7. KOMPLEXE ZAHLEN. und die. KOMPLEXE e-funktion

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1 7. KOMPLEXE ZAHLEN und die KOMPLEXE e-funktion 1

2 Wir gehen aus von der Ebene, versehen mit einem Koordinatensystem und x, y-koordinaten. Dann entsprechen Punkte z in der Ebene Zahlenpaaren: z = (x, y) x und y sind die (kartesischen) Koordinaten von z. 2

3 Zahlenpaare addiert man komp onentenweise: z = (x, y) x y 3

4 Parallelogrammregel 4 Zahlenpaare addiert man komponentenweise: z 2 = (x 2, y 2 ) z = z 1 + z 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) z 1 = (x 1, y 1 )

5 Diese Addition von Punkten z der Ebene erfüllt vertraute Rechenregeln: z 1 + z 2 = z 2 + z 1, z 1 + (z 2 + z 3 ) = (z 1 + z 2 ) + z 3 (Kommutativität, Assoziativität), weil sie komponentenweise gelten. 5

6 Kommutativität und Assoziativität 6

7 Wir wollen Punkte auch multiplizieren. Dazu betrachen wir auch die Darstellung eines Punktes z in Polarkoordinaten z = [r; ϕ] mit r, dem Abstand, Betrag, und ϕ, dem Winkel, Argument von z. 7

8 Zahlenpaare addiert man komp onentenweise: ϕ r z = [r; ϕ] Der Winkel wird wieder als Länge entlang des Einheitskreises gemessen. 8

9 Man schreibt für Betrag und Argument von z r = z und ϕ = arg(z) Unter Beachtung des Pythagoras gilt r 2 = x 2 + y 2, sin ϕ = y r, cos ϕ = x r 9

10 Es gilt die Dreiecksungleichung z 1 + z 2 z 1 + z 2 z 1 + z 2 z 2 z 1 10

11 Wir multiplizieren zwei Punkte der Ebene gemäß der Regel z 1 = [r 1 ; ϕ 1 ], z 2 = [r 2 ; ϕ 2 ] : z 1 z 2 = [r 1 r 2 ; ϕ 1 + ϕ 2 ] r 1 r 2 r 2 ϕ 2 r 1 ϕ 1 ϕ 1 + ϕ 2 Geometrisch ist die Multiplikation eine Drehstreckung. 11

12 Kommutativität und Assoziativität z 1 z 2 = z 2 z 1 und z 1 (z 2 z 3 ) = (z 1 z 2 )z 3 ergeben sich wieder komponentenweise, z.b. z 1 (z 2 z 3 ) = [r 1 (r 2 r 3 ); ϕ 1 + (ϕ 2 + ϕ 3 )] = [(r 1 r 2 )r 3 ; (ϕ 1 + ϕ 2 ) + ϕ 3 ] = (z 1 z 2 )z 3 Zudem passen Addition und Multiplikation zusammen: Es gilt das Distributivgesetz (z 1 + z 2 )z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 12

13 Geometrische Veranschaulichung des Distributivgesetzes durch Drehstreckung: z 2 z 3 (z 1 + z 2 )z 3 z 1 z 3 z 3 z 2 z 1 13

14 Die Punkte der Ebene, versehen mit dieser Addition und Multiplikation, heißen die komplexen Zahlen Die Menge der komplexen Zahlen wird mit C bezeichnet. 14

15 Spezialfälle: a) Punkte der x-achse: Es gilt (x 1, 0) + (x 2, 0) = (x 1 + x 2, 0), (x 1, 0) (x 2, 0) = (x 1 x 2, 0) Dabei muss man bei der Multiplikation die Fälle x 1, x 2 0, x 1 0, x 2 < 0 und x 1, x 2 < 0 getrennt betrachten. 15

16 Man identifiziert also die reelle Zahl x mit der komplexen Zahl z = (x, 0). Beim Rechnen führt das nicht zu Konflikten. Die Menge R der reellen Zahlen ist damit (samt Rechnen) eingebettet in die Menge der komplexen Zahlen C: R C In der Ebene sind das die Punkte auf der x-achse. 16

17 Spezialfälle: b) Die Zahlen auf der y-achse heißen die imaginären Zahlen. Insbesondere heißt die imaginäre Einheit. i = (0, 1) Die Multiplikation von z mit i bewirkt eine Drehung von z um 90. Für eine reelle Zahl y bedeutet das iy = (0, y) Es sind also die Punkte der y-achse die reellen Vielfachen der imaginären Einheit i. 17

18 2i i i 18

19 Spezialfälle: c) Die imaginäre Einheit erfüllt i2 = 1 Sie löst die Gleichung z = 0, die in den reellen Zahlen keine Lösung hat. 19

20 Komplexe Zahlen algebraisch: Jede komplexe Zahl besitzt die Darstellung z = x + iy mit x, y R x und y heißen Real- und Imaginärteil von z. Man schreibt x = R(z), y = I(z) 20

