1 Zahlen. 1.1 Die reellen Zahlen

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1 Zahlen Die aus dem Alltagsleben bekannten rationalen Zahlen (Bruchzahlen) reichen nicht aus, um Analysis rigoros betreiben zu können. Die historische Entwicklung zeigt vielmehr, dass für die Belange der Analysis der Zahlenbereich der rationalen Zahlen zum Bereich der reellen Zahlen erweitert werden muss. Der Anschaulichkeit halber führen wir die reellen Zahlen als Dezimalzahlen mit unendlich vielen Stellen ein. Wir illustrieren exemplarisch, wie sich Rechenregeln und die Ordnungsrelation in natürlicher Weise von den rationalen auf die reellen Zahlen übertragen. Ein weiterer Abschnitt ist den Gleitpunktzahlen gewidmet, welche als praktikable Approximation an die reellen Zahlen in den meisten Programmiersprachen implementiert sind. Insbesondere besprechen wir die optimale Rundung und die damit zusammenhängende relative Maschinengenauigkeit.. Die reellen Zahlen In diesem Buch setzen wir die folgenden Zahlensysteme als bekannt voraus: N = {,,,,...} die Menge der natürlichen Zahlen; N 0 = N {0} die Menge der natürlichen Zahlen mit Null; Z = {...,,,, 0,,,,...} die Menge der ganzen Zahlen; Q = { k n ; k Z und n N} die Menge der rationalen Zahlen. Zwei rationale Zahlen k n und l m sind genau dann gleich, wenn km = ln gilt. Weiters identifiziert man eine ganze Zahl k Z mit der Bruchzahl k Q. Offensichtlich gelten dann die Inklusionen N Z Q. Seien M und N beliebige Mengen. Eine Abbildung von M nach N ist eine Vorschrift, die jedem Element von M genau ein Element von N zuordnet. In dieser Allgemeinheit werden wir den Begriff der Abbildung selten verwenden. Der für uns wichtige Spezialfall reellwertiger Funktionen wird im Kapitel ausführlich besprochen werden.

2 Zahlen Eine Abbildung heißt bijektiv, falls umgekehrt zu jedem Element n N genau ein Element in M existiert, das n zugeordnet wird. Definition. Zwei Mengen M und N werden gleich mächtig genannt, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen diesen Mengen gibt. Eine Menge M heißt abzählbar unendlich, wenn sie gleich mächtig wie N ist. Die Mengen N, Z und Q sind gleich mächtig, in einem gewissen Sinn also gleich groß. Alle drei Mengen haben unendlich viele Elemente, die abgezählt werden können. Jede Abzählung stellt eine bijektive Abbildung zu N her. Die Abzählbarkeit von Z sieht man aus der Darstellung Z = {0,,,,,,,...}. Für den Beweis der Abzählbarkeit von Q verwendet man das Diagonalverfahren nach Cantor : Man zählt hier in Richtung der Pfeile ab, wobei jede rationale Zahl nur bei ihrem ersten Auftreten berücksichtigt wird. Damit ist die Abzählbarkeit der positiven rationalen Zahlen (und damit aller rationalen Zahlen) nachgewiesen. Zur Veranschaulichung der rationalen Zahlen verwenden wir die Zahlengerade, welche man sich als (unendlich langes) Lineal vorstellen kann, bei dem ein (beliebiger) Punkt als Null ausgezeichnet ist. Die ganzen Zahlen sind äquidistant von Null ausgehend aufgetragen. Ebenso findet jede rationale Zahl entsprechend ihrer Größe einen eindeutigen Platz auf der Zahlengeraden, vgl. Abb... 0 a Abb... Die Zahlengerade. Die Zahlengerade besitzt aber auch Punkte, die nicht rationalen Zahlen zuordenbar sind. (Man sagt, dass Q nicht vollständig ist.) Beispielsweise ist die Länge der Diagonale d im Einheitsquadrat (vgl. Abb..) mit dem Lineal abmessbar. Bereits den Pythagoreern war bekannt, dass d = gilt, aber d = keine rationale Zahl ist. G. Cantor,

