Körper der komplexen Zahlen (1)

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1 Die komplexen Zahlen Körper der komplexen Zahlen (1) Da in angeordneten Körpern stets x 2 0 gilt, kann die Gleichung x 2 = 1 in R keine Lösung haben. Wir werden nun einen Körper konstruieren, der die reellen Zahlen als Teilmenge beinhaltet, in dem aber auch die Gleichung x 2 = 1 eine Lösung hat. Hierzu definieren wir auf R 2 zwei Verknüpfungen und durch (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) := (a 1 + a 2, b 1 + b 2 ) (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) := (a 1 a 2 b 1 b 2, a 1 b 2 + b 1 a 2 ). Satz 1.27 (R 2,, ) ist ein Körper. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545

2 Die komplexen Zahlen Körper der komplexen Zahlen (2) Beweis von Satz 1.27 Tafel. Definition 1.28 Wir nennen den Körper von Satz 1.27 den Körper der komplexen Zahlen. Im Körper der komplexen Zahlen gilt nun Wir setzen i := (0, 1). (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) Eine reelle Zahl x R identifizieren wir mit dem Tupel (x, 0) R 2. Dann können wir für die obige Gleichung schreiben als i 2 = 1. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545

3 Die komplexen Zahlen Körper der komplexen Zahlen (3) Die Symbole und wurden bisher verwendet, um deutlich zu machen, in welchem Körper die Verknüpfung ausgeführt wird. Ab jetzt nutzen wir auch in den komplexen Zahlen das Symbol für und + für. Weiterhin setzen wir für λ R und (a, b) R 2 λ (a, b) = (λ a, λ b) und (a, b) λ := (λ a, λ b). Dann lässt sich (a, b) als a + ib schreiben. Dies ist die übliche Art komplexe Zahlen zu notieren. Wir setzen C := {a + ib a, b R}. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545

4 Die komplexen Zahlen Inverse Elemente Es sei z = a + ib C. Aus dem Beweis von Satz 1.27 wissen wir: z = ( a) + i( b) = a ib z 1 = a a 2 + b 2 + i b a 2 + b 2 = 1 a 2 (a ib). + b2 Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545

5 Die komplexen Zahlen Die konjugiert komplexe Zahl Definition 1.29 Für eine komplexe Zahl z = a + ib C heißt Re(z) := a der Realteil von z, Im(z) := b der Imaginärteil von z, z := a ib die zu z konjugiert komplexe Zahl. Lemma 1.30 Für alle z, z 1, z 2 C gilt z = z, z 1 + z 2 = z 1 + z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2. Für z = a + ib C gilt: z + z = 2a R, zz = a 2 + b 2 R. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545

6 Die komplexen Zahlen Der Betrag komplexer Zahlen Definition 1.31 Für z C definieren wir den Betrag z durch z := Re(z) 2 + Im(z) 2. Lemma 1.32 z 1 = z z 2 für z 0, z = z, z = z z. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545

7 Die komplexen Zahlen C als normierter Körper Lemma 1.33 z + z 2 z Beweis. Es sei z = a + ib. z + z = 2a = 2 a 2 2 a 2 + b 2 = 2 z. Satz 1.34 C bildet mit dem Betrag als Norm einen normierten Körper. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545

8 Die komplexen Zahlen Beweis. Wir müssen die Eigenschaften von Satz 1.13 nachweisen. (i) und (ii): Tafel. (iii): Da beide Seiten der Dreiecksungleichung nichtnegativ sind, ist die Dreiecksungleichung äquivalent zu Wir betrachten die beiden Seiten: z 1 + z 2 2 ( z 1 + z 2 ) 2. z 1 + z 2 2 = (z 1 + z 2 )(z 1 + z 2 ) = (z 1 + z 2 )(z 1 + z 2 ) = z 1 z 1 + z 1 z 2 + z 1 z 2 + z 2 z 2, ( z 1 + z 2 ) 2 = z z 1 z 2 + z 2 2 = z 1 z z 1 z 2 + z 2 z 2. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545

