KOMPLEXE ZAHLEN UND FUNKTIONEN

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Jens Ernst Kirchner
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1 Übungen zu Theoretische Physik L2 KOMPLEXE ZAHLEN UND FUNKTIONEN E I N R E F E R A T M I T A N N E T T E Z L A T A R I T S U N D F L O R I A N G R A B N E R

2 INHALT Geschichte Definition Komplexe Konjugation Rechenregeln algebraische Form Der Betrag Komplexe Zahlenebene Die komplexe Exponentialfunktion e z Rechenregeln - Polarform Potenzfunktion Komplexer Logarithmus Komplexe Wurzeln Differenzierbarkeit Holomorphe Funktionen Komplexe Zahlen in der Physik Polarform Algebraischen Form Polarform

3 GESCHICHTE Ursprung der Theorie der imaginären Zahlen: Gerolamo Cardano und Rafael Bombelli (16. Jahrhundert) Die Einführung der imaginären Einheit als neue Zahl: Leonhard Euler (18.Jahrhundert)

4 DEFINITION Komplexe Zahlen: a + bi a und b. Reelle Zahlen a Realteil und b Imaginärteil i. nicht-reelle Zahl mit der Eigenschaft i² = -1 Notation: a Re(a + bi) und b Im(a + bi) Notation in kartesischer Form

5 KONJUGIERT KOMPLEXE ZAHL Durch Umkehren des Vorzeichens des Imaginärteils b einer komplexen Zahl z = a + bi erhält man die zu z konjugiert komplexe Zahl z = a bi = z

6 RECHENREGELN Rechenregeln in der algebraischen Form mit den beiden komplexen Zahlen: a + bi und c + di : Addition: a + bi + c + di = a + c + b + d i Subtraktion: a + bi c + di = a c + b d i Multiplikation: a + bi c + di = ac bd + ad + bc i Division: (a+bi) (c+di) = (ac+bd) (c 2 +d 2 ) + (bc ad) (c 2 +d 2 ) i

7 DER BETRAG Der Betrag z einer komplexen Zahl z = a + bi : Berechnung: z = a² + b² Eigenschaften: z ist die Länge des Vektors von z in der Gaußschen Zahlenebene z ist reell und nicht negativ

8 KOMPLEXE ZAHLENEBENE Die Menge C der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene darstellen: z = a, b = a + bi mit a, b R horizontale Koordinate: a vertikale Koordinate: b Beispiel: Addition komplexer Zahlen = Vektoraddition

9 KOMPLEXE EXPONENTIALFUNKTION Definition der komplexen Exponentialfunktion e z e z e x+iy = e x e iy = e x cos y + i sin y z = x + iy C Eigenschaften: Re e z = e x cos y Im e z = e x sin y e z = e x Die Periodizität der Funktion e z+2kπi = e z z C und k Z Erklärung: e z+2kπi = ex+i y+2kπ = e x cos y + 2kπ + i sin y + 2kπ = e x (cos y + i sin y ) = e x Die Periode der komplexen Exponentialfunktion beträgt 2π. Diese Eigenschaft gibt es im Reellen nicht.

10 POLARFORM kartesischen Koordinaten: a = Re z und b = Im(z) Polarkoordinaten: r = z und φ = arg(z) Darstellung der komplexen Zahl z = a + bi in der Polarform: z = r e iφ = r cosφ + i sinφ a = r cosφ und b = r sinφ r e iφ Exponentialdarstellung der Polarform r cosφ + i sinφ trigonometrische Darstellung der Polarform

11 UMRECHNEN Von der algebraischen Form in die Polarform Für z = a + bi in algebraischer Form ist r = z = a 2 + b² = z z Ermittlung des Arguments φ im Intervall ( π; π] φ = arg z = arctan b a (für a > 0, b beliebig) Von der Polarform in die algebraische Form a = Re z = r cosφ b = Im z = r sinφ

12 MULTIPLIKATION & DIVISION Produkt: Beträge multipliziert, Winkel addiert Quotient: Beträge dividiert, Winkel subtrahiert. u = r cos φ + i sinφ = r e iφ, v = s (cos ψ + i sin ψ) = s e iψ u v = r s [cos φ + ψ + i sin (φ + ψ)] = r s ei φ+ψ u v = r s [cos φ ψ + i sin (φ ψ)] = r s ei φ ψ

13 POTENZFUNKTION Potenzen mit natürlichem Exponenten n N u = r cos φ + i sinφ = r e iφ u n = r n e inφ = r n cos nφ + i sin nφ Der Satz von Moivre cos φ + i sin φ n = cos nφ + i sin nφ Potenzen mit beliebigen Exponenten w C u w ew ln u D = u C π < φ π ln u Hauptwert des komplexen Logarithmus

14 KOMPLEXER LOGARITHMUS Komplexer Logarithmus von u = re iφ C Jedes z C welche e z = u löst. Nicht eindeutig! z = z + 2kπi, k Z ln u = ln r + i (φ + 2kπ) mit π < φ π, k Z Hauptwert des Komplexen Logarithmus k = 0 ln u ln r + i φ D = u C π < φ π

15 KOMPLEXE WURZELN Komplexe Wurzeln von u = r e iφ n u = u 1 n = r 1 n e iφ+2kπ n Es gibt also immer n Komplexe Wurzeln

16 DIFFERENZIERBARKEIT Komplexe Differenzierbarkeit Eine Funktion f: U C auf einer offenen Teilmenge U C heißt komplex diffenzierbar an der Stelle z 0 U wenn f z f(z f (z 0 ) lim 0 ) existiert. z z0 z z 0 Ableitung, Stammfunktion, Ableitungsregeln wie in R. Holomorphe und Ganze Funktionen Ist f überall in U komplex differenzierbar, so nennt man f holomorph. Funktionen die auf ganz C definiert und holomorph sind nennt man ganze Funktionen. Beispiele für ganze Funktionen: e z, sin z, cos z

17 HOLOMORPHE FUNKTIONEN Sei U C offen. f: U C, f x + i y f ist holomorph u x = v y = u x, y + i v(x, y) v und = u x y Jede holomorphe Funktion ist C. Sei U C offen, z 0 U, f: U C holomorph. Dann gibt n es genau eine Potenzreihe n=0 c n z z 0 mit positivem Konvergenzradius, die in einer Umgebung von z 0 die Funktion darstellt.

18 KOMPLEXE ZAHLEN IN DER PHYSIK Wechselstromrechnung Beschreibung von Schwingungen und Wellen Quantenmechanik

19 DANKE FÜR DIE AUFMERKSAMKEIT.

20 LITERATUR Seite Komplexe Zahl. In Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 4.November 2013, 8:13 UTC. URL: [Stand: 4. November 2013, 13:23 UTC] Pester, Andreas: Der Satz von Moivre. URL: [Stand: ] Pester, Andreas: Die komplexe Exponentialfunktion e z. URL: [Stand: ] Gröger, Viktor: Ergänzungen zur Einführung in die Physik für Lehramt. Skriptum zur Vorlesung. URL: [Stand: ] Jänich, Klaus: Funktionentheorie. Springer-Verlag, Berlin, 6. Auflage, 2003

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