3 . Die reellen Zahlen Satz. / Q. Beweis: Der Beweis dieser Aussage wird indirekt geführt. Angenommen, wäre rational. Dann könnte man als gekürzten Bruch = k n Q schreiben. Quadrieren ergibt k = n und somit wäre k eine gerade Zahl. Das ist nur möglich, wenn Abb... Diagonale im Einheitsquadrat. k selbst gerade ist, also k =l. Dies oben eingesetzt ergibt l =n und nach Kürzen l = n. Somit wäre n ebenfalls gerade, was im Widerspruch zur Annahme steht, dass der Bruch k n gekürzt war. Bekanntlich ist die eindeutige positive Nullstelle des Polynoms x. Die nahe liegende Vermutung, dass alle nicht rationalen Zahlen Nullstellen von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten sind, erweist sich jedoch als falsch. Es gibt weitere nicht rationale Zahlen (die so genannten transzendenten Zahlen), welche sich nicht so darstellen lassen. Beispielsweise ist die Kreiszahl π = / Q transzendent, kann aber auf der Zahlengeraden dargestellt werden als der halbe Umfang des Kreises mit Radius (z.b. durch Abrollen). Wir nehmen im Folgenden einen pragmatischen Standpunkt ein und konstruieren die fehlenden Zahlen als Dezimalzahlen. Definition. Eine endliche Dezimalzahl x mit l Stellen hat die Form x = ± d 0.d d d...d l mit d 0 N 0 und den Ziffern d i {0,,..., 9}, i l, wobeid l 0 gilt. Satz. (Darstellung rationaler Zahlen als Dezimalzahlen) Jede rationale Zahl lässt sich als endliche oder periodische Dezimalzahl schreiben. Beweis: Sei q Q, folglich q = k n mit k Z und n N. Man erhält die Darstellung von q als Dezimalzahl durch sukzessive Division mit Rest. Da der Rest r N jeweils die Bedingung 0 r<nerfüllt, wird der Rest spätestens nach n Schritten Null oder periodisch. Beispiel.5 Nehmen wir beispielsweise q = 5 7 Q. Fortgesetzte Division mit Rest zeigt, dass q = mit Divisionsresten 5,,,, 6,, 5,,,, 6,, 5,,,... gilt. Die Periode dieser Dezimalzahl ist sechs. Jede von Null verschiedene Dezimalzahl mit endlich vielen Stellen lässt sich als periodische Dezimalzahl (mit unendlich vielen Stellen) schreiben. Dazu vermindert man die letzte Dezimalstelle, die ja verschieden von Null ist, um eins und ergänzt als weitere Dezimalen unendlich oft die Ziffer 9. Beispielsweise ist dann 7 50 = 0. = ab der dritten Stelle periodisch. Damit kann Q als Menge jener Dezimalzahlen aufgefasst werden, deren Dezimalentwicklung ab einer bestimmten Stelle periodisch wird.

4 Zahlen Definition.6 Als Menge der reellen Zahlen R bezeichnet man alle Dezimalzahlen der Form ± d 0.d d d... mit d 0 N 0 und den Ziffern d i {0,..., 9}, d.h. Dezimalzahlen mit unendlich vielen Stellen. Die Menge R \ Q heißt Menge der irrationalen Zahlen. Offensichtlich gilt Q R. Nach dem bisher Gesagten sind die Zahlen und irrational. Es gibt aber sehr viel mehr irrationale als rationale Zahlen, wie der folgende Satz zeigt. Satz.7 R kann nicht abgezählt werden, ist also mächtiger als Q. Beweis: Der Beweis wird indirekt geführt. Wir nehmen an, man könnte die reellen Zahlen zwischen 0 und abzählen und schreiben eine Aufzählung an: 0.d d d d... 0.d d d d... 0.d d d d... 0.d d d d Mit Hilfe dieser Liste definieren wir nun die Dezimalstellen { falls dii =, d i = sonst. Dann ist x =0.d d d d... nicht in obiger Aufzählung enthalten im Widerspruch zur Annahme der Abzählbarkeit. Obwohl R also bedeutend mehr Zahlen als Q enthält, lässt sich jede reelle Zahl beliebig genau durch rationale Zahlen approximieren, z.b. π auf 9 Stellen π Q. Für praktische Anwendungen genügen gute Approximationen an die reellen Zahlen. Für waren solche bereits den Babyloniern bekannt ;, 5, 0 = =.96..., vgl. Abb... Die etwas ungewohnte Schreibweise kommt daher, dass die Babylonier in einem Zahlensystem zur Basis 60 rechneten.