21 Die Addition zweier komplexer Zahlen schreibt sich nun (x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 ) 21

22 Die Multiplikation von komplexen Zahlen gelingt nun auch nach dem Distributivgesetz: bzw. (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = x 1 x 2 + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) + i 2 y 1 y 2 (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) 22

23 Eine Anwendung: Nach der Definition der Multiplikation gilt: (cos s + i sin s)(cos t + i sin t) = cos(s + t) + i sin(s + t) Ausmultiplizieren und Zerlegen in Real- und Imaginärteil gibt das Additionstheorem für die trigonometrischen Funktionen: cos(s + t) = cos s cos t sin s sin t sin(s + t) = sin s cos t + cos s sin t 23

24 Für z = x + iy heißt die Konjugierte von z. z := x iy = R(z) ii(z) z z 24

25 Es gelten die Regeln zz = z 2 und z 1 z 2 = z 1 z 2 z.b. zz = (x + iy)(x iy) = x 2 (iy) 2 = x 2 + y 2 = z 2. Damit erhalten wir den Kehrwert einer komplexen Zahl z 0 als z 1 = z z 2 25

26 z 1 z 26

27 DIE KOMPLEXE EXPONENTIALFUNKTION Wir definieren e z für komplexes z = x + iy durch ihre Polarkoordinaten, nämlich als die komplexe Zahl mit dem Betrag und Argument, gegeben durch e z = e x = exp(r(z)) und arg(e z ) = y = I(z) 27

28 e z z 28

29 Warum diese Definition? Erstens: Für reelles z, im Fall y = I(z) = 0, ist dass nichts anderes als die uns geläufige reelle e-funktion, wegen arg(e z ) = 0 ist dann e z = e x. Zweitens: 29

30 Die Multiplikativität der e-funktion bleibt auch im Komplexen erhalten: ez 1+z 2 = e z 1e z 2 Nach der Definition der Multiplikation hat nämlich e z 1e z 2 als Betrag und Argument: e z 1 e z 2 = e x 1e x 2 = e x 1+x 2, arg(e z 1) + arg(e z 2) = y 1 + y 2 Beide Größen zusammen ergeben die komplexe Zahl e z 1+z 2. 30

31 Der imaginäre Fall: Für z = it gilt e z = e 0 = 1 und arg(e z ) = t. D.h. e it liegt auf dem Einheitskreis mit Bogenmaß t. In kartesischen Koordinaten ausgedrückt ergibt sich e it = (cos t, sin t) bzw. die Formel von Euler: eit = cos t + i sin t 31

32 Anwendungen: (i) Nach Multiplikativität und Euler gilt e x+iy = e x (cos y + i sin y) 32

33 (ii) In den komplexen Zahlen kann man immer Wurzeln ziehen: Jede komplexe Zahl z = x + iy kann man schreiben als Es gibt zwei Wurzeln: z = z e i arg(z) z e i arg(z)/2 und z e i arg(z)/2 = z e i arg(z)/2+iπ 33

34 (iii) Schwebungen: Für 0 < ε < 1 gilt wegen (Euler!) die Geichung e iεt + e iεt = 2 cos(εt) e i(1+ε)t + e i(1 ε)t = (e iεt + e iεt )e it = 2 cos(εt)e it Betrachtet man den Realteil dieser Gleichung, so folgt die Schwebungsgleichung cos(1 + ε)t + cos(1 ε)t = 2 cos(εt) cos t 34

35 (iv) Nochmal: Die Additionstheoreme des Sinus und Cosinus. Aus e i(s+t) = e is e it folgt cos(s + t) + i sin(s + t) = (cos s + i sin s)(cos t + i sin t) = (cos s cos t sin s sin t) + i(cos s sin t + sin s cos t) also sin(s + t) = sin s cos t + cos s sin t cos(s + t) = cos s cos t sin s sin t 35

36 Einheitswurzeln. Sei n eine natürliche Zahl. Die komplexe Zahl w = e 2πi n mit w = 1 und arg(w) = 2π n löst die Gleichung z n = 1 36

37 Der Fall n = 5: w 37

38 Auch die komplexen Zahlen 1 = w 0, w, w 2, w 3..., w k = e 2πik/n liegen auf dem Einheitskreis. Sie erfüllen ebenfalls die Gleichung z n = 1, wegen (w k ) n = w kn = (w n ) k = 1 k = 1 38

39 Die fünf Lösungen von z 5 = 1: w w 2 1 w 3 w 4 39

40 Ab w n wiederholen sich die Potenzen periodisch, wegen w n = 1. Diese n komplexen Zahlen w 0 = 1, w, w 2,..., w n 1 heißen die n- ten Einheitswurzeln. Es gilt 1 + w + w w n 1 = 0 was geometrisch völlig einleuchtet. Algebraisch folgt dies aus der Gleichung 0 = w n 1 = (w 1)(1 + w + w w n 1 ) 40