Propädeutikum Wichtige Grundlagen der Mathematik Stand WS 2015 / 2016 Dörte Fröhlich

Transkript

1 Propädeutikum Wichtige Grundlagen der Mathematik Stand WS 05 / 06 Dörte Fröhlich

2 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite Wichtige Grundlagen der Mathematik Für Ihr Studium und sicher nicht nur für das Fach Wirtschaftsmathematik benötigen Sie einige Mathe-Schulkenntnisse. Um diese aufzufrischen, finden Sie in diesem Skript noch einmal die wichtigsten Rechengesetze zum Nachschlagen sowie viele Übungsaufgaben mit Lösungen. Bitte beachten Sie: Trotz aller Sorgfalt können auch mir (Tipp-) Fehler unterlaufen. Sollte Ihnen etwas auffallen, benachrichtigen Sie mich bitte. Inhaltsübersicht Einführung... Seite Allgemeine Rechenregeln... Seite 7 Bruchrechnung... Seite 8 4 Binomische Formeln... Seite 5 Potenzen... Seite 5 6 Wurzeln... Seite 0 7 Logarithmen... Seite 5 8 Summen- und Produktzeichen... Seite 0 9 Lösen von linearen Gleichungen... Seite 5 0 Lösen von quadratischen Gleichungen... Seite 40 Lösen von Gleichungen dritter Ordnung... Seite 4 Berechnen von Ungleichungen... Seite 45 Lineare Gleichungssysteme... Seite 47 4 Berechnen von Ableitungen... Seite 5 5 Aufgaben... Seite 56 6 Lösungen... Seite 68

3 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite Ausführliches Inhaltsverzeichnis. EINFÜHRUNG Zahlzeichen Zahlensysteme Zahlenbereiche ALLGEMEINE RECHENREGELN Kommutativgesetz Assoziativgesetz Distributivgesetz Vorzeichenregeln:....5 Punktrechnung geht vor Strichrechnung....6 Rechnen mit Klammern....7 Beträge Aufgaben zu den allgemeinen Rechenregeln... 4 BRUCHRECHNUNG Definitionen Erweitern und Kürzen von Brüchen Kehrwert eines Bruches Umwandeln von ganzen Zahlen und Dezimalzahlen in Brüche Rechnen mit Brüchen Aufgaben zur Bruchrechnung BINOMISCHE FORMELN Die drei grundlegenden Binome Binome höherer Ordnung Aufgaben zu den binomischen Formeln:... 5 POTENZEN Definition Grundlagen Rechnen mit Potenzen (Potenzgesetze) Potenzieren von Potenzen: Aufgaben zur Potenzrechnung WURZELN Definitionen Wurzeln als gebrochen rationale Potenzen Rechenregeln für Wurzeln (Wurzelgesetze) Aufgaben zu Wurzeln... 7 RECHNEN MIT LOGARITHMEN Einführung Berechnen von Logarithmen Besondere Basen Rechnen mit Logarithmen (Logarithmengesetze) Berechnen beliebiger Logarithmen Aufgaben zu Logarithmen... 8

4 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 4 8 SUMMEN- UND PRODUKTZEICHENZEICHEN Das Summenzeichen Regeln zum Rechnen mit Summenzeichen Doppelsummen Das Produktzeichen Aufgaben zu Summen- und Produktzeichen LINEARE GLEICHUNGEN Äquivalenzumformungen (Termumformungen) Einfache lineare Gleichungen Textgleichungen Bruchgleichungen Exponentialgleichungen Aufgaben zu linearen Gleichungen LÖSEN VON QUADRATISCHE GLEICHUNGEN Überführen in Normalform Lösungsmethode : Quadratische (oder binomische) Ergänzung Lösungsmethode : pq-formel Lösungsmethode : Mondschein-Formel: Aufgaben zu quadratischen Gleichungen... 5 LÖSEN VON GLEICHUNGEN HÖHERER ORDNUNG Lösen (Reduzieren) durch Ausklammern Lösen (Reduzieren) durch Polynomdivision Lösen (Reduzieren) durch das Horner Schema Aufgaben zu Gleichungen höherer Ordnung BERECHNEN VON UNGLEICHUNGEN Lineare Ungleichungen Quadratische Ungleichungen Aufgaben zu Ungleichungen LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Grundlagen Gleichsetzungsverfahren Einsetzungsverfahren Additions- bzw. Subtraktionsverfahrenverfahren Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen BERECHNEN VON ABLEITUNGEN Einfache Regeln Grund- oder Stammableitungen Komplexere Ableitungen Höhere Ableitungen Aufgaben zu den Ableitungen AUFGABEN LÖSUNGEN... 8

5 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 5. Einführung. Zahlzeichen Es gibt ganz unterschiedliche Zahlzeichen. Ein paar wenige Hier einige Zahlzeichen aus der Gebärdensprache (Internationales Einhand- Fingeralphabet): So sehen Zahlen in Blindenschrift (Braille-Schrift) aus: Die von uns verwendeten arabischen Ziffern sind indischen Ursprungs: Das Kennzeichen dieses Systems ist die Verwendung von zehn verschiedenen Ziffern innerhalb eines Stellenwertsystems. Damit war erstmals ein einfaches und schnelles Rechnen möglich. Bekannt wurde dieses System in Deutschland, nach anfänglichem Verbot, durch Rechenbücher von Adam Ries(e) (49-559).

6 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 6. Zahlensysteme Ein Zahlensystem wird zur Darstellung von Zahlen verwendet. Eine Zahl wird dabei nach den Regeln des jeweiligen Zahlensystems als Folge von Ziffern beziehungsweise Zahlzeichen dargestellt. Das uns sicherlich am besten bekannte Dezimalsystem ist ein typisches Stellenwertsystem. Das heißt, dass der Wert einer Zahl davon abhängt, an welcher Position in der Zahl sie steht. Beispiel: Die Zahl 7. 7 heißt nichts anderes als Oder Oder Das Binärsystem (auch Dualsystem oder Zweiersystem genannt) besteht nur aus den beiden Ziffern 0 und. Damit erhält man für die ersten Ziffer aus dem Dezimalsystem: Das Binärsystem entspricht der Arbeitsweise eines Computers: Es fließt kein Strom. Es fließt Strom. In der Computersprache wird eine Information, die eine Null oder eine Eins darstellen kann, als Bit bezeichnet. Die ersten Mikrocontroller in den 70iger Jahren hatten ein Breite von 4 Bit und konnten damit alle Ziffern des Dezimalsystems verarbeiten. Aber die Entwicklung ging schnell weiter und 8 Bit Breite wurde zum Standard. Mit 8 Bit lassen sich insgesamt 56 Möglichkeiten darstellen und das reicht aus, um neben Ziffern auch Buchstaben zu übertragen. Es gilt: 8 Bit = Byte. Da in der Mikroelektronik immer die vorhandene Bitzahl verdoppelt wird, war nach den 8 Bit der nächste Schritt 6 Bit und dann Bit und nun 64 Bit. Die Umrechnung zwischen den Dezimalsystem und dem Binärsystem kann nach folgenden Schemata erfolgen: Beispiel : Wie lautet die Dezimalzahl als Binärzahl? 0 = x?

7 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 7 Beispiel : Wie lautet die Binärzahl 00 als Dezimalzahl? 00 = x 0? Darüber hinaus gib es viele weitere Zahlensysteme, von denen aber nur das Oktalsystem (Ziffern 0 bis 7) noch eine größere Bedeutung hat.. Zahlenbereiche Im Studium benötigte Zahlenbereiche: Menge der Natürlichen Zahlen: N = {,,, 4, 5,...} Menge der Ganzen Zahlen: Z = {..., 4,,,, 0,,,,...} Menge der Rationalen Zahlen Q (Brüche oder Quotienten): Q =,,,, 5 7 Menge der Reellen Zahlen: R enthält zusätzlich zu Q auch, π, e usw.