5 . Ordnungsrelation und Arithmetik auf R 5 0 ;,5,0 5 ;5, Abb... Babylonische Keilschrifttafel YBC 789 (Yale Babylonian Collection, mit Genehmigung) von 900 vor unserer Zeit mit U bersetzung der Inschrift, nach []. Es ist ein Quadrat mit Seitenla nge 0 und Diagonale ; 5, 5 dargestellt. Das Verha ltnis betra gt ;, 5, 0.. Ordnungsrelation und Arithmetik auf R Im Folgenden schreiben wir reelle Zahlen (eindeutig) als Dezimalzahlen mit unendlich vielen Stellen, beispielsweise also statt 0.. Definition.8 (Ordnungsrelation) Seien a = a0.a a... und b = b0.b b... nichtnegative reelle Zahlen in Dezimaldarstellung, d.h. a0, b0 N0. (a) Man nennt a kleiner gleich b (und schreibt a b), falls a = b ist oder es einen Index j N0 gibt mit aj < bj und ai = bi fu r i = 0,..., j. (b) Weiters legt man fest, dass a b gilt und schreibt a b, falls b a. Diese Definition setzt die bekannte Ordnung von N und Q auf R fort. Die Ordnungsrelation besitzt folgende Interpretation auf der Zahlengeraden: Es gilt a b, falls a auf der Zahlengeraden links von b liegt, wobei a = b mo glich ist. Die Relation hat offenbar folgende Eigenschaften: Fu r alle a, b, c R gilt a a (reflexiv), a b und b c a c (transitiv), a b a=b (antisymmetrisch). und b a Im Fall a b und a = b schreibt man a < b und nennt a kleiner b. Weiters definiert man a b, falls b a ist (in Worten: a gro ßer gleich b), und a > b, falls b < a ist (in Worten: a gro ßer b). In a hnlicher Weise wie die Ordnung ko nnen Addition und Multiplikation von Q auf R fortgesetzt werden. Anschaulich verwendet man, dass jeder reellen Zahl eine Strecke auf der Zahlengeraden entspricht. Man definiert die Addition reeller Zahlen dann als Addition der entsprechenden Strecken.

