Mikro-Controller-Pass 1

Transkript

1 Seite: 1 Zahlensysteme im Selbststudium Inhaltsverzeichnis Vorwort Seite 3 Aufbau des dezimalen Zahlensystems Seite 4 Aufbau des dualen Zahlensystems Seite 4 Aufbau des oktalen Zahlensystems Seite 5 Aufbau des hexadezimalen Zahlensystems Seite 5 Umrechnung vom dezimalen- in das binäre Zahlensystem Seite 6 durch Aufteilung der Stellenwertigkeiten Umrechnung vom dezimalen- in das binäre Zahlensystem Seite 7 durch fortgeführte Division - Beispiel binäres Zahlensystem Seite 10 - Beispiel oktales Zahlensystem Seite 11 - Beispiel hexadezimales Zahlensystem Seite 11 Umrechnung vom binären- in das dezimale Zahlensystem Seite 12 durch Addition der Stellenwertigkeiten Umrechnung vom oktalen- in das dezimale Zahlensystem Seite 13 durch Addition der Stellenwertigkeiten Umrechnung vom hexadezimalen- in das dezimale Seite 14 Zahlensystem durch Addition der Stellenwertigkeiten

2 Seite: 2 Umrechnung vom binären- in das dezimale Zahlensystem Seite 15 durch fortgeführte Multiplikation Umrechnung vom oktalen- in das dezimale Zahlensystem Seite 16 durch fortgeführte Multiplikation Umrechnung vom hexadezimalen- in das dezimale Seite 17 Zahlensystem durch fortgeführte Multiplikation Lösungen der Übungsaufgaben im Lernmaterial Seite 18 Übungsaufgaben Seite 19 Lösungen der Übungsaufgaben Seite 20

3 Seite: 3 Zahlensysteme im Selbststudium Vorwort Das Kapitel zu den Zahlensystemen ist als Wiederholung für diejenigen gedacht, die sich schon einmal mit dem Thema befaßt haben. Für Neueinsteiger sollten weitere Übungen herangezogen werden. Schwerpunkt bei weiteren Übungen sollten die Zusammenhänge zwischen dem binären- und dem hexadezimalen Zahlensystem sein. Dabei kann ein Taschenrechner als Hilfsmittel zur Kontrolle der selbstgestellten Aufgaben dienen. Im Lerntext befinden sich einige Umrechnungsübungen, deren Lösungen zum Schluß des Kapitels angegeben sind. Die Übungsaufgaben am Ende sollten sowohl von Neu-Einsteigern, als auch von denjenigen gelöst werden, für die dieses Kapitel eine Widerholung darstellt. Neu-Einsteiger können somit kontrollieren, ob sie das Thema jetzt beherrschen, Wiederholer, ob sie es noch beherrschen.

4 Seite: 4 Zahlensysteme Aufbau des dezimalen Zahlensystems Beispiel: Tausender Hunderter Zehner Einer ( 10 ) ( 10 ) ( 10 ) ( 10 ) Das dezimale Zahlensystem kennt die Wertziffern 0 bis 9. Die einzelnen Stellenwertigkeiten sind Potenzen zur Basis 10. Aufbau des dualen (binären) Zahlensystems Beispiel: Achter Vierer Zweier Einer ( 2 ) ( 8 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) ( 2 ) ( 1 ) Das duale Zahlensystem kennt die Wertziffern 0 und 1. Die einzelnen Stellenwertigkeiten sind Potenzen zur Basis 2.

5 Seite: 5 Zahlensysteme Aufbau des oktalen Zahlensystems Beispiel: er 64er Achter Einer ( 8 ) ( 8 ) ( 8 ) ( 8 ) Das oktale Zahlensystem kennt die Wertziffern 0 bis 7. Die einzelnen Stellenwertigkeiten sind Potenzen zur Basis 8. Aufbau des hexadezimalen (sedezimalen) Zahlensystems Das hexadezimale Zahlensystem kennt die Wertziffern 0 bis 9 und A bis F. Die einzelnen Stellenwertigkeiten sind Potenzen zur Basis 16. A H --> 10 D B H --> 11 D C H --> 12 D D H --> 13 D E H --> 14 D F H --> 15 D Beispiel: A 4 C er 256er 16er Einer ( 16 ) ( 16 ) ( 16 ) ( 16 )

6 Zahlensysteme Mikro-Controller-Pass 1 Seite: 6 Umrechnung vom dezimalen- in das binäre Zahlensystem durch Aufteilung der Stellenwertigkeiten. Beispiel: Die Dezimalzahl 375 soll in eine Binärzahl umgewandelt werden. 1. Schritt: Tabelle mit den Stellenwertigkeiten, die in der umzuwandelnden Zahl enthalten sein könnten erstellen Schritt: Von der grösstmöglichen Stellenwertigkeit beginnend, der umzuwandelnden Zahl Stellenwertigkeiten zuordnen. Dabei jeweils die Stellenwertigkeit von der ursprünglichen Dezimalzahl subtrahieren nicht nicht enth. enth. enth. enth. enth. enth. enth. enth. enth