8 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 8 Für Interessierte: Die (im Studium nicht benötigen) Komplexen Zahlen C stellen eine Erweiterung der reellen Zahlen dar. Sie sind gekennzeichnet durch die sog. Imaginäre Einheit, für die üblicherweise der Buchstabe i verwendet wird (in der Elektrotechnik bzw. Physik manchmal auch ein j). Für die Imaginäre Einheit gilt nun: i = -. Eine komplexe Zahl setzt sich nun aus zwei Bestandteilen zusammen: einem Realteil (Re) a und einem Imaginärteil (Im) b, den wir mit dem i multiplizieren. Eine komplexe Zahl sieht damit so aus: z = a + bi. Die Komplexe Zahl z = 5-7i hat also den Realteil Re z = 5 und den Imaginärteil Im z = -7. Mi Hilfe der Komplexen Zahlen kann man nun beispielsweise folgende Aufgabe lösen, für die Sie im Bereich der Reellen Zahlen gelernt haben; dass es nicht definier ist: 6 = 4i Jede Komplexe Zahl kann man als Vektor in der sog. Gauß schen Zahlenebene darstellen, wie auch schon einmal auf einer Briefmarke veröffentlicht wurde:

9 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 9. Allgemeine Rechenregeln. Kommutativgesetz Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz): a + b = b + a a b = b a ) x + y + a + 5 = 5 + x + a + y = a + y x usw. (Man könnte weitere Gleichheiten hinzufügen. Wie viele?) ) + x + a a + x = x + x + a + a = 4x + a + 7 Das Kommutativgesetz braucht man also oft, um gleichnamige Glieder zusammenzufassen. ) cde = dec = ecd 4) 6abx 7 = 6 7 abx = 4abx (Bemerkung: Der Malpunkt kann geschrieben oder auch weggelassen werden; wenn konkrete Zahlen am Ende stehen wird er in der Regel geschrieben: 6ac 7 bzw. man setzt eine Klammer: (6ac)7. 5) a x b x a = a a b x x = a b x. Assoziativgesetz Assoziativgesetz: Die Reihenfolge der Zusammenfassung spielt keine Rolle. (a + b) + c = a + (b + c) (a b) c = a (b c) ) (a + b) + (c + d + e) = a + b + c + d + e ) (x + + y) + (6 + a + y) = a + x + y + 8 ) (ab) (cd) = abcd 4) (xy) (ab) = xyab = 6abxy 5) (zw) (7x) (8zw) (x) = 7 8 x x w w z z = 68 x w z

10 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 0. Distributivgesetz Die beiden Operationen Addition und Multiplikation stehen durch das Distributivgesetz miteinander in Beziehung: a ( b + c) = ab + ac (a + b) c = ac + bc Dies ist also das Gesetz für das Rechnen mit Klammern. ) a (b + c + d + e) = ab + ac + ad + ae ) (x + x + x ) y = x y + x y + x y ) b (7a + 5b + c) = 7ab + 5b + bc 4) xy (x + 6y + z) = x y + xy + xyz Ausklammern: Wie jede mathematische Gleichung kann man das Distributivgesetz von links nach rechts oder von rechts nach links lesen und dementsprechend verschieden interpretieren. Bisher haben wir es von links nach rechts gelesen, d.h. a(b+ c) war der Ausgangspunkt, ab + ac das Ergebnis. Umgekehrt gelesen, d.h. ab + ac = a(b + c) ergibt es die Regel für das Ausklammern: Wenn ein Faktor in jedem Glied einer Summe auftritt, so kann dieser Faktor ausgeklammert werden. ) abc + ad + ae = a (bc + d + e) ) a + abc + axy = a (a + bc + xy) ) 4a + 6b + 0c = a + b + 5c = (a + b + 5c) 4) xy + 4x y + 8xyz = xy ( + xy + 4z) Die Probe für richtiges Ausklammern ist erneutes Ausmultiplizieren der Klammer: Es muss dann der Ausdruck entstehen, von dem man ausgegangen ist. Oftmals kann man durch Ausklammern auch komplizierte Brüche einfacher machen: ) 5x 5 = 5 (x ) = x 5 + 5x 5 (+ x) + x

11 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite Auch beim Produkt zweier Klammern muss jedes Element der einen Klammer unter Beachtung der Vorzeichenregeln mit jedem Glied der anderen Klammer multipliziert werden.. ( + x)( + y) = ( ) + ( y) + ( x ) + ( x y) = + y+ x+ xy. ( )( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) (( ) ( )) x 5 y = x 5 + x y y = 5x xy 5 + y. (x y) (5u + w) = 0ux + 6wx 5uy 9wy 4. (x y) (a b + 4c) = ax bx + 4cx 4ay + 6by 8cy 5. (0x 5y)(z 4) = 5(x y)(z 4) = 5z 0 (x y)(4z ) (x y)(4z ) 4z Hinweis: Dieses Wissen benötigen Sie auch für die binomischen Formeln..4 Vorzeichenregeln: Zu jeder Zahl a kann man die zugehörige entgegengesetzte Zahl a finden; die Summe einer Zahl und ihrer entgegengesetzten Zahl ergibt gerade Null: a + ( a) = 0. Es gelten folgende Vorzeichenregeln: ( a) = a ( a) b = ab a ( b) = ab ( a) ( b) = ab Plus mal Minus oder Minus Plus ergibt Minus. Minus mal Minus ergibt Plus. ) ( ) (a + b c) = a b + c ) 6a ( a + 5b c) = 8a + 0ab 6ac ) 4 ( ) = = 4) (u v + 7w) ( u) = 4u + 6uv 4wu

12 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite.5 Punktrechnung geht vor Strichrechnung ) + 4 = + 44 = 47 ) 6 : 4 = 4 = ) : = 4 + = 4) : 8 = = 4 Achtung: Ihr Taschenrechner beherrscht diese Regel. Das kann Segen oder Fluch sein. Rechnen Sie beispielsweise einmal folgenden Bruch mit Ihrem Rechner aus: Wenn Sie nun 4,5 als Ergebnis haben, ist der typische Fehler passiert. Da Ihr Taschenrechner die Regel Punk- vor Strichrechnung kennt, hat er gerechnet 0 + = +,5 = 4,5 4 Richtig wäre gewesen: + 0 = = 4 4 Diesen Fehler können Sie vermeiden, indem Sie entweder den Term als Bruch eingeben oder bei der Berechnung eine Klammer setzen: ( + 0) 4 Dann kommen Sie auch auf das richtige Ergebnis. Bitte ausprobieren!.6 Rechnen mit Klammern Eine Zahl wird mit einer in einer Klammer stehenden Summe multipliziert, indem diese Zahl unter Beachtung der Vorzeichenregeln mit jedem Summanden multipliziert wird. (Vgl. Distributivgesetz) ) 5 (a + b + c) = 5a + 5b + 5c ) 4 (a b c) = 4a 4b 8c ) (x + y z) ( x) = x xy + xz

13 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite Die Reihenfolge der Berechnung wird von den Klammern vorgeschrieben. Treten in einer Aufgabe Klammern auf, so werden die in der Klammer stehenden Ausdrücke zuerst berechnet, auch wenn die Klammern durch Multiplikationszeichen miteinander verbunden sind. ) ( 4 + ) ( 6 : ) + ( 4 ) = = + 8 = 9 ) ( ) : ( 4 + ) + (4 7) = ( ) : ( ) + 8 = 0 ) (5 + 4 ) ( 4) ( 7) = 7 ( 5) : ( 0) = ( 85) : ( 0) = 8,5 Steht vor einer Klammer ein Minuszeichen, so verändern sich die Vorzeichen der Faktoren in der Klammer, wenn man diese auflöst. z.b.: (8 x) = 8 + x = 5 + x Reihenfolge (Klammern in Klammern): Treten mehrere Klammern ineinander verschachtelt auf, so beginnt man bei der innersten Klammer mit der Auflösung und arbeitet sich nach außen vor. ) ( ) ( ) [ ] 4+ : 5+ = 7 :7= :7= ) 4x [y (4x 6y) + 7x] 6y = 4x [y 4x + 6y + 7x] 6y = 4x [8y + x] 6y = 4x 8y x 6y = x 4y ) { ( ) } [ ] { [ ] } { } { } 5a b + c c a + b 5a = { } = 5a b + c c + a + b 5a = = 5a b + c + a + b 5a = = 5a b c + 6a + b 5a = = 5a 5b c + a = 4a 5b + c