6 6 Zahlen Eine rigorose und gleichzeitig algorithmische Definition der Addition geht von der Beobachtung aus, dass reelle Zahlen beliebig genau durch rationale Zahlen approximiert werden können. Seien a = a 0.a a... und b = b 0.b b... zwei nichtnegative reelle Zahlen. Durch Abschneiden nach der k-ten Dezimale erhalten wir zwei rationale Approximationen a (k) = a 0.a a...a k a und b (k) = b 0.b b...b k b. Dannista (k) + b (k) eine monoton wachsende Approximation an die zu definierende Zahl a + b. Das erlaubt, a + b als Supremum dieser Approximationen zu definieren. Zur rigorosen Rechtfertigung dieser Vorgangsweise verweisen wir auf Kap. 5. In gleicher Weise wird auch die Multiplikation reeller Zahlen definiert. Es zeigt sich, dass die reellen Zahlen mit der Addition und der Multiplikation (R, +, ) einen Körper bilden. Es gelten somit die üblichen Rechenregeln, z.b. das Distributivgesetz (a + b)c = ac + bc. Der folgende Satz fasst einige wichtige Rechenregeln für zusammen. Die Behauptungen können leicht mit Hilfe der Zahlengeraden verifiziert werden. Satz.9 Für alle a, b, c R gilt a b a + c b + c, a b und c 0 ac bc, a b und c 0 ac bc. Man beachte, dass a<bnicht a <b impliziert. Beispielsweise ist <, aber trotzdem gilt >. Für a, b 0 gilt jedoch stets a<b a <b. Definition.0 (Intervalle) man als Intervalle: Die folgenden Teilmengen von R bezeichnet [a, b] ={x R ; a x b} (a, b] ={x R ; a<x b} [a, b) ={x R ; a x<b} (a, b) ={x R ; a<x<b} abgeschlossenes Intervall; links halboffenes Intervall; rechts halboffenes Intervall; offenes Intervall. Intervalle lassen sich, wie durch Abb.. illustriert wird, anschaulich auf der Zahlengeraden darstellen. a b c d e f Abb... Die Intervalle (a, b), [c, d] und (e, f] auf der Zahlengeraden. Bemerkung. Es erweist sich als praktisch, die Symbole (minus Unendlich) und (Unendlich) einzuführen, mittels der Eigenschaft

7 . Ordnungsrelation und Arithmetik auf R 7 a R : <a<. Man definiert damit beispielsweise die uneigentlichen Intervalle [a, ) ={x R ; x a} (,b)={x R ; x<b} und weiters (, ) =R. Man beachte aber, dass und nur Symbole und keine reellen Zahlen sind. Als Anwendung der in Satz.9 gegebenen Eigenschaften der Ordnungsrelation lösen wir exemplarisch einige Ungleichungen. Beispiel. Man bestimme alle x R mit x 5 < x +. In diesem Beispiel sind zwei Ungleichungen enthalten, nämlich x 5 und 5 < x +. Die erste Ungleichung wird umgeformt zu x 7 x 7. Das ergibt eine erste Bedingung an x. Die zweite Ungleichung lautet x < x< und ergibt eine zweite Bedingung an x. DieLösung des ursprünglichen Problems muss beide Bedingungen erfüllen. Daher lautet die Lösungsmenge { L = x R ; 7 } [ x< = 7 ),. Beispiel. Man bestimme alle x R mit x x. Durch quadratisches Ergänzen formt man die Ungleichung um zu (x ) = x x +. Durch Wurzelziehen ergeben sich die zwei Fälle x oder x. Die Vereinigung beider Fälle ergibt die Lösungsmenge L = {x R ; x oder x } =(, ] [, ).

8 8 Zahlen. Maschinenzahlen Die reellen Zahlen können nur unvollständig am Computer realisiert werden. In exakter Arithmetik wie beispielsweise in maple sind reelle Zahlen durch symbolische Ausdrücke gegeben, z.b. =RootOf( Z^-). Mit Hilfe des Befehls evalf können diese auf sehr viele Stellen genau ausgewertet werden. Die in Programmiersprachen üblicherweise als Modell für die reellen Zahlen verwendeten Gleitpunktzahlen (floating point numbers) haben feste relative Genauigkeit, z.b. double precision mit 5 Bit Mantissenlänge. Für diese Maschinenzahlen gelten die Rechenregeln von R nicht, z.b.ist +0 0 = in double precision. Gleitpunktzahlen sind normiert durch das Institute of Electrical and Electronics Engineers IEEE sowie durch die International Electrotechnical Commission IEC 559:989. Im Folgenden geben wir einen kurzen Abriss dieser Maschinenzahlen. Weiter gehende Informationen findet man in [0, 7]. Man unterscheidet zwischen einfach langem und doppelt langem Format. Das einfach lange Format (einfache Genauigkeit, single precision) benötigt Bit Speicherplatz V e M 8 Das doppelt lange Format (doppelte Genauigkeit, double precision) benötigt 6 Bit Speicherplatz V e M 5 Hier bezeichnet V {0, } das Vorzeichen, e min e e max ist der Exponent (eine ganze Zahl mit Vorzeichen); schließlich ist M die Mantisse der Länge p M = d + d d p p = d d...d p, d j {0, }. Diese Darstellung entspricht der folgenden Zahl x: x =( ) V e p d j j. Normalisierte Gleitpunktzahlen in der Basis haben stets d =. Deshalb muss man d nicht speichern und enthält für die Mantissenlängen j= einfach genau p = ; doppelt genau p = 5.