7 Seite: 7 Zahlensysteme Umrechnung vom dezimalen- in das binäre Zahlensystem durch fortgeführte Division. Beispiel: Die Dezimalzahl 375 soll in eine Binärzahl umgewandelt werden. 1. Schritt: Die Dezimalzahl wird durch die Basis des binären Zahlensystems (2) geteilt, um die Anzahl der 2er-Wertigkeiten zu erfahren. 375 : 2 = 187 Rest 1 (Anzahl 1er) Die Dezimalzahl hat 187 2er-Wertigkeiten. Der Rest von 1 stellt die Anzahl der 1er- Wertigkeiten dar. 2. Schritt: Die Anzahl der 2er wird weiter durch die Basis des binären Zahlensystems (2) geteilt, um die Anzahl der 4er-Wertigkeiten zu erfahren. 187 : 2 = 93 Rest 1 (Anzahl 2er) Es ergeben sich 93 4er-Wertigkeiten. Der Rest von 1 stellt die Anzahl der 2er- Wertigkeiten dar. 3. Schritt: Die Anzahl der 4er wird weiter durch die Basis des binären Zahlensystems (2) geteilt, um die Anzahl der 8er-Wertigkeiten zu erfahren. 93 : 2 = 46 Rest 1 (Anzahl 4er) Es ergeben sich 46 8er-Wertigkeiten. Der Rest von 1 stellt die Anzahl der 4er- Wertigkeiten dar.

8 Seite: 8 4. Schritt: Die Anzahl der 8er wird weiter durch die Basis des binären Zahlensystems (2) geteilt, um die Anzahl der 16er-Wertigkeiten zu erfahren. 46 : 2 = 23 Rest 0 (Anzahl 8er) Es ergeben sich 23 16er-Wertigkeiten. Der Rest von 0 stellt die Anzahl der 8er- Wertigkeiten dar ( 0 8er-Wertigkeiten ). 5. Schritt: Die Anzahl der 16er wird weiter durch die Basis des binären Zahlensystems (2) geteilt, um die Anzahl der 32er-Wertigkeiten zu erfahren. 23 : 2 = 11 Rest 1 (Anzahl 16er) Es ergeben sich 11 32er-Wertigkeiten. Der Rest von 1 stellt die Anzahl der 16er- Wertigkeiten dar. 6. Schritt: Die Anzahl der 32er wird weiter durch die Basis des binären Zahlensystems (2) geteilt, um die Anzahl der 64er-Wertigkeiten zu erfahren. 11 : 2 = 5 Rest 1 (Anzahl 32er) Es ergeben sich 5 64er-Wertigkeiten. Der Rest von 1 stellt die Anzahl der 32er- Wertigkeiten dar. 7. Schritt: Die Anzahl der 64er wird weiter durch die Basis des binären Zahlensystems (2) geteilt, um die Anzahl der 128er-Wertigkeiten zu erfahren. 5 : 2 = 2 Rest 1 (Anzahl 64er) Es ergeben sich 2 128er-Wertigkeiten. Der Rest von 1 stellt die Anzahl der 64er- Wertigkeiten dar.

9 Seite: 9 8. Schritt: Die Anzahl der 128er wird weiter durch die Basis des binären Zahlensystems (2) geteilt, um die Anzahl der 256er-Wertigkeiten zu erfahren. 2 : 2 = 1 Rest 0 (Anzahl 128er) Es ergibt sich 1 256er-Wertigkeit. Der Rest von 0 stellt die Anzahl der 128er- Wertigkeiten dar ( 0 128er ). 9. Schritt: Die Anzahl der 256er wird weiter durch die Basis des binären Zahlensystems (2) geteilt, um die Anzahl der 512er-Wertigkeiten zu erfahren. 1 : 2 = 0 Rest 1 (Anzahl 256er) Es ergibt sich keine grössere Wertigkeit mehr. Der Rest von 1 stellt die Anzahl der 256er- Wertigkeiten dar. Damit sind alle Stellenwertigkeiten mit ihren jeweiligen Häufigkeiten bekannt. Die gesuchte Binärzahl ist also: Merke: Eine Dezimalzahl kann in ein anderes Zahlensystem umgerechnet werden, indem man fortlaufend durch die Basis des Zahlensystems dividiert und die auftretenden Reste als jeweilige Anzahl der niederen Stellenwertigkeit betrachtet.