14 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 4.7 Beträge Steht ein Ausdruck in Betragsstrichen, so ist nur nach dem absoluten Wert des Ergebnisses gefragt, d.h. ein mit Betragsstrichen versehener Ausdruck hat immer ein positives Ergebnis (z.b. bei der Flächenberechnung mit Integralen). Es gilt: a für a 0 a = a für a < 0 ) + 6 = 9 = 9 ) 4 7 ( ) = ( ) = ( ) = 9 Die Betragsfunktion hat ein typisches Aussehen:.8 Aufgaben zu den allgemeinen Rechenregeln Aufgaben 6

15 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 5 Bruchrechnung. Definitionen Ein Bruch besteht aus zwei Elementen, dem Zähler über dem Bruchstrich und dem Nenner unter dem Bruchstrich. Der Nenner (N) gibt an, in wie viele Teile ein Ganzes (G) geteilt werden soll. Der Zähler (Z) gibt die Anzahl der Teile an. Beispiel: Zähler(Z) 4 Nenner(N) Ein Ganzes wurde in 4 Teile geteilt (/4), davon Stück. Beispiel: Wie groß sind 5 6 der Gesamtfläche von 44 m? (44 m : 6) 5 = 9 m 5 = 45 m Achtung: Der Nenner eines Bruches darf niemals Null sein. Es gilt: a 0 ist nicht definiert aber = 0 0 a Bezeichnungen: a < echter Bruch b a unechter Bruch b gemischte Zahl: Summe aus einer ganzen Zahl und einem Bruch, z.b. = + =,5 Achtung : Nicht = Vorzeichen: Ein Minuszeichen kann im Zähler, im Nenner oder vor dem gesamten Bruch stehen. a a a = = b b b Ist die Zahl der Minuszeichen gerade, ist der Wert des Bruches positiv, ist die Anzahl ungerade, ist der gesamte Bruch negativ. a a a a a = = = b b 4 7 ( ) ( )

16 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 6. Erweitern und Kürzen von Brüchen Ein Bruch wird erweitert, in dem man sowohl den Nenner als auch den Zähler mit der gleichen Zahl multipliziert. (Diese Zahl darf nicht Null sein) Z N erweitert um a: Z a a 0 und N 0 N a Beispiel: soll mit 4 erweitert werden: = Für das Kürzen von Brüchen gilt gleiches: Ein Bruch wird gekürzt, in dem man sowohl den Nenner als auch den Zähler durch die gleiche von Null verschiedene Zahl teilt. Es gilt Z N gekürzt um a: Z:a a 0 und N 0 N:a Beispiel: 9 9: soll mit gekürzt werden: = : 4 Achtung: Durch Differenzen und durch Summen kürzen nur die Dummen. ( + ) ( ) x + axy x x ay x + ay = = x x ax + by + by ax. Kehrwert eines Bruches In der Schule haben Sie gelernt, dass man den Kehrwert eines Bruches berechnet, indem man Zähler und Nenner vertauscht. b a ist der Kehrwert von a b a ist der Kehrwert von a In der Fachsprache benutzt man statt Kehrwert eher den Begriff Inverse (inverser Wert) oder Reziproke (reziproker Wert) und kennzeichnet es mit einer hochgestellten (-). Für die Zahl x = 5 ist die dazugehörige Inverse Für die Zahl y = ist die dazugehörige Inverse y x = 5 = Dabei gilt grundsätzlich: a a = = a a

17 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 7.4 Umwandeln von ganzen Zahlen und Dezimalzahlen in Brüche Will man eine ganze Zahl als Bruch ausdrücken, so steht die ganze Zahl im Zähler und wird mit dem neuen Nenner multipliziert = = 5 = = Eine Dezimalzahl wird in einen Bruch umgewandelt, in dem man die Zahl vor dem Komma als ganze Zahl stehen lässt und je nach Anzahl der Nachkommastellen durch 0, 00, 000 etc. teilt. (Es müssen so viele Nullen an die im Nenner angefügt werden, wie Stellen nach dem Komma gegeben sind.) ,75 = = 5,59 = 5 = Rechnen mit Brüchen Addition und Subtraktion von Brüchen Zwei Brüche werden addiert (subtrahiert), indem man bei gleichem Nenner die Zähler addiert. a b a± b ± = c c c 4 + = N = Weisen die Brüche allerdings verschiedene Nenner auf, so müssen diese erst durch Kürzen oder Erweitern gleichnamig gemacht werden (Hauptnenner) : = + = + = = 9 9: = + = + = = =

18 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 8 Multiplikation von Brüchen Brüche werden multipliziert, in dem man die Zähler der beiden Brüche multipliziert und die Nenner miteinander multipliziert. a b a b = c d c d c, d 0 Beispiel: = = 4 6 Ein Bruch wird mit einer ganzen Zahl multipliziert, indem der Zähler mit der ganzen Zahl multipliziert wird: a a c a c c = = b b b = = = = ( 4) ( ) 4 8 = = Division von Brüchen Brüche werden dividiert, in dem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des. Bruches multipliziert. a b a d a d : = = c d c b c b 4 4 Beispiel: : = = 4 b, c, d 0 So kann man auch einen Doppelbruch auflösen, denn er ist nichts anderes als die Division von zwei Brüchen. Beispiel: 5 7 = : = =

19 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 9 Man teilt einen Bruch durch eine ganze Zahl, indem man den Nenner mit der ganzen Zahl multipliziert: a a c a a :c = : = = b b b c b c :4= = 4 5 := 5 = 5 6 Eine ganze Zahl wird durch einen Bruch dividiert, in dem man die Zahl mit dem Kehrwert des Bruches multipliziert. b c a c a: = a = c, b 0 c b b 4 5 Beispiel: 5 : = 5 = = =, Aufgaben zur Bruchrechnung Aufgaben 7 8

20 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 0 4 Binomische Formeln 4. Die drei grundlegenden Binome Wie Sie vom Distributivgesetz her wissen, gilt folgendes: (a + b) = (a + b) (a + b) = a + ab + ab + b = a + ab + b (a b) = (a b) (a b) = a ab ab + b = a ab + b (a + b) (a b) = a ab + ab b = a b Diese Berechnungen bezeichnet man auch als binomische Formeln: (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b (a + b) (a b) = a b (x + 5) = 4x + 0x + 5 x + 4y = x + 4xy + 6y 4 (x 6) = x x + 6 ( ) a = 44 4a + a (x + 7)(x 7) = x 49 (5x 9 ) (5 x + 9) = 5x 8 Eine Anwendungsmöglichkeit der binomischen Formeln ist das Kopfrechnen. Mit ihrer Hilfe lassen sich nämlich Rechnungen vereinfachen: 5 = (50 + ) = = = = (00 ) = = = = (60 + 5) = = = = (00 ) ( 00 + ) = 00 = = Viel wichtiger ist aber folgendes:

21 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite In Umkehrung der binomischen Formeln lassen sich auch oft Summen und Differenzen als Produkte darstellen. Dies ist z.b. dann sinnvoll, wenn die Nullstellen einer Funktion gesucht werden sollen oder um Brüche zu kürzen. 4a + ab + 9b = (a + b) 49x 4x + 9 = (7x ) 5x = (5x + ) (5x ) ( )( ) 6x 4x + 4x = = 4x 4x + 4x + ( ) ( ) 9x + xy + 4y x + y x + y = = =, 5 x + y 6x + 4y x + y 4. Binome höherer Ordnung Nun gibt es auch andere Potenzen als nur das Quadrat. Ein paar (a + b) 0 = (a + b) = a + b (a + b) = a +ab + b (a + b) = (a +ab + b ) (a + b) = = a + a b + a b + ab + ab + b = a + a b + ab + b (a + b) 4 = (a +ab + b ) (a +ab + b ) = = a 4 + a b + a b + a b + 4a b + ab + a b + ab + b 4 = = a 4 + 4a b + 6a b + 4ab + b 4 Sie sehen: Je höher die Potenz des Binoms, desto aufwendiger die Berechnung. Einfacher geht es mit dem Pascal schen Dreieck. Dieses Dreieck erhält man, indem man die Koeffizienten der Binome aufschreibt. Alternativ kann man die Elemente auch berechnen: Am Anfang und am Ende jeder Reihe steht der Koeffizient. Die Koeffizienten der nächsten Reihe entstehen immer durch Addition der Koeffizienten der darüber liegenden Reihe.

22 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite Vergleichen Sie nun die Koeffizienten mit den Berechnungen der Binome höherer Ordnung. Ihnen sollte folgendes auffallen: Die Koeffizienten der Lösung gibt das Pascal sche Dreieck vor. Die Exponenten von a verlaufen fallend, die von b steigend. Bei jedem Summanden ist die Summe der Exponenten von a und b = n. Weiterhin gilt: Ist ein Term (a oder b) negativ, richtet sich das Vorzeichen nach der Potenz dieses Buchstaben im Ergebnisterm. Ist die Potenz ungerade, ist der Ausdruck negativ, ist er gerade, ist der Ausdruck positiv. Sind a und b beide negativ, richtet sich das Vorzeichen des Ergebnistermes nach der Summe der Exponenten. Ist sie ungerade, ist der Ausdruck negativ, ist sie gerade, ist der Ausdruck positiv. Da die Summe der Exponenten aber gerade auch n entspricht, gilt: Ist n ungerade, sind alle Ausdrücke negativ, ist n gerade, sind sie positiv. Auf diese Weise kann man alle höheren Binome lösen. (a + b) 6 = a 6 + 6a 5 b + 5a b 4 + 0a b + 5 a b 4 + 6ab 5 + b 6 (a b) = a a b + ab b ( a b) = a a b ab b (a b) 5 = a 5 5a 4 b + 0a b 0a b + 5ab 4 b 5 (a + b) 8 = a 8 + 8a 7 b + 8a 6 b + 56a 5 b + 70a 4 b a b 5 + 8a b 6 + 8ab 7 + b 8 4. Aufgaben zu den binomischen Formeln: Aufgaben 9-6

23 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite

24 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 4 5 Potenzen 5. Definition Potenzen mit natürlichen Exponenten treten z.b. auf bei Flächen- oder Volumenmaßen: cm oder m. Will man beispielsweise das Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge a berechnen, erhält man nach der Volumenformel Höhe Breite Länge V = a a a = a Ein Würfel mit der Kante cm hat beispielsweise ein Volumen von = = 8 cm. In der Mathematik heißt diese abgekürzte Multiplikation eine Potenz: n = Exponent a a a a a a n Fa toren Basis Beispiel: x ist also eine Potenz mit der Basis x und dem Exponenten. 5. Grundlagen Spezialfälle: a = a Der Exponent wird normalerweise nicht geschrieben. a 0 = Jede beliebige Zahl hoch Null ist. Brüche: Regel: Steht als Basis ein Bruch, können Zähler und Nenner getrennt betrachtet werden. Es gilt: a a a a a a a a b = = = b b b b b b b x x x = = = = 4 6

25 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 5 Klammersetzung: Klammern sind bei Potenzen sehr wichtig. Beispiel : (cd) ist nicht dasselbe wie cd : (cd) = cd cd cd = c c c d d d = c d cd = c d d d Beispiel : ( ) ( ) ( ) ist nicht dasselbe wie ( ) = = 4 = = 64 ( ) ( ) 8 = = = = 56 Vorzeichen: Die Vorzeichenregel lautet: ( ) n wenn n eine gerade Zahl ist = wenn n eine ungerade Zahl ist Und daraus abgeleitet: n n n n a = ( a) = ( ) a = ( ) ( ) a n n ( a ) wenn n eine gerade Zahl ist wenn n eine ungerade Zahl ist 5. Rechnen mit Potenzen (Potenzgesetze) Addition und Subtraktion von Potenzen: Potenzen kann man nur addieren oder subtrahieren, wenn sie sowohl in der Basis als auch im Exponenten übereinstimmen. Beispiel: x + x + 4x +x x + x = = x + x + 4x x + x +x = = 5x +x + x

26 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 6 Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis: Herleitung: a a 4 = (a a a) (a a a a) = a 7 = a + 4 Regel: Formel: Potenzen mit gleicher Basis werden also multipliziert, indem man die Exponenten addiert. Die Basis bleibt dabei unverändert. n m n m a a = a + x x = x = x + 5 a 4 a - = a 4 + ( ) = a Division von Potenzen mit gleicher Basis: Herleitung: Regel: Formel: 5 a a :a = a a a a = a = a a 5 a Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert. Die Basis bleibt dabei unverändert. a a n m 5 4 xy x = a n m = = 5 = = 4 x y xy Multiplikation von Potenzen mit gleichen Exponenten: Herleitung: a 4 b 4 = a a a a b b b b = = (a b) (a b) (a b) ( a b) = (a b) 4 = (ab) 4 Regel: Formel: Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, in dem man die Basen multipliziert. Der Exponent bleibt dabei unverändert. n n n a b = (ab) x 5 = (5x) (a) = a = 7a

27 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 7 Division von Potenzen mit gleichen Exponenten: Herleitung:. Regel: 4 a a a a a a a a a a = = = 4 b b b b b b b b b b Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, in dem man die Basen dividiert. Der Exponent bleibt dabei unverändert. 4 Formel: a b n n n a = b mit b 0 :z = z z 0 ( ax ) : ( xy) ax a = = xy y Achtung: Stimmen weder die Basis noch die Exponenten überein, ist ein Zusammenfassen nicht möglich! a 4 b = a a a a b b b x y = 6x y Potenzieren von Potenzen: Herleitung: ( ) ( ) Regel: Formel: ( ) m a = a a a = a a = a = a 6 Eine Potenz wird potenziert, in dem der eine Exponent mit dem anderen Exponenten multipliziert wird. a ( ) n n m = a x = x = x 6 Achtung: ( ) x a = a = a x x Klammersetzung beachten! ( ) a = a = a 8 ( a ) = a = a 6

28 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 8 Negative Exponenten: Regel: Formeln: Ein negativer Exponent wird positiv, wenn man den Kehrwert des ganzen Ausdruckes bildet. a a n n a = und = a n n m m a b b = = = = m m m b a a a a m b b x = x = x x m c = c u = v uv 5.4 Aufgaben zur Potenzrechnung Aufgaben 64 8