9 . Rundung 9 Der Einfachheit halber betrachten wir nur normalisierte Gleitpunktzahlen. Mit M = M max und e = e max erhält man die größte Gleitpunktzahl x max = ( p) emax. Mit M = M min und e = e min ergibt sich die kleinste positive (normalisierte) Gleitpunktzahl x min = emin. Die Gleitpunktzahlen liegen nicht gleichmäßig auf der Zahlengeraden verteilt, ihre relative Dichte ist aber annähernd konstant, vgl. Abb e min e min e min+ Abb..5. Gleitpunktzahlen auf der Zahlengerade, nach [7]. Im IEEE Standard gelten näherungsweise folgende Werte: x min x max einfach genau doppelt genau Weiters gibt es noch spezielle Symbole wie z.b. ±INF... ± NaN... notanumber;z.b.beinull dividiert durch Null. Mit diesen Symbolen kann auch ohne Programmabbruch weitergerechnet werden.. Rundung Sei x = a e R mit / a< und x min x x max. Weiters bezeichne u, v zwei Gleitpunktzahlen, welche x einschließen, d.h. u und v seien benachbarte Maschinenzahlen mit u x v. Dannist und u = 0 e b...b p v = u + 0 e = u + 0 e (p )

10 0 Zahlen Somit gilt v u = e p.für die optimale Rundung rd(x) vonx ist daher rd(x) x (v u) =e p. Damit lässt sich der relative Fehler der Rundung angeben. Wegen a gilt rd(x) x x e p a e p = p. Dieselben Überlegungen gelten für negative x (indem man den Betrag nimmt). Definition. Die Zahl eps = p heißt relative Maschinengenauigkeit. Eine wichtige Anwendung dieses Konzepts ist der folgende Satz. Satz.5 Sei x R mit x min x x max. Dann existiert ε R mit rd(x) = x( + ε) und ε eps. Beweis: Wir definieren ε = rd(x) x. x Nach der obigen Rechnung gilt ε eps. Experiment.6 (Experimentelle Bestimmung von eps) Sei z die kleinste positive Maschinenzahl, für die + z> gilt. = , z = = p. Somit folgt z = eps. Die Zahl z lässt sich experimentell bestimmen, und damit auch eps. (Man beachte, dass in MATLAB die Zahl z als eps bezeichnet wird.) Im IEC/IEEE Standard gilt: einfach genau : eps = , doppelt genau : eps = Bei doppelt genauer Arithmetik hat man in etwa 6 Stellen Genauigkeit zur Verfügung..5 Übungen. Zeigen Sie, dass irrational ist.. Beweisen Sie für alle a, b R die Dreiecksungleichung a + b a + b.

11 .5 Übungen Hinweis: Unterscheiden Sie die Fälle, dass a und b entweder dasselbe oder verschiedenes Vorzeichen haben.. Lösen Sie die folgenden Ungleichungen sowohl händisch als auch mit maple (mittels solve). Geben Sie die Lösungsmenge in Intervallschreibweise an. (a) x 8x +, (b) (c) x x, (d) (e) x < 6+x, (f) x > +x, +x x >, x x, (g) x x +, (h) x x +<.. Berechnen Sie die Binärdarstellung der Gleitpunktzahl x = 0. in einfach genauer IEEE-Arithmetik ( Bit Speicherplatz). 5. Bestimmen Sie experimentell die relative Maschinengenauigkeit eps. Hinweis: Schreiben Sie in der Programmiersprache Ihrer Wahl ein Computerprogramm, das Ihnen die kleinste Maschinenzahl z mit + z> berechnet.