9 Die komplexen Zahlen Fortsetzung Beweis. Durch Streichen gleicher Terme geht die Dreiecksungleichung über in z 1 z 2 + z 1 z 2 2 z 1 z 2. Es gilt z 1 z 2 = z 1 z 2 und z 1 z 2 = z 1 z 2. Mit z := z 1 z 2 entsteht z + z 2 z, was nach Lemma 1.33 stets erfüllt ist. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545

10 Durch die Bijektivität zwischen R 2 und C können wir komplexe Zahlen als Vektoren bzw. Punkte der Ebene darstellen. z 1 = a + ib z 2 = x + iy z 1 + z 2 = (a + x) + i(b + y) Die Ebene der komplexen Zahlen wird auch komplexe Ebene oder Gaußsche Zahlenebene genannt. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545

11 Polarkoordinaten Punkte in der Ebene können wir auch durch Polarkoordinaten beschreiben, d.h. durch die Länge r 0 eines Ortsvektors und seinen Winkel ϕ mit der x-achse. z = a + ib r = z R ϕ = arg(z) z = r (cos ϕ + i sin ϕ) = r e iϕ Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545

12 Komplexe Konjugation z = a + ib = r (cos ϕ + i sin ϕ) z = a ib = r (cos( ϕ) + i sin( ϕ)) Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545

13 Multiplikation komplexer Zahlen Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen z 1 und z 2 entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge. z 1 = r 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) z 2 = r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 )) Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545

14 Division komplexer Zahlen Die Division zweier komplexer Zahlen z 1 und z 2 entspricht der Differenz der Winkel und der Division der Beträge. z 1 = r 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) z 2 = r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(ϕ 1 ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 ϕ 2 )) Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545

15 Potenzieren komplexer Zahlen Aus der n-fachen Anwendung der Multiplikation ergibt sich z = r (cos ϕ + i sin ϕ) z n = r n (cos(nϕ) + i sin(nϕ). Beispiel 1.35 i = cos π 2 + i sin π 2 i 2015 = cos(2015 π 2 ) + i sin(2015π 2 ) = cos 3 2 π + i sin 3 2 π = i. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545

16 Wurzeln komplexer Zahlen Aus Multiplikation und Division erschließt sich leicht, wie man Wurzeln in C zieht. z = r (cos ϕ + i sin ϕ) z = r (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) Beispiel 1.36 i = cos π 2 + i sin π 2 i = cos π 4 + i sin π 4 = = i 2 2 (1 + i) 2 Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545

17 Fortsetzung Beispiel. Probe: ( ) 2 2 (1 + i) = 1 (1 + i)2 2 2 = 1 (( ) + i( )) 2 = 1 (0 + i2) 2 = i Bemerkung: Wegen ( z) 2 = z 2 ist auch eine Wurzel von i. 2 (1 + i) 2 Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545

18 k-te Wurzeln komplexer Zahlen Satz 1.37 Es sei z = r (cos ϕ + i sin ϕ). Dann gilt für die komplexen Zahlen ( ( z j = k ϕ r cos k + 2πj ) ( ϕ + i sin k k + 2πj )), j = 0..., k 1 k die Gleichung z k j = z. Definition 1.38 Die komplexen Zahlen z j aus Satz 1.37 sind die k-ten Wurzeln von z. Die k-ten Wurzeln von z = 1 heißen k-te Einheitswurzeln. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545

19 Beispiel 1.39 Die fünften Wurzeln von z = 1 + i 3. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545

20 Fundamentalsatz der Algebra Satz 1.40 Jede Gleichung z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 = 0 mit n N und a 0, a 1,..., a n 1 C besitzt eine Lösung in C. Der Beweis zu diesem Satz erfolgt zu einem späteren Zeitpunkt der Vorlesung. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545

21 Zusammenfassung R ist ein angeordneter, vollständiger, normierter Körper. C ist ein normierter Körper, aber kein angeordneter Körper. C ist tatsächlich auch vollständig. Um die Vollständigkeit von C zu begründen, bräuchten wir aber einen etwas anders definierten Vollständigkeitsbegriff, der auf sogenannten Cauchy-Folgen basiert (siehe nächstes Kapitel). Im Folgenden können wir alle Aussagen, die nur auf der Vollständigkeit oder Normiertheit eines Körpers beruhen, sowohl auf R als auch auf C anwenden. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545