29 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 9 6. Wurzeln 6. Definitionen Wurzeln treten z.b. bei der Umkehrung von Flächen- oder Volumenaufgaben auf: Ein Quadrat mit dem Flächeninhalt 5 cm hat eine Seitenlänge von a = 5cm. Ein Würfel mit dem Volumen 7 m hat eine Kantenlänge von a = 7m. Begriffe: x ist die. Wurzel aus x, dabei ist x der Radikant und der Wurzelexponent. Achtung: Wenn man eine Wurzel ohne Wurzelexponenten schreibt, so handelt es sich dabei immer um die zweite Wurzel (auchquadratwurzel genannt): ( x = x ) Definitionsbereich des Radikanten: Für n a gilt: Ist der Wurzelexponent n gerade, muss der Radikant a größer oder gleich Null sein. Eine solche Aufgabe hat dann zwei Lösungen. Ist der Wurzelexponent n ungerade, dürfen in der Wurzel auch negative Zahlen a stehen. Hier gibt es immer nur eine eindeutige Lösung. 64 = = 6 ist nicht definiert, denn jede Zahl hoch ist positiv. 7 =, denn ( ) = = aber =

30 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 0 6. Wurzeln als gebrochen rationale Potenzen Wenn man von der Gleichung x m = b ausgeht, kann man für die Auflösung nach x nun entweder auf beiden Seiten die m-te Wurzel ziehen, oder aber nach den Potenzgesetzen mit m potenzieren: m m m m m x = b x = b x = b m m m m m ( ) x = b x = b x = b Vergleicht man die Ergebnisse, sieht man: x = x m m b = b Man kann also jede Wurzel in eine (gebrochen rationale) Potenz umwandeln und umgekehrt. Es gilt: n a m = a m n x = x 4 4 x = x a y y = a x x 5 = x 5 = = x x a b = x = a x b b x a

31 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 6. Rechenregeln für Wurzeln (Wurzelgesetze) Da, wie gezeigt, alle Wurzeln auch (gebrochen rationale) Potenzen anwendbar sind, finden alle Regeln für Potenzen auch auf Wurzeln Anwendung. Im Folgenden sind die Formeln für Wurzeln jeweils mit einem oder mehreren Beispielen aufgeführt: Potenzieren und Radizieren heben sich bei gleichem Exponenten n auf. ( ) 4 4 a = a a = a Bei Strichrechnung ist ein Zusammenfassen nur möglich, wenn sowohl der Radikant als auch die Basis übereinstimmen. Das Zusammenfassen erfolgt nach der gleichen Regel wie x + x = 5x. Formel: a ± b a± b = 9 = 5, = + 5 = = 4 + = =,8 4 = ± Multiplikation bei gleichem (Wurzel-) Exponenten: Bei gleichem Wurzelexponenten werden nur die Radikanten multipliziert, der Exponent bleibt gleich. n n n Formel: a b = a b x 5 = 5x = 6 = 6 = a = a a = a a = a a Rechnet man hier mit gebrochenen Exponenten, kann man die Lösung noch weiter vereinfachen: a = a = a = a = a a = a a

32 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite Division bei gleichem (Wurzel-) Exponenten: Bei gleichem Wurzelexponenten werden nur die Radikanten dividiert, der Exponent bleibt gleich. Formel: n n a b = n a b z = z = = = Multiplikation bei gleichem Radikanten: Bei gleichem Radikanten werden nur die Wurzelexponenten addiert, der Radikant bleibt gleich. n m n+ m Formel: a a = a = = + 5 x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) 5 a+ b a+ b = a+ b 5 a+ b = = a+ b = a+ b = a+ b = a+ b ( ) ( ) ( ) ( ) 9 Division bei gleichem Radikanten: Bei gleichem Radikanten werden nur die Wurzelexponenten subtrahiert, der Radikant bleibt gleich. Formel: n m a a = n m a = = = 4 a a = = = = = = a 4 a a a a a a 4 a

33 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite Verschachtelung mehrerer Wurzeln: Sind mehrere Wurzeln ineinander verschachtelt, werden die Wurzelexponenten miteinander multipliziert. Formel: n m a = n m a 6 x = x = x a = a = a = a = a a, 4 a = = = 6.4 Aufgaben zu Wurzeln Aufgaben 84 98

34 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 4 7 Rechnen mit Logarithmen 7. Einführung Eine ganz banale Frage: Welches ist die Hochzahl von, wenn die Basis ist? Die Antwort ist ablesbar: Die Hochzahl, oder auch Exponent genannt, ist. Nun eine neue Frage: Welches ist die Hochzahl von 8, wenn die Basis ist? Die Antwort ist dieselbe, nämlich, aber dazu muss man erst 8 als identifizieren. Jetzt nennt man aber nicht mehr den Exponenten, sondern den Logarithmus. Dies ist verwirrend, daher die genaue Erklärung: Es gilt bekanntlich = 8. ist der Exponent von für das Ergebnis 8. ist der Logarithmus von 8 zur Basis. Man muss also unterscheiden: Geht man von aus, dann ist der Exponent von, geht man vom Ergebnis 8 aus, dann ist der Logarithmus. Allgemein gilt: Aus Basis Exponent = Ergebnis folgt log Basis Ergebnis = Exponent = 8 log 8 = 4 = 6 log 6 = 4 4 = 6 log 4 6 = 5 = 5 log 5 5 = = 9 log 9 = = log = ( 5) = 5 log 5 = 5

35 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 5 7. Berechnen von Logarithmen Bisher haben wir noch keine Logarithmen berechnet, sondern nur das Umschreiben einer Potenzgleichung in eine Logarithmusgleichung geübt. Nun wollen wir die Logarithmen dadurch bestimmen, das wir die Potenzrechnung zuerst ausführen. Es gilt: Die Potenzgleichung a x = b hat genau eine Lösung: x = log a b, also der Logarithmus von b zur Basis a. Um den Wert des Logarithmus x = log a b zu bestimmen, ist die Fragestellung: a hoch wieviel ist b? x = log Frage: hoch wieviel ist? Lösung: log = 5 (denn 5 = ) x = log 4 64 Frage: 4 hoch wieviel ist 64? Lösung: log 4 64 = (denn 4 = 64) x = log 9 8 Frage: 9 hoch wieviel ist 8? Lösung: log 9 8 = (denn 9 = 8) Dieser Rechenweg noch einmal anders: Wenn also nun nach x = log 64 gefragt ist, müssen wir erkennen, daß in der zugehörigen Potenzgleichung die Basis ist und 64 das Ergebnis. Der gesuchte Logarithmus ist die dazugehörige Hochzahl zur Basis. Wir müssen erkennen daß 64 = 6 ist. Die Rechnung lautet also: log 64 = log 6 = 6 Man ersetzt also 64 durch 6 und liest das Ergebnis, also die Hochzahl, einfach ab. log7 = log7 = log 77 = 49 7 log = log = log 4 = log = log = log = ( )

36 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 6 7. Besondere Basen Grundsätzlich lassen sich alle positiven Zahlen außer der als Basis verwenden. (Bei haben alle Logarithmusfunktionen eine Nullstelle und steigen dann streng monoton steigend an.) Üblich sind aber die beiden folgenden Basen:. Zehnerlogarithmen, auch dekadische Logarithmen genannt, haben die Basis a = 0. Wenn nur log ohne Angabe einer Basis oder auch lg geschrieben wird, ist immer die Basis 0 gemeint. log 0 00 = (denn 0 = 00) log = 4 (denn 0 4 = 0.000) lg 0,0 = (denn 0 = /0 = 0,0) Bitte merken: lg 0 =. Natürliche Logarithmen haben die Basis e. e ist die sog. Euler sche Zahl mit e =,788..., die bei Naturprozessen mit stetigem Wachstum eine große Rolle spielt. Solche natürlichen Logarithmen werden oft mit ln für logarithmus naturalis bezeichnet: log e x = ln x. Bitte merken: ln e = Diese beiden Logarithmenarten findet man gewöhnlich auf jedem Taschenrechner. Aus weitere Sonderform wird manchmal noch der Zweierlogarithmus oder binäre Logarithmus bezeichnet, d.h. ein Logarithmus zur Basis, also log. Dieser Logarithmus spielt in der EDV eine wichtige Rolle.

