Mathematik mit Simulationen lehren und lernen

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Ferdinand Krause
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1 Dieter Röß Mathematik mit Simulationen lehren und lernen Plus 2000 Beispiele aus der Physik De Gruyter

2 Mathematics Subject Classification 2010: Primary: 97M20; Secondary: 97M50. Prof. Dr. Dieter Röß Fasanenweg 4 D Hösbach-Feldkahl dieter.roess@t-online.de Inhaltsverzeichnis und mathematische Simulationen. Im digitalen Text des Werkes werden die Simulationen direkt aus dem Text aufgerufen. Sie sehen nachfolgend sein Inhaltsverzeichnis. Die Simulationen auf dieser Homepage sind OpenSource und können kostenfrei bezogen und weitergegeben werden. In der Zip- Datei RoessMa finden Sie einen nach Inhalten geordneten Verzeichnisbaum der Simulationen. Öffnen Sie eine spezifische Simulation mit Doppelklick auf ihr Icon. Bei laufender Simulation eröffnet ein Kontextmenue (rechte Maustaste) für alle Simulationen einheitliche Zusatzoptionen der Darstellung. Es enthält auch die Option das EJS- Modell der Datei zu öffnen und damit die Simulation zu ändern und auszubauen. Dazu benötigen Sie das Open Source EJS-Programm. ISBN e-isbn Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikaion in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin/New York Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig, Druck und Bindung: Hubert & Co. GmbH & Co. KG, Göttingen Gedruckt auf säurefreiem Papier Printed in Germany

Die Simulationen auf dieser Homepage sind OpenSource und können kostenfrei bezogen und weitergegeben werden.

3 1 Einführung Zielsetzung und Struktur des digitalen Buchs Verzeichnisse Bedienung und technische Konventionen Ein Simulationsbeispiel: Moebiusband Physik und Mathematik Mathematik als Sprache der Physik Physik und Infinitesimalrechnung Zahlen Natürliche Zahlen Ganze Zahlen Rationale Zahlen Irrationale Zahlen Algebraische Zahlen Transzendente Zahlen Die Zahl und die Quadratur des Kreises nach Archimedes Reelle Zahlen Komplexe Zahlen Darstellung als Paar reeller Zahlen Normaldarstellung mit imaginärer Einheit i Komplexe Ebene Darstellung in Polarkoordinaten Simulation von komplexer Addition und Subtraktion Simulation von komplexer Multiplikation und Division Erweiterungen der Arithmetik Zahlen-Folgen, Reihen und Grenzwerte Folgen und Reihen Folge und Reihe der natürlichen Zahlen Geometrische Reihe Grenzwert, Limes Fibonacci-Folge Komplexe Folgen und Reihen Komplexe geometrische Folge und Reihe

1 Natürliche Zahlen............................ 12 3.2 Ganze Zahlen.............................. 15 3.3 Rationale Zahlen............................ 16 3.4 Irrationale Zahlen............................ 17 3.

4 x Komplexe exponentielle Folge und Exponentialreihe Einfluss von begrenzter Messgenauigkeit und Nichtlinearität Zahlen in Mathematik und Physik Reelle Folge mit nichtlinearem Bildungsgesetz: Logistische Folge Komplexe Folge mit nichtlinearem Bildungsgesetz: Fraktale Funktionen und ihre infinitesimalen Eigenschaften Definition von Funktionen Differenzenquotient und Differentialquotient Ableitungen einiger Grundfunktionen Potenzen und Polynome Exponentialfunktion Winkelfunktionen Regeln zum Differenzieren zusammengesetzter Funktionen Weitere Ableitungen von Grundfunktionen Reihenentwicklung (1), Taylorreihe Koeffizienten der Taylorreihe Näherungsformeln für einfache Funktionen Ableitung von Formeln und Fehlergrenzen bei der numerischen Differentiation Interaktive Visualisierung von Taylorentwicklungen Graphische Darstellung von Funktionen Funktionen mit ein bis drei Variablen Funktionen von vier Variablen: Weltlinie in der speziellen Relativitätstheorie Allgemeine Eigenschaften von Funktionen y D f.x/ Exotische Funktionen Grenzübergang zum Differentialquotienten Ableitung und Differentialgleichungen Phasenraum-Diagramme Integral Definition der Stammfunktion durch ihre Differentialgleichung Bestimmtes Integral und Anfangswert Integral als Grenzwert einer Summe Riemannsche Integraldefinition Lebesgue-Integral Regeln für die analytische Integration Numerische Integrationsmethoden Fehlerabschätzung bei numerischer Integration Reihenentwicklung (2): Die Fourierreihe Taylorreihe und Fourierreihe

1 Definition von Funktionen....................... 64 5.2 Differenzenquotient und Differentialquotient.............. 65 5.3 Ableitungen einiger Grundfunktionen................. 66 5.3.1 Potenzen und Polynome.

