a) Da die Zahlen im IEEE-32Bit-Format dargestellt werden sollen, ist der Bias = 127.
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- Martin Bretz
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1 Übung 2, Aufgabe 4) a) Da die Zahlen im IEEE-32Bit-Format dargestellt werden sollen, ist der Bias = ,125 in IEEE 754 (32Bit) 0,125 2 = 0,25 0,25 2 = 0,5 0,5 2 = 1 1, = 1,001 2 Da die Zahl bereits normalisiert ist, bleibt der Exponent bei 0. 1, Von der normalisierten Binärzahl 1, ist der Exponent 0. Bias mit einbeziehen: darzustellender Exponent = Exponent + Bias = = 127 Exponent in eine Binärzahl umwandeln: 127 / 2 = 63 Rest 1 63 / 2 = 31 Rest 1 31 / 2 = 15 Rest 1 15 / 2 = 7 Rest 1 7 / 2 = 3 Rest 1 3 / 2 = 1 Rest 1 Exponent = Gleitkommazahl bilden
2 1,5 in IEEE 754 (32Bit) 0,5 2 = 1 1,5 10 = 1,1 2 Da die Zahl bereits normalisiert ist, bleibt der Exponent bei 0. 1,1 2 0 Von der normalisierten Binärzahl 1,1 2 0 ist der Exponent 0. Bias mit einbeziehen: darzustellender Exponent = Exponent + Bias = = 127 Exponent in eine Binärzahl umwandeln: 127 / 2 = 63 Rest 1 63 / 2 = 31 Rest 1 31 / 2 = 15 Rest 1 15 / 2 = 7 Rest 1 7 / 2 = 3 Rest 1 3 / 2 = 1 Rest 1 Exponent = Gleitkommazahl bilden
3 ,0 in IEEE 754 (32Bit) / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = Rest / 2 = 8192 Rest / 2 = 4096 Rest / 2 = 2048 Rest / 2 = 1024 Rest / 2 = 512 Rest / 2 = 256 Rest / 2 = 128 Rest / 2 = 64 Rest 0 64 / 2 = 32 Rest 0 32 / 2 = 16 Rest 0 16 / 2 = 8 Rest 0 8 / 2 = 4 Rest 0 4 / 2 = 2 Rest 0 2 / 2 = 1 Rest ,0 10 = = 1, Von der normalisierten Binärzahl 1, ist der Exponent 24. Bias mit einbeziehen: darzustellender Exponent = Exponent + Bias = = 151 Exponent in eine Binärzahl umwandeln: 151 / 2 = 75 Rest 1 (Least-Significant-Bit) 75 / 2 = 37 Rest 1 37 / 2 = 18 Rest 1 18 / 2 = 9 Rest 0 9 / 2 = 4 Rest 1 4 / 2 = 2 Rest 0 2 / 2 = 1 Rest 0 (Most-Significant-Bit) Exponent =
4 5. Gleitkommazahl bilden b) 1. Rechnung: (z 1 + z 2 ) + z 3 Bei der Addition werden die tatsächlichen Exponenten e (ohne Bias) betrachtet und die vollständige Mantisse m (mit der 1 vor dem Komma). z 1 : e = 0, m = 1,001 z 2 : e = 0, m = 1,1 Da beide Exponenten gleich sind, müssen diese nicht angepasst werden. 1,001 (z 1 ) + 1,1 (z 2 ) 10,101 10, wird normalisiert in 1, Wir addieren z 3 hinzu: z 3 : e = 24, m = 1,0 Bevor die Mantissen addiert werden können, muss der Exponenten e = 1 (von 2 1 ) auf den Exponenten e = 24 angeglichen werden: 1, = 0, , ,0 (z 3 ) 1, i. Runden zur nächstdarstellbaren Zahl Wir prüfen die 24.Nachkommastelle: 1, Es muss nicht gerundet werden. Dies entspricht der Dezimalzahl
5 ii. Abschneiden nicht darstellbarer Stellen Wir schneiden das Ergebnis nach der 23ten Nachkommastelle ab und erhalten die gerundete Zahl: 1, Dies entspricht der Dezimalzahl Rechnung: z 1 +( z 2 + z 3 ) Bei der Addition werden die tatsächlichen Exponenten e (ohne Bias) betrachtet und die vollständige Mantisse m (mit der 1 vor dem Komma). z 2 : e = 0, m = 1,1 z 3 : e = 24, m = 1,0 Bevor die Mantissen addiert werden können, muss der Exponenten e = 0 (von z 2 )auf den Exponenten e = 24 angeglichen werden: 1,1 2 0 = 0, , (z 2 ) + 1,0 (z 3 ) 1, i. Runden zur nächstdarstellbaren Zahl Wir prüfen die 24.Nachkommastelle: 1, Es wird aufgerundet: 1, Wir addieren z 1 hinzu: z 1 : e = 0, m = 1,001 Wir passen zunächst den Exponenten von z 1 auf 24 an: 1, = 0, , , (z 1 ) 1, Es wird aufgerundet: 1, Dies entspricht der Dezimalzahl
6 ii. Abschneiden nicht darstellbarer Stellen Wir schneiden das Ergebnis nach der 23ten Nachkommastelle ab und erhalten die gerundete Zahl: 1, Wir addieren z 1 hinzu: z 1 : e = 0, m = 1,001 Wir passen zunächst den Exponenten von z 1 auf 24 an: 1, = 0, , , (z 1 ) 1, Wir schneiden das Ergebnis nach der 23ten Nachkommastelle ab: 1, Dies entspricht der Dezimalzahl Antwort: Bei der ersten Rechnung erhält man mit beiden Rundungsmethoden das Ergebnis von Dieses kommt dem erwarteten Ergebnis ,625 am Nächsten. c) Vom Aufgabenteil a) wissen wir, dass bei der Konvertierung der Zahl bereits einmal normalisiert werden musste in IEEE 754 (32Bit) = = 1, Hier wurde das zweite Mal normalisiert! darzustellender Exponent = Exponent + Bias = = 151 Exponent als Binärzahl:
7 5. Gleitkommazahl bilden Subtraktion: Da beide Exponenten gleich sind, müssen diese nicht angepasst werden. Nun werden die Mantissen subtrahiert: 1, ( ) - 1, ( ) 0, Ergebnis normalisieren (3.Normalisierung): 0, = 1,0 2 1 darzustellender Exponent = = = Dies entspricht der Dezimalzahl 2 Antwort: Es muss dreimal normalisiert werden! 7
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