37 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite Rechnen mit Logarithmen (Logarithmengesetze) Für das Rechnen mit Logarithmen gelten die folgenden Gesetze: = = y 0 loga 0 denn a für alle a ( ) log x y = log x + log y a a a ln4 + ln = ln( 4) = ln =,4849 ( ) log 7 8 = log 7 + log 8= + 4 = 7 x loga = loga x loga y y 5 lg5 lg = lg 0,8 = x y ln = ln x + ln y lnz z a y ( ) log x = y log x 0 lg0 0 lg0 0 ( ) 8 log 4 = 8 log 4 = 8 = 6 a = = ln e = lne = lne = loga = loga x x = 6 = = 4 log log6 log 4 Achtung: Diese Formeln finden nur Anwendung, wenn die Logarithmen die gleiche Basis haben.

38 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite Berechnen beliebiger Logarithmen Eine weitere Rechenregel erlaubt das Berechnen jedes beliebigen Logarithmus mit dem Taschenrechner: lgb lnb = = loga b lga lna Beispiel : Man berechne log 0,5 5:. Möglichkeit: lg5 0,6990 log0,5 5 = = =,9 lg0,5 0,00. Möglichkeit: ln5,6094 log0,5 5 = = =,9 ln0,5 0,69 Beispiel : Man berechne log 4,7 :. Möglichkeit: lg,494 log4,7 = = =,90 lg4,7 0,67. Möglichkeit: ln,440 log4,7 = = =,90 ln4,7, Aufgaben zu Logarithmen Aufgaben 99

39 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 9 8 Summen- und Produktzeichenzeichen 8. Das Summenzeichen Das Summenzeichen Σ (großer griechischer Buchstabe Sigma) dient der vereinfachenden und verkürzten Schreibweise von Summen. Sie werden es vor allem in Statistik benötigen. Es gilt: a + a + a + a a n = n i= a Gesprochen heißt das: Die Summe über alle a i von i = bis i = n, wobei die untere Grenze und n die obere Grenze ist. i Beispiel: a = 4 a = 7 a = a 4 = 8 4 i= a = = 4 i Eine größere Bedeutung hat das Summenzeichen dann, wenn es möglich ist, a i als Funktion des Summationsindexes i darzustellen. Die hinter dem Summenzeichen stehende Rechenoperation wird dann beginnend mit der unteren Grenze bis zur oberen Grenze fortlaufend ausgeführt.. ( ) ( ) ( ) i= i= = 5. ( ) ( ) ( ) i= 4i + = = i= i= (i i) = ( ) + ( ) + ( ) = ( ) = i = + + = = i + 4 Wie Sie sehen, muss die untere Grenze nicht gleich sein, sondern kann jeden beliebigen Wert einnehmen.

40 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite Regeln zum Rechnen mit Summenzeichen Wenn die Summe aus n gleichen Summanden a besteht, lässt sie sich dadurch berechnen, daß man n mit a multipliziert. n a = n a i=.. i= 5 i= 5 = = 5 = 45 xy = xy + xy + xy + xy + xy = 5 xy = 5xy Wenn jedes Glied einer Summe einen konstanten Faktor enthält, kann dieser Faktor vor das Summenzeichen gezogen werden: n n c a = c a i i= i=. ( ) ( ) i = i = = 9 = 7 i= 0 i= 0 i. ( ) ( ) ( ) i= i= 0 ( ) ( ) 4xi = 4x i = 4x = = 4x = 4x 0 = 40x. 6i 6i i i i = = i = = 7 = = 5 = 5 = = 6,857

41 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 4 Wenn jedes Glied einer Summe aus mehreren Summanden besteht, kann die Summe für jeden Summanden getrennt berechnet werden: n n n ( ± ) = ± a b a b i i i i i= m i= m i= m ( ) ( ) ( ) i + i = i + i = = = 60 i= i= i= i i ,88 i = = + + i + + = = = ( ) i= i= i= Diese Regeln können natürlich auch kombiniert werden ( + ) = + a b 4c 5d a b 4 c 5 d i i i i i i i i i= i= i= i= i= i i = + i i i = = = = = ( ) = = 45 = = 5, i i ( 5 ) 4

42 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 4 8. Doppelsummen Im Laufe Ihres Wirtschaftsstudiums werden Sie häufig mit Tabellen konfrontiert werden. Beispiel: Ein Unternehmen produziert drei verschiedene Farbfernsehgeräte. Die nachfolgende Tabelle gibt die Umsätze (in Mio. ) für die ersten 6 Monate dieses Jahres pro Produktvariante wieder): Produkt Monate j Gesamtumsatz je Produkt i monatlicher Gesamtumsatz Allgemeine Symbole für dieses Beispiel: u ij ist der Umsatz des Gutes i im Monat j (zuerst Zeile, dann Spalte). Beispiel: u 4 = Die erste Zeilensumme ergibt sich aus: 6 u = u + u + u + u + u + u = = j= j Die erste Spaltensumme ergibt sich aus: i= u = u + u + u = + 4+ = 9 i Die gesamte Umsatzsumme ergibt sich nun als Doppelsumme: 6 ij ( ) ( ) ( ) i= j= u = u + u + u + u + u + u + u + u + u + = 7 6. aij = ( a + a4 + a5 + a6 ) + ( a + a4 + a5 + a6 ) + ( a + a4 + a5 + a6 ) i= j=. ( ) ( ). i= j= 4 i= j = i j = = = 0 ( ) ( ) i j= ( 4) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = 4 0 = 40

43 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite Das Produktzeichen Analog zum Summenzeichen gibt es auch ein Produktzeichen. Es gilt: n a = a a a a a i= i 4 n. 9 i= i = = i= i = + i = ( i+ )( i ) 0 i 0 = = = = i i i= 0 i= 0 i= Aufgaben zu Summen- und Produktzeichen Aufgaben

44 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 44 9 Lineare Gleichungen 9. Äquivalenzumformungen (Termumformungen) Um (nicht nur) lineare Gleichungen (sowie Ungleichungen) lösen zu können, müssen Sie Äquivalenzumformungen (auch Termumformungen genannt) durchführen können. Das bedeutet: Alle Rechenschritte müssen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden. Dadurch bleibt die Gleichung in ihrem Wert unverändert, es wird äquivalent umgeformt. Das verdeutlicht das Zeichen das vor die modifizierte Zeile gesetzt wird. Erlaubte Rechenoperationen: - Addition oder Subtraktion eines Terms. - Multiplikation oder Division mit einem Term 0. - Potenzieren, Wurzelziehen oder Logarithmieren x 0 = x = x = 4 x = x = 4x = 0 : 4 4x:4= 0:4 x = 5 = x 49 ( ) x = 7 x = 7 In der Regel muss man mehrere dieser äquivalenten Umformungen vornehmen, um die Gleichung in die angestrebte Form x =... zu bringen. x + 7 = 9 x = 4 7x 5 = x + 7 x = 5,5 Hinweis: Die gleichen Lösungsverfahren benötigen Sie beispielsweise auch, um Formeln umzustellen.

45 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite Einfache lineare Gleichungen Lineare Gleichungen enthalten nur Unbekannte in der ersten Potenz. x = 7 4x + y = 5 5 z + 7y = x Ist in einer Gleichung nur eine Unbekannte (z.b. x) enthalten, so ergibt sich die Lösung durch Auflösen der Gleichung nach x. Beispiel : 6 + 5x = 4 + x x 6 + x = 4 6 x = : x = 56 Beispiel : + x = 7 l + x = 0 l : x = 0,8 Beispiel : (x + 7) (x ) = (5x + 4) x + 7 x + = 5x + 0 x = 5x + l 0 x = 5x + l 5x 6x = l : 6 x = 8 9. Textgleichungen Textaufgaben sind in der Schule besonders beliebt. Sie lassen sich in aller Regel auf lineare Gleichungen zurückführen. Beispiel : Die Differenz aus dem Achtfachen und dem Fünffachen meines Alters ist 96. Wie alt bin ich? 8x 5x = 96 x = 96 x = (schön wär s!)