5 xi Bestimmung der Fourier-Koeffizienten Veranschaulichung der Berechnung von Koeffizienten und Spektrum Beispiele für Fourier-Entwicklungen Komplexe Fourierreihen Numerische Lösung von Gleichungen: Iterationsverfahren Veranschaulichung von Funktionen im reellen Zahlenraum Standard-Funktionen y D f.x/ Einige physikalisch wichtige Funktionen y D f.x/ Standardfunktionen zweier Variablen z D f.x; y/ Wellen im Raum z D f.x; y/ Parameterdarstellung von Flächen im Raum x D f x.p; q/; y D f y.p; q/; z D f z.p; q/ Parameterdarstellung von Kurven im Raum x D f x.t/; y D f y.t/; z D f z.t/ Veranschaulichung von Funktionen im komplexen Zahlenraum Konforme Abbildung Komplexe Potenzfunktion Komplexe Exponentialfunktion Komplexe Winkelfunktionen: Sinus, Cosinus, Tangens Komplexer Sinus Komplexer Cosinus Komplexer Tangens Komplexer Logarithmus Vektoren Vektoren und Operatoren als Kurzschrift für n-tupel von Zahlen und Funktionen D-Visualisierung von Vektoren Grundoperationen der Vektoralgebra Multiplikation mit einer Konstanten Addition und Subtraktion Skalarprodukt, Inneres Produkt Vektorprodukt, Äußeres Produkt Visualisierung der Grundoperationen für Vektoren Felder Skalarfelder und Vektorfelder Visualisierungsmöglichkeiten für Skalar- und Vektorfelder Grundformalismen der Vektoranalysis Potentialfelder von Punktquellen als 3D-Fläche

1 Standard-Funktionen y D f.x/.................... 114 6.2 Einige physikalisch wichtige Funktionen y D f.x/.......... 118 6.3 Standardfunktionen zweier Variablen z D f.x; y/........... 121 6.

6 xii Potentialfelder von Punktquellen als Konturdiagramm Ebene Vektorfelder D-Feld von Punktladungen D-Bewegung einer Punktladung in einem homogenen elektromagnetischen Feld Gewöhnliche Differentialgleichungen Allgemeines Differentialgleichungen als Erzeugende von Funktionen Lösungsverfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen Numerische Lösungsverfahren, Anfangswertproblem Explizites Euler-Verfahren Heun-Verfahren Runge-Kutta-Verfahren Weiterentwicklungen Simulationen von gewöhnlichen Differentialgleichungen Vergleich von Euler-, Heun- und Runge-Kutta-Verfahren Differentialgleichung erster Ordnung Differentialgleichung zweiter Ordnung Differentialgleichungen für Oszillatoren und Schwerependel Schlussfolgerungen für den Charakter von linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen Chaotische Lösungen von gekoppelten Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Einige wichtige partielle Differentialgleichungen der Physik Simulation der Diffusionsgleichung Simulation der Schrödingergleichung Simulation der Wellengleichung einer schwingenden Saite Sammlung von Physik-Simulationen Simulationen mittels OSP/EJS-Programm Eine kurze Einführung in EJS (Easy Java Simulation) Veröffentlichte EJS-Simulationen Elektrodynamik Felder und Potentiale Mathematik, Differentialgleichungen Mechanik Newton Optik Oszillatoren und Pendel Quantenmechanik

3 Lösungsverfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen...... 177 9.4 Numerische Lösungsverfahren, Anfangswertproblem......... 179 9.4.1 Explizites Euler-Verfahren................... 180 9.4.2 Heun-Verfahren.

7 xiii Relativitätstheorie Statistik Thermodynamik Wellen Sonstiges OSP-Simulationen, die nicht mit EJS erstellt wurden Liste der OSP-Launcherpakete In Launcher verpackte EJS-Simulationen Kosmologische Simulationen von Eugene Butikov Schlussbemerkung 250

4 OSP-Simulationen, die nicht mit EJS erstellt wurden......... 238 11.4.1 Liste der OSP-Launcherpakete................. 240 11.

9 Wegweiser zur Simulationstechnik Für den mathematischen Text benutzen Sie bitte das tief gestaffelte Inhaltsverzeichnis und zusätzlich in der digitalen Version die Such- Funktion des Acrobat Reader. Der nachfolgende Index ist speziell auf einen systematischen Zugang zu der verwendeten Simulationstechnik und den mathematischen Simulationen ausgerichtet. In der digitalen Version können die angegebenen Seiten direkt mit Hyperlinks angewählt werden. In D-Mathe befinden sich die für dieses Werk entwickelten Mathematiksimulationen. Ihre Nummerierung entspricht der Reihenfolge im Text. A Simulationen 1 Warum? vii 2 Für wen? vii 3 Methode EJS vii 4 Einführung EJS typisches Hauptfenster Bedienelemente Beschreibungsseiten zulässige Funktionen B Voraussetzungen 1 EJS Adobe Reader Java JRE C Verzeichnisse 1 Verzeichnisstruktur Mathe-Simulationen Kosmologie-Simulationen D Mathe 1 Moebiusband Kardinalzahlen Kreiszahl Pi komplexe Addition komplexe Subtraktion komplexe Multiplikation

In der digitalen Version können die angegebenen Seiten direkt mit Hyperlinks angewählt werden. In D-Mathe befinden sich die für dieses Werk entwickelten Mathematiksimulationen.

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