12 3 Komplexe Zahlen. P(x y) z = x + jy

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1 2 3 Komplexe Zahlen 3 Komplexe Zahlen 3. Grundrechenoperationen Definition Die Menge C = {z = a + jb a, b IR; j 2 = } heißt Menge der komplexen Zahlen; j heißt imaginäre Einheit. (andere Bezeichnung: i) Für b =0erhält man die reellen Zahlen; für a =0erhält man rein imaginäre Zahlen. Zur Darstellung der Menge C fasst man komplexe Zahlen als reelle Zahlenpaare auf, die sich als Vektoren oder als Punkte einer x, y-ebene darstellen lassen. Einsvektor in positiver x-richtung Zahl Einsvektor in positiver y-richtung imaginäre Einheit j imaginär Gaußsche Zahlenebene y P(x y) z = x + jy r j r x reell Gaußsche Zahlenebene P (x y) z = x + jy = r(cos + j sin ) (x 0) z = x... reelle Zahlen x-achse y-achse... reelle Achse... imaginäre Achse (0 y) z = jy... imaginäre Zahlen x =(z)... alteil von z (0 ) z = j... imaginäre Einheit y =(z)... aginärteil von z Die x, y-ebene als Gesamtheit aller komplexen Zahlen z heißt Gaußsche Zahlenebene. Die Darstellung einer komplexen Zahl z in der Form z = x + jy heißt arithmetische oder kartesische Form. Verwendet man zur Darstellung des Punktes P Polarkoordinaten r 0, IR, so ergibt sich die trigonometrische oder Polarkoordinaten-Form der komplexen Zahl z: z = r(cos +j sin ) r = z = x 2 + y 2... Betrag der komplexen Zahl z; = argz... Argument (Winkel) von z [0, 2π) bzw. ( π, π]

2 3. Grundrechenoperationen 3 Zusammenhang zwischen arithmetischer (kartesischer) und trigonometrischer Darstellung: x = r cos, y = r sin ; r = x 2 + y 2, tan = y x = arctan y x = arctan y ± π x = π 2 = π 2 (für x>0, Punkt im. oder 4. Quadranten) (für x<0, Punkt im 2. oder 3. Quadranten) (für x =0,y>0, Punkt in der oberen Halbebene) (für x =0,y<0, Punkt in der unteren Halbebene) Satz von Euler: e j =cos + j sin Mit dieser Beziehung geht die trigonometrische Form über in die Exponentialform: z = re j ; r 0, IR chnen mit komplexen Zahlen Gleichheit Zwei komplexe Zahlen und sind genau dann gleich, wenn ihre Punkte bzw. Vektoren in der Gaußschen Ebene zusammenfallen. Daraus folgt unmittelbar: (x + jy ) = (x 2 + jy 2 ) {x = x 2 y = y 2 } r e j = r 2 e j 2 {r = r 2 2 = k 2π,k Z} Die letzte Zeile bedeutet: die Beträge müssen übereinstimmen und die Winkel dürfen sich um ganzzahlige Vielfache von 2π unterscheiden! Addition, Subtraktion z Die Addition und Subtraktion zweier + y + y 2 komplexer Zahlen in arithmetischer Form erfolgt komponentenweise. y 2 ± = (x + jy ) ± (x 2 + jy 2 ) = (x ± x 2 )+j(y ± y 2 ) Geometrische Veranschaulichung: Die Addition von komplexen Zahlen erfolgt analog zur Addition von Vektoren. Multiplikation, Division y x 2 x x + x 2 a) arithmetische Form Bei der Multiplikation werden die Klammern unter Beachtung von j 2 = wiegewohnt ausmultipliziert. =(x + jy )(x 2 + jy 2 )=(x x 2 y y 2 )+j(x y 2 + x 2 y )

3 4 3 Komplexe Zahlen Bei der Division erweist sich ein Erweitern mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners ( Nenner reell machen ) als hilfreich: z = (x + jy ) 2 (x 2 + jy 2 ) = (x + jy )(x 2 jy 2 ) (x 2 + jy 2 )(x 2 jy 2 ) = (x x 2 + y y 2 )+j(x 2 y x y 2 ) x y2 2 = x x 2 + y y 2 x y j x 2y x y 2 x y 2 2 b) Darstellung in Polarkoordinaten Sind zwei komplexe Zahlen, gegeben durch ihre Polarkoordinaten r,,r 2, 2,soerhält man das Produkt und den Quotienten am einfachsten in Exponentialform (Potenzgesetze gelten auch für Potenzen mit imaginären Hochzahlen!). = r e j r 2 e j 2 = r r 2 e j( + 2 ) Beträge multiplizieren, Argumente (Winkel) addieren z = r e j r 2 e j = r 2 r 2 e j( 2 ) Beträge dividieren, Argumente (Winkel) subtrahieren 2 c) Potenzen mit ganzen Hochzahlen z k =(re j ) k = r k e jk = r k (cos + j sin ) k = r k (cos k + j sin k) ; k Z Beträge wie gewohnt potenzieren, Argumente (Winkel) mit dem Exponenten multiplizieren. Betrag einer komplexen Zahl z = x + jy = x 2 + y 2 z = r(cos + j sin ) = r z = r e j = r insbesonders e j = chnen mit Beträgen = ; z z = ( 0) } ± + ± Dreiecksungleichung