46 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 46 Beispiel : Jürgen hat doppelt so viele Kekse gegessen wie Astrid. Zusammen haben sie zwei schachteln zu je 4 Stück verschlungen. Wie viele Kekse hat dann jeder gegessen? Astrid: x Jürgen: x x + x = 4 x = 6 (Astrid) Jürgen: x = Beispiel : Die Summe dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist 6. Wie heißen diese drei Zahlen? Wenn man die kleinste gesuchte Zahl als x bezeichnet, sind die andern Zahlen (x + ) und (x + ). Es gilt also: x + (x + ) + (x + ) = 6 x = Die gesuchten Zahlen sind, und. 9.4 Bruchgleichungen Ist die Unbekannte einer Gleichung in einem Bruch enthalten, multipliziert man die Gleichung mit den Nennern, um die Brüche aufzulösen. Achtung: Der Nenner eines Bruches darf nicht Null werden! Beispiel : 5 x+ = 6 6 4x + = 5 x = Beispiel : x x 6 = x 0 Hauptnenner 5 6 ( x ) 0 ( x 6) 0 0x = 5 6 x 8 5x + 0 = 5x 8x = x = = =, 5 8 ( )

47 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 47 Beispiel : x 7 x 9 = (x 4) x 4 x+ 7 (x 7) (x 4) (x 9) (x 4) = (x + 7) (x 4) (x + 7) (x 9) (x 4) (x + 7) + = (x + 7) ( x 7) ( x 7) + = + x x 7x 49 x x 9x 76 4x 49 = x x = 5 5 x = 45 5 x = 9 Beispiel 4: x + x 7 = ( 6x + 5 ) ; ( 6x ) 6x + 5 6x ( x+ ) ( 6x ) = ( x 7)( 6x+ 5) x 4x + 8x 6 = x + 0x 4x 5 x 4x 6 = x 5 + x ; + 6 8x = 8 : x = = 8 Das ist trotzdem keine gültige Lösung der Gleichung, denn setzt man das Ergebnis in den. Nenner ein, wird er Null. Also: Keine Lösung! 9.5 Exponentialgleichungen Exponentialgleichungen beinhalten die Unbekannte x im Exponenten. Davon gibt es mehrere Arten: direkt lösbare Exponentialgleichungen und nicht direkt lösbare Exponentialgleichungen.

48 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 48. Direkt lösbare Exponentialgleichungen Beispiel : 8 x = Da beide Seiten Potenzen derselben Basis sind, rechnet man beide Seiten in Potenzen von um und erhält: ( ) x = 5 x = 5 Potenzen mit gleicher Basis sind genau dann gleich, wenn auch die Exponenten gleich sind. Also gilt: x = 5 x = 5 Beispiel : x+ x+ ( ) = = x + = x = x = 4. Nicht direkt lösbare Exponentialgleichungen Beispiel : x = 7 Da man nun die beiden Seiten der Gleichung nicht als Potenz derselben Basis darstellen kann, muss man diese Gleichung logarithmieren. Damit man den Taschenrechner verwenden kann, nimmt man dazu i.d.r. den Zehnerlogarithmus: x = 7 lg x ( ) = ( ) lg lg 7 ( ) ( ) ( ) x lg = lg 7 lg7 x = =,807 lg Beispiel : x+ 7 = lg x+ ( ) = ( ) lg 7 lg ( ) ( x + ) lg( 7) = lg( ) lg x+ = lg7 lg x = = 0, lg7 9.6 Aufgaben zu linearen Gleichungen Aufgaben 4 55

49 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 49 0 Lösen von quadratische Gleichungen 0. Überführen in Normalform Bei sog. Quadratischen Gleichungen kommen die Unbekannten in der Potenz vor. Grundsätzlich sollten alle quadratischen Gleichungen vor dem Lösen in die sog. Normalform, d.h. in die Form x + px+ q = 0 überführt werden. Dann kann man entweder zwei oder eine oder keine Lösung ermitteln. Beispiel: x + 4 x + = (x + 5)(x ) x+ 5 x (x + 4)(x ) + (x )(x + 5) = (x + 5)(x ) x x + 4x 4 + x + 5x x 55 = x x + 5x 5 4x 5x 59 = x + 4x 5 x 9x 54 = 0 x x 8 = 0 0. Lösungsmethode : Quadratische (oder binomische) Ergänzung Um quadratische Gleichungen zu berechnen, gibt es verschiedene Verfahren. In der Schule wird zumeist zunächst die quadratische Ergänzung gelehrt. Dabei wird die Gleichung zu einem Binom zusammengefasst, um dann zur Lösung von x zu gelangen. Beispiel : x + 8x + 6 = 0 (x + 4) = 0 x+ 4 = 0 x = 4 Dieses Verfahren kann auch angewandt werden, wenn die Gleichung nicht so offensichtlich ein Binom darstellt. Dabei wird die Gleichung so mit einer Zahl erweitert, dass wieder ein Binom entsteht. Entscheidend ist dabei die Zahl vor dem x, sie muss ab entsprechen.

50 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 50 Beispiel : x 6x 6 0 = x 6x 6 = x 6x = + (x ) 5 = x = 5 x = 5 x = 8 x = 0. Lösungsmethode : pq-formel Die pq-formel ist das gängigste Verfahren zum Lösen von quadratischen Gleichungen. Dieses Verfahren ist auch bei Brüchen, Wurzeln, o.ä. noch einigermaßen gut zu handhaben. p p p p x, = ± q q = ± 4 Hierbei werden die Werte für p und q in die Formel eingesetzt und dann x berechnet. Beispiel: x +5 = 8x ( 8) ( 8) x, = ± = ± 4 4 = 4± = 4± x = 4+ x = 4 x = 5 x =

51 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite Lösungsmethode : Mondschein-Formel: Andere haben in der Schule die sogenannte Mondschein-Formel gelernt, bei der eine quadratische Gleichung nicht zuerst in die Normalform gebracht werden muss: ax bx c 0 x/ + + = = ± b b 4ac a Beispiel: x 8x + 5 = 0 ( ) ± ( 8) ± ± x/ = = = a x = = x = = 6 6 b b 4ac Aufgaben zu quadratischen Gleichungen Aufgaben 56 6

52 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 5 Lösen von Gleichungen höherer Ordnung. Einführung Alle Gleichungen mit einer höheren Potenz als müssen zunächst auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden. Dazu müssen die nachfolgend vorgestellten Lösungsverfahren entsprechend oft hintereinander durchgeführt werden. Wenn als höchste Potenz der Unbekannten in einer Gleichung eine steht, so spricht man von einer Gleichung. Ordnung (auch kubische Gleichungen genannt). Beispiel: x +5 x + 0x = 0 Hier kann es maximal drei Lösungen geben, aber auch zwei, eine oder keine Lösung. Um eine solche Gleichung auf eine quadratische Gleichung zu reduzieren, muss man eines der Lösungsverfahren einmal durchführen. Ist in einer Gleichung die höchste Potenz der Unbekannten eine 4, gibt es 4,,, oder 0 Lösungen. Um sie auf eine quadratische Gleichung zurückzuführen, muss eines der Lösungsverfahren zweimal hintereinander durchgeführt werden. Jedes Lösungsverfahren reduziert die Ordnung also um den Faktor. (Ausnahme: Beim Ausklammern kann gegebenenfalls der Faktor auch größer als sein.). Lösen (Reduzieren) durch Ausklammern Manche dieser Gleichungen genau die, die kein absolutes Glied, also keinen Term ohne x besitzen lassen sich durch Ausklammern der höchsten gemeinsamen Potenz von x lösen. Beispiel : x + 5x + 0x = 0 x(x + 5x + 0) = 0 x = 0 oder x + 5x + 0 = 0 Da nun das Problem auf eine Gleichung mit der maximalen Potenz reduziert ist, können Sie mit einem Verfahren zur Lösung von quadratischen Gleichungen (z.b. pq-formel) fortfahren. Beispiel : 5 4 x x + x = 0 x (x 4x + ) = 0 x/ / = 0 oder x 4x + = 0 Auch hier geht es nun beispielsweise mit der pq-formel weiter.