10 Zahlensysteme Mikro-Controller-Pass 1 Umrechnung vom dezimalen- in das binäre Zahlensystem durch fortgeführte Division. Seite: 10 Weiteres Beispiel: 1276 D =?? B 1276 : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = 9 9 : 2 = 4 4 : 2 = 2 2 : 2 = 1 1 : 2 = 0 Rest 0 Rest 0 Rest 1 Rest 1 Rest 1 Rest 1 Rest 1 Rest 1 Rest 0 Rest 0 Rest

11 Seite: 11 Zahlensysteme Umrechnung vom dezimalen- in das oktale Zahlensystem durch fortgeführte Division. Beispiel: 1276 D =?? O 1276 : 8 = : 8 = : 8 = 2 2 : 8 = 0 Rest 4 Rest 7 Rest 3 Rest Umrechnung vom dezimalen- in das hexadezimale Zahlensystem durch fortgeführte Division. Beispiel: 1276 D =?? H 1276 : 16 = : 16 = 4 4 : 16 = 0 Rest C Rest F Rest 4 4 F C

12 Seite: 12 Zahlensysteme Umrechnung vom binären- in das dezimale Zahlensystem durch Addition der Stellenwertigkeiten. Beispiel: Die Binärzahl soll in eine Dezimalzahl umgewandelt werden. 1. Schritt: Tabelle mit den Stellenwertigkeiten der Binärzahl erstellen. 2. Schritt: Alle Stellenwertigkeiten, die in der Binärzahl 1 x enthalten sind addieren =^ 718 D Übungsbeispiel: B =?? D =^

13 Zahlensysteme Mikro-Controller-Pass 1 Umrechnung vom oktalen- in das dezimale Zahlensystem durch Addition der Stellenwertigkeiten. Beispiel: Die Oktalzahl 2375 soll in eine Dezimalzahl umgewandelt werden. Seite: Schritt: Tabelle mit den Stellenwertigkeiten der Oktalzahl erstellen. 2. Schritt: Alle Stellenwertigkeiten, die in der Oktalzahl enthalten sind in der angegebenen Häufigkeit addieren x x x x =^ 1277 D Übungsbeispiel: 4236 O =?? D x x x x =^

14 Zahlensysteme Mikro-Controller-Pass 1 Umrechnung vom hexadezimalen- in das dezimale Zahlensystem durch Addition der Stellenwertigkeiten. Beispiel: Die Hex-Zahl CECE soll in eine Dezimalzahl umgewandelt werden. Seite: Schritt: Tabelle mit den Stellenwertigkeiten der Hexadezimalzahl erstellen. 2. Schritt: Alle Stellenwertigkeiten, die in der Hexzahl enthalten sind in der angegebenen Häufigkeit addieren. C E C E x x x x =^ D Übungsbeispiel: 5AD2 H =?? D 5 A D 2 x x x x =^

15 Seite: 15 Zahlensysteme Umrechnung vom binären- in das dezimale Zahlensystem durch fortgeführte Multplikation. Beispiel: Die Binär-Zahl soll in eine Dezimalzahl umgewandelt werden. Lösung: Umkehrung der fortgeführten Division nach folgendem Beispiel: (Zunächst die höchstwertigste Stelle mit 2 multiplizieren, danach die nächste Stelle addieren, danach die Summe mit 2 multiplizieren...) x x x 1 x x x x x x x =^ 1733 D Übungsbeispiel: B =?? D x x x 0 x x x x x x x =^

16 Zahlensysteme Mikro-Controller-Pass 1 Umrechnung vom oktalen- in das dezimale Zahlensystem durch fortgeführte Multplikation. Beispiel: Die Oktal-Zahl 7667 soll in eine Dezimalzahl umgewandelt werden. Seite: 16 Lösung: Umkehrung der fortgeführten Division nach folgendem Beispiel: x x x =^ 4023 D Übungsbeispiel: 7425 O =?? D x x x x =^

17 Zahlensysteme Mikro-Controller-Pass 1 Umrechnung vom hexadezimalen- in das dezimale Zahlensystem durch fortgeführte Multplikation. Beispiel: Die Hex-Zahl ED88 soll in eine Dezimalzahl umgewandelt werden. Seite: 17 Lösung: Umkehrung der fortgeführten Division nach folgendem Beispiel: E D 8 8 x x x x =^ D Übungsbeispiel: AFFE H =?? D A F F E x x x x =^

18 Seite: 18 Lösungen zu den Übungen Übungen zu: Umrechnung durch Addition der Stellenwertigkeiten B -> 1722D 4236O -> 2206D 5AD2H -> 23250D Übungen zu: Umrechnung durch fortgeführte Multiplikation B -> 1906D 7425O -> 3861D AFFEH -> 45054D

19 Seite: 19 Zahlensysteme Übungsbeispiele: Die angegebenen Zahlen sind in die jeweils fehlenden umzurechnen! Binär Oktal Dezimal Sedezimal

20 Seite: 20 Zahlensysteme (Lösung) Übungsbeispiele: Die angegebenen Zahlen sind in die jeweils fehlenden umzurechnen! Binär Oktal Dezimal Sedezimal EDE DED DAF BAD ADE DAB A3C F F