von Matrizen sind (wenn sie existieren eindeutig Grund: Wir nehmen an es gäbe zwei Inverse, A und A Dann ist A A E n A A Multiplizieren wir diese Gleichung von rechts mit A, so gilt: A } A {{ A } A } A {{ A } E n E n also Satz: A A (A B B A Achtung: Die Reihenfolge vertauscht sich Grund: Es ist (A B B A A E n A A A E n und genauso umgekehrt Definition: Eine Diagonalmatrix ist eine n n Matrix der Gestalt λ λ 2 : diag(λ,, λ n λ n

7 Satz: Diagonalmatrizen sind einfach: Ist D diag(λ,, λ n, so gilt: D m diag(λ m,, λm n für alle m Z Speziell: und es ist D diag(/λ,, /λ n, falls alle λ i D e i λ i e i für e i (,, }{{},, t Diagonalmatrizen stauchen, strecken oder spiegeln also i te Stelle entlang der Standardbasisvektoren, insbesondere wird nichts gedreht Beispiel: , , Weiter gilt: ( p,, p n D (λ p,, λ n p n wenn ( p,, p n die Matrix bezeichnet, die die Spalten p,, p n hat Definition: Eine n n Matrix A heißt orthogonal, wenn A A t A t A E n gilt Für orthogonale Matrizen ist also die Transponierte gleich der Inversen Beispiel: ( cos ϕ sin ϕ D ϕ : sin ϕ cos ϕ ( x Die Matrix D ϕ angewandt auf einen Vektor dreht diesen Vektor um den Winkel ϕ y (gegen den Uhrzeigersinn: ( ( x r cos ψ Ist die Darstellung in Polarkoordinaten, so gilt: y r sin ψ r D ϕ ( x y ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ( cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ sin ϕ cos ψ + cos ϕ sin ψ r ( r cos ψ r sin ψ ( cos(ϕ + ψ sin(ϕ + ψ Die letzte Gleichung stammt von den Additionstheoremen von sin und cos Die Inverse Matrix zu D ϕ ist die Matrix, die um den Winkel ϕ dreht ( ( cos( ϕ sin( ϕ cos(ϕ sin(ϕ D ϕ D ϕ D t ϕ sin( ϕ cos(ϕ sin(ϕ cos(ϕ

8 also ist D ϕ eine orthogonal Matrix Bemerkung: Orthogonale Matrizen verändern Längen von Vektoren nicht: Es ist O x 2 (O x t (O x x t O t O x x t x x 2 Auch die Winkel zwischen Vektoren x und y bleiben erhalten: cos α xt y x y xt O t O y O x O y (O xt (O x O x O y also schließen O x und O y denselben Winkel ein wie x und y Definition: Eine n n Matrix heißt diagonalisierbar, wenn es eine invertierbare n n Matrix P und eine Diagonalmatrix D gibt, mit P A P D A heißt orthogonal diagonalisierbar, wenn A diagonalisierbar mit orthogonalem P ist Bemerkung: Diagonalmatrizen sind diagonalisierbar mit P E n 2 Für m N gilt: ( m A m P D P P D } P {{ P } D P P D P (m-mal E n 3 Definieren wir v i : P e i, so ist: P D m P A v i A P e i P D e i P λ i e i λ i P e i λ i v i Diagonalisierbare Matrizen strecken, stauchen oder spiegeln, statt wie Diagonalmatrizen entlang der Standardbasen, entlang der Vektoren v i Definition: Eine n n Matrix ist symmetrisch, wenn gilt: A t A Beispiel: Jede Diagonalmatrix ist symmetrisch 2 Für eine beliebige (nicht notwendig quadratische Matrix A sind A t A und A A t symmetrisch, denn (A t A t A t (A t t A t A und (A A t t (A t t A t A A t 3 A+At 2 ist symmetrisch Bemerkung: Eine orthogonal diagonalisierbare Matrix ist notwendig symmetrisch, denn es ist (P t D P t P t D t (P t t P t D P Definition: Eine symmetrische Matrix A heißt positiv definit (semidefinit, wenn gilt und negativ definit (semidefinit, falls v t A v > ( für alle v v t A v < ( für alle v