53 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 5. Lösen (Reduzieren) durch Polynomdivision Zur Lösung von Gleichungen, die ein absolutes Glied enthalten, haben Sie in der Schule die Polynomdivision gelernt. Beispiel: x + 9x + 4x +6 = 0. Schritt: Die absolute Zahl auf die andere Seite bringen, d.h. die Gleichung so umformen, dass die absolute Zahl alleine auf einer Seite steht. x + 9x + 4x = 6. Schritt: Eine Lösung für x durch probieren finden x =? x =? = = = ( ) 9 ( ) 4 ( ) 6. Schritt: Die gefundene Lösung so umformen, dass auf einer Seite der Lösungsgleichung Null steht. So erhält man den sog. Linearfaktor. x = x+ = 0 Der Linearfaktor heißt also (x+). 4. Schritt: Nun muss die eigentliche Polynomdivision durchgeführt werden, d.h. Sie müssen die Ausgangsgleichung durch den Linearfaktor teilen. (x + 9x + 4x + 6) :(x+) = x + 8x + 6 -(x +x ) x + 4x -(8x + 8x) x + 6 -(6x +6) Schritt: Die so errechnete quadratische Gleichung können Sie nun mit der pq Formel lösen.

54 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite = x 8x x, = 4 ± 6 4 = 4± 0 x = 4 / 6. Schritt: Zum Schluss sollten Sie alle für x erhaltenen Lösungen zusammenfassen: x = x/ = 4.4 Lösen (Reduzieren) durch das Horner Schema Als meiner Meinung nach einfachere Alternative zur Polynomdivision möchte ich Ihnen das Horner Schema vorstellen: Beispiel: x 8x + 5x + 4 = 0. Schritt: Eine Lösung für x durch probieren finden: Erste Nullstelle: x =. Schritt: Das Horner Schema aufstellen: Dazu stellt man eine Tabelle auf, die in der ersten Zeile die Koeffizienten der Gleichung enthält. Das erste Element der zweiten Zeile ist immer Nun addiert man die erste Zeile auf: Dieses Ergebnis multipliziert man mit der ersten gesuchten Nullstelle, um das zweite Element der zweiten Zeile zu erhalten:

55 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 55 Diesen Vorgang wiederholt man, bis die Tabelle vollständig ausgefüllt ist. Das letzte Element muss dabei Null ergeben Das Ergebnis sind die Koeffizienten der quadratischen Gleichung, die man auch mit der Polynomdivision erhalten hätte: x 9x + 4 = 0. Schritt: Lösen der quadratischen Gleichung: x/ = ± 4 = ± = ± Schritt: Zusammenstellen der Ergebnisse: x = ( ;0) x = (7 ; 0) x = ( ;0).5 Aufgaben zu Gleichungen dritter Ordnung Aufgaben 64 67

56 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 56 Berechnen von Ungleichungen. Lineare Ungleichungen Das Berechnen von Ungleichungen ( <, >,, )erfolgt synonym zum Berechnen von Gleichungen. Ausnahme: Wenn man eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine solche teilt dreht sich das Ungleichheitszeichen um. Beispiel: -x 8 : - x -6 Sind die Seiten einer Ungleichung beide positiv oder beide negativ, gilt: Bei Kehrwertbildung dreht sich das Ungleichheitszeichen um. Beispiel: 7 < 0 > > < 7 0 Bei Ungleichungen mit Brüchen ist stets darauf zu achten, dass der Nenner nicht Null werden darf. x Beispiel: > x + Hier muss man zwei Fälle unterscheiden: x + > 0 oder x + < 0 x + > 0 x > x > x > ( x + ) da > 0 kein Wechsel des Ungleichheitszeichens x + ( ) x > x + x > Bedingung x > ist erfüllt x + < 0 x < x < x > ( x + ) da < 0 Wechsel des Ungleichheitszeichens x + ( ) x < x + x < Bedingung x < muß zusätzlich erfüllt sein

57 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 57. Quadratische Ungleichungen Bei quadratischen Ungleichungen ist zu beachten, dass eine Wurzel ein positives und ein negatives Ergebnis haben kann. Beispiel : x > x > 6 x > 6 x > 4 x > 4 oder x >+ 4 Beispiel : (x + ) < 9 ( ) x+ < 9 x+ < x+ > x > 5 x+ < x <. Aufgaben zu Ungleichungen Aufgaben 68 77

58 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 58 Lineare Gleichungssysteme. Grundlagen Wir haben schon darüber gesprochen, was lineare Gleichungen sind: Gleichungen, in denen die Unbekannte nur in der. Potenz vorkommt. Kommen mehr als eine Unbekannte in erster Potenz vor, spricht man von einem linearen Gleichungssystem. Um ein solches Gleichungssystem eindeutig lösen zu können, müssen so wird es in der Schule gelehrt ebenso viele Gleichungen wie Unbekannte vorhanden sein, d.h., bei zwei Unbekannten zwei Gleichungen. Beispiel : Ι x 8 = y ΙΙ 4y + 5x 4 = 0 Um ein solches Gleichungssystem zu lösen gibt es mehrere Verfahren. In der Schule werden i.a. folgende Verfahren gelehrt: Gleichsetzungsverfahren Einsetzungsverfahren Additions- bzw. Subtraktionsverfahren Für kompliziertere Gleichungsverfahren gibt es auch die Gauß sche Eliminationsmethode, die Lösung mit Hilfe der inversen Koeffozientenmatrix und die Determinantenmethode mit der Cramer schen Regel. Die drei letztgenannten Methoden setzen Kenntnisse aus der linearen Algebra, insbesondere der Matrizenrechnung, voraus. Sie werden im Kurs Wirtschaftsmathematik gelehrt. Vorraussetzung für jede dieser Methoden ist, dass die Gleichungen erst zusammengefasst und sortiert werden. Zu unserem Beispiel oben: Aus Ι x 8 = y ΙΙ 4y + 5x 4 = 0 Ergibt sich durch Umformen: Ι x + y = 8 ΙΙ 5x + 4y = 4 Randbemerkung: Alle beschriebenen Verfahren finden ebenso bei Gleichungen mit drei oder mehr Unbekannten Anwendung.

59 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 59

60 Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite 60. Gleichsetzungsverfahren Hierbei werden die Gleichungen nach derselben Unbekannten aufgelöst und gleichgesetzt. Nehmen wir als Beispiel das Beispiel von eben: Ι x+y=8 ΙΙ 5x+4y=4. Schritt: Gleichungen nach x bzw. y auflösen: x + y = 8 Ι y = 8 x y = 4 x ΙΙ 5x + 4y = 4 4y = 4 5x 7 5 y = x 4. Schritt: Die Gleichungen gleichsetzen: 7 5 Ι = ΙΙ : 4 x = x 4. Schritt: Die neue Gleichung nach der verbliebenen Unbekannten (y bzw. x) auflösen: x = x = x x 4 = x x = 4 4. Schritt: Den berechneten y Wert bzw. x - Wert in eine der nach x bzw. y aufgelösten Gleichungen einsetzen und die andere Unbekannte (x bzw. y) berechnen: x in Ι: x = y = 4 y = { } Die Lösung des Gleichungssystems lautet: L = ( ;)