4 3. Grundrechenoperationen 5 Beispiel: ( ) 0e j π 2 4 ( + j)(2 j) = 0e j π 4 2 +j 2 j = 0 2 = Für die Anwendungen wichtig ist die geometrische Deutung von als Abstand der beiden Punkte, in der Gaußschen Ebene. Diese Eigenschaft des Betrags verwendet man zur Beschreibung von Kreisen bzw. Kreisflächen. Sei z 0 eine feste komplexe Zahl, R eine positive Konstante { Kreis um z 0 z z 0 = R mit Radius R { Inneres des Kreises z z 0 < R um z 0 mit Radius R z z 0 > R { Äußeres des Kreises R z 0 um z 0 mit Radius R Konjugiert komplexe Zahlen Spiegelt man eine komplexe Zahl z an der reellen Achse, so erhält man ihre konjugiert komplexe Zahl z. Ein Paar konjugiert komplexer Zahlen z, z hat in arithmetischer Darstellung die Form z = x + jy, z = x jy In Exponentialform ergibt sich } z = re j z = z ; d. h. z = re j arg z = arg z z z (z) = 2 (z + z ); (z) = 2j (z z )= j 2 (z z ); z = z z. ( ± ) = z ± z 2 ; ( ) = z z 2 ; ( z ) = z z 2.

5 6 3 Komplexe Zahlen 3.2 Nullstellen Wurzeln einer komplexen Zahl Gesucht sind sämtliche Lösungen z der Gleichung w z n = w = ρ e jα ; ρ>0, n IN. Der Ansatz z = r e j ergibt r = n ρ ; k = α + n k 2π, k=0,,...,(n ) Sämtliche n Lösungen liegen auf einem Kreis um den Nullpunkt mit dem Radius r = n ρ. Sie bilden α 0 z 0 die Eckpunkte eines regelmäßigen n-ecks. Der erste Zeiger ist um den Winkel 0 die reelle Achse gedreht. = α n gegen w = z 3 Also z k = n ρ e j α+k 2π n = n ρ e j α n e j k 2π n ; k =0,,...,(n ) Nullstellen von Polynomen mit reellen Koeffizienten Fundamentalsatz der Algebra Jede ganzrationale Funktion (Polynom) vom Grad n mit komplexen Koeffizienten P n (z) =c n z n + c n z n c z + c 0 ; c k C, c n 0 besitzt in C genau n (nicht notwendig verschiedene) Nullstellen. Sind die Koeffizienten des Polynoms reell P n (z) =a n z n + a n z n a z + a 0 ; a k IR, a n 0 so sind die Nullstellen entweder reell oder es treten Paare konjugiert komlexer Nullstellen auf. Auch hier sind mehrfache Nullstellen möglich. Quadratische Gleichungen a + bz + c =0; a, b, c reelle Konstante, a 0 In Abhängigkeit vom Vorzeichen der Diskriminante D = b 2 4ac, erhält man drei Fälle: D>0:,2 = b ± b 2 4ac 2a D =0:,2 = b 2a D<0:,2 = b ± j 4ac b 2 2a zwei verschiedene reelle Lösungen zwei zusammenfallende reelle Lösungen (doppelte Lösung) zwei komplexe Lösungen in Form eines Paares konjugiert komplexer Lösungen Jede quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten hat in C genau zwei Lösungen; die Lösungen sind entweder reell (zwei einfache, oder eine doppelte) oder konjugiert komplex.

6 3.3 Harmonische Schwingungen 7 Bemerkungen: Sind die Koeffizienten des Polynoms P n (z) komplex, so gilt die erste Aussage des Fundamentalsatzes genauso: Das Polynom hat in C genau n Nullstellen; die Nullstellen sind entweder reell oder komplex (evtl. mehrfach), wobei komplexe Lösungen nicht notwendig als Paare konjugiert komplexer Zahlen auftreten. 3.3 Harmonische Schwingungen Darstellung harmonischer Schwingungen reelle Darstellung Cosinus-Funktion als Grundfunktion: A>0... Amplitude x(t) =A cos(ωt + ) ω>0... Kreisfrequenz; T = 2π... Schwingungsdauer ω... Nullphasenwinkel: x(0) = A cos Sinus-Funktion als Grundfunktion: A>0... Amplitude x(t) =A sin(ωt + ) ω>0... Kreisfrequenz; T = 2π... Schwingungsdauer ω... Nullphasenwinkel: x(0) = A sin Summenform: x(t) =C cos(ωt)+c 2 sin(ωt) { ω>0... Kreisfrequenz; C,C 2 IR Die Addition von zwei harmonischen Schwingungen gleicher Frequenz ergibt stets wieder eine harmonische Schwingung derselben Frequenz. Komplexe Darstellung Einführung komplexer Ersatzgrößen, deren alteil (oder aginärteil) eine harmonische Schwingung beschreibt. x(t) = A cos(ωt + ) z(t) = Ae j(ωt+) = A cos(ωt + )+jasin(ωt + ) z 0 = Ae j x(0) = A cos() z(0) = Ae j = A cos()+jasin() Zeiger }{{} x(0) = A cos A

7 8 3 Komplexe Zahlen Addition harmonischer Schwingungen gleicher Frequenz x = A cos(ωt + ) (t) =A e j(ωt+) = A e j e jωt x 2 = A 2 cos(ωt + 2 ) (t) =A 2 e j(ωt+2) = A 2 e j2 e jωt Addition der beiden komplexen Ersatzgrößen liefert z(t) = (t)+ (t) = ( A e j + A 2 e ) j 2 }{{} ejωt = Aej(ωt+) Ae j reell x (t) = A cos(ωt + ) x 2 (t) = A 2 cos(ωt + 2 ) komplexe Zeiger a = A e j = (0) a 2 = A 2 e j 2 = (0) x(t) =x (t)+x 2 (t) =A cos(ωt + ) a + a 2 = a = A e j = z(0) Überführen der Polarkoordinatenschreibweise in kartesische Darstellung Addition der Zeiger in arithmetischer Form Rückführung in Polarkoordinaten a a 2 2 a }{{}}{{} = A cos = A 2 cos 2 }{{} = A cos Beispiel: x(t) =2cos(ωt + π )+4cos(ωt π z 6 3 (0) = 2e j π 6, (0) = 4e j π 3 3 ) ( z(0) = =2e j π 6 +4e j π 3 =2( + j +4 ) 3 j =( 3+2)+( 2 3)j A = ( 3+2) 2 +( 2 3) 2 = ( 20,= arctan 2 ) 3 2+ = z(t) = 20e j(ωt ) x(t) = 20 cos(ωtt )

8 3.4 Funktionen Funktionen Ortskurven z(t) =x(t)+jy(t) =r(t) e j(t) ; t I IR Der geometrische Ort aller Zeigerendpunkte z(t) C bei veränderlichem Parameter t in der Gaußschen Ebene heißt Ortskurve. z(t ) z(t 2 ) z(t 3 ) z(t 4 ) z(t 5 ) z(t) Beispiele: a) z(t) = + t ;, C; t IR : Gerade durch parallel zu b) z(t) = z 0 + re jt ; z 0 C, r > 0, 0 t 2π : Kreis um z 0 mit Radius r c) z(t) = z 0 + jt ; z 0 = x 0 + jy 0,t IR Kreis um ( 2x 0 0) mit Radius r = 2 x 0 t ± y 0 x 0 0 y 0 + x 0 z 0 = +j 2x 0 = x 0 jy 0 x 2 0 +y2 0 z 3 = j 2x 0 t z(t) = +2j + jt Beispiel: z(t) = +2j + jt ; M( 0), r=, 2 2 t ± 3 0 z 0 = +j z 2 2 = 2j z 5 3 = j 2 t z 3 Komplexe Funktionen Komplexwertige Funktionen einer komplexen Variablen w = f(z); z D f C, w W f C lassen sich nicht als Kurven in einer Ebene darstellen. Zu ihrer Veranschaulichung markiert man zugeordnete Punkte in den beiden komplexen Ebenen: y z-ebene v w-ebene w w = f(z) x u w 2

9 20 3 Komplexe Zahlen ganze lineare Funktion w = f(z) =az + b a,b C, konstant Dabei bedeutet die Multiplikation mit a = r a e ja eine Drehstreckung mit Drehwinkel a und Streckungsfaktor r a ; die Addition von b bedeutet eine Translation (Verschiebung). Abbildung durch die Funktion w = z Exponentialform: w = ρ e jα = r e j = r e j ρ = r,α= z außerhalb des Einheitskreises w innerhalb des Einheitskreises z oberhalb der reellen Achse w unterhalb der reellen Achse Kreise in z-ebene Kreise in w-ebene (Geraden werden als Kreise mit Radius oder Kreise durch interpretiert) Einheitskreis bleibt als Ganzes fest; Fixpunkte: z = ± Die Abbildung ist winkeltreu, d. h. Schnittwinkel zwischen Kurven bleiben erhalten. Abbildung durch gebrochen lineare Funktionen w = az + b cz + d a, b, c, d C, konstant Durch Polynomdivision zurückführbar auf ganze lineare Abbildungen und f(z) = z w = a c + bc ad c cz + d Beispiel: w = f(z) = z + j +jz = j + 2 z j j - -j 0 w - 0 j j y z x w = f(z) = j v w u Einheitskreis reelle Achse Inneres des Einheitskreises obere Halbebene