Faktorisierung von Polynomen

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Uwe Kajetan Keller
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1 Faktorisierung von Polynomen Ein Polynom p vom Grad n besitzt, einschließlich Vielfachheiten, genau n komplexe Nullstellen z k und lässt sich somit als Produkt der entsprechenden Linearfaktoren schreiben: p(z) = c(z z 1 ) (z z n ) mit einer Konstanten c, dem Koeffizienten von z n. Nullstellen und Faktorisierung eines Polynoms 1-1

2 Faktorisierung von Polynomen Ein Polynom p vom Grad n besitzt, einschließlich Vielfachheiten, genau n komplexe Nullstellen z k und lässt sich somit als Produkt der entsprechenden Linearfaktoren schreiben: p(z) = c(z z 1 ) (z z n ) mit einer Konstanten c, dem Koeffizienten von z n. Ist p reell, so treten komplexe Nullstellen in komplex konjugierten Paaren x k ± iy k auf. Eine reelle Faktorisierung kann also neben reellen Linearfaktoren auch quadratische Faktoren der Form enthalten. (z x k iy k )(z x k + iy k ) = (z x k ) 2 + y 2 k Nullstellen und Faktorisierung eines Polynoms 1-2

3 Die Nullstellen eines Polynoms lassen sich für Grad 2 mit der Mitternachtsformel und für Grad 3 und 4 mit den Cardanischen Formeln explizit als algebraische Ausdrücke bestimmen. Für höhere Grade müssen i.a. numerische Verfahren verwendet werden. Ist jedoch eine Nullstelle bekannt, so kann man durch den entsprechenden Linearfaktor dividieren, q(z) = p(z)/(z z 1 ), und z 2,..., z n als Nullstellen des Polynoms q vom Grad n 1 bestimmen. Nullstellen und Faktorisierung eines Polynoms 1-3

4 Beweis: (i) Faktorisierung: Nullstellen und Faktorisierung eines Polynoms 2-1

5 Beweis: (i) Faktorisierung: Fundamentalsatz der Algebra = Existenz einer (komplexen) Nullstelle z 1 Nullstellen und Faktorisierung eines Polynoms 2-2

6 Beweis: (i) Faktorisierung: Fundamentalsatz der Algebra = Existenz einer (komplexen) Nullstelle z 1 Division durch den Linearfaktor (z z 1 ) und rekursive Anwendung des Satzes Faktorisierung Nullstellen und Faktorisierung eines Polynoms 2-3

7 Beweis: (i) Faktorisierung: Fundamentalsatz der Algebra = Existenz einer (komplexen) Nullstelle z 1 Division durch den Linearfaktor (z z 1 ) und rekursive Anwendung des Satzes Faktorisierung (ii) Polynom mit reellen Koeffizienten: Nullstellen und Faktorisierung eines Polynoms 2-4

8 Beweis: (i) Faktorisierung: Fundamentalsatz der Algebra = Existenz einer (komplexen) Nullstelle z 1 Division durch den Linearfaktor (z z 1 ) und rekursive Anwendung des Satzes Faktorisierung (ii) Polynom mit reellen Koeffizienten: p k R = p(z) = n p k z k = k=0 n p k z k = k=0 n p k z k = p(z) k=0 Nullstellen und Faktorisierung eines Polynoms 2-5

9 Beweis: (i) Faktorisierung: Fundamentalsatz der Algebra = Existenz einer (komplexen) Nullstelle z 1 Division durch den Linearfaktor (z z 1 ) und rekursive Anwendung des Satzes Faktorisierung (ii) Polynom mit reellen Koeffizienten: p k R = p(z) = n p k z k = k=0 n p k z k = k=0 n p k z k = p(z) k=0 komplex konjugierte Nullstellen, denn p(z) = 0 = p(z) = p(z) = 0 = 0 Nullstellen und Faktorisierung eines Polynoms 2-6

10 Beispiel: Faktorisierung von p(z) = z 3 5z 2 + 9z 5 Nullstellen und Faktorisierung eines Polynoms 3-1

11 Beispiel: Faktorisierung von p(z) = z 3 5z 2 + 9z 5 Division durch den Linearfaktor zur Nullstelle z 1 = 1 p(z)/(z 1) = z 2 4z + 5 Nullstellen und Faktorisierung eines Polynoms 3-2

12 Beispiel: Faktorisierung von p(z) = z 3 5z 2 + 9z 5 Division durch den Linearfaktor zur Nullstelle z 1 = 1 p(z)/(z 1) = z 2 4z + 5 Mitternachtsformel Nullstellen des quadratischen Polynoms z 2,3 = 2 ± = 2 ± i Nullstellen und Faktorisierung eines Polynoms 3-3

13 Beispiel: Faktorisierung von p(z) = z 3 5z 2 + 9z 5 Division durch den Linearfaktor zur Nullstelle z 1 = 1 p(z)/(z 1) = z 2 4z + 5 Mitternachtsformel Nullstellen des quadratischen Polynoms z 2,3 = 2 ± = 2 ± i komplexe Faktorisierung p(z) = (z 1)(z 2 i)(z 2 + i) Nullstellen und Faktorisierung eines Polynoms 3-4

14 reelle Faktorisierung durch Zusammenfassen der komplex konjugierten Faktoren (z 2 i)(z 2 + i) = (z 2) p(z) = (z 1)(z 2 + 4z + 5) Nullstellen und Faktorisierung eines Polynoms 3-5

15 Beispiel: Nullstellen von p(z) = z n 1 Nullstellen und Faktorisierung eines Polynoms 4-1

16 Beispiel: Nullstellen von p(z) = z n 1 n-te Einheitswurzeln: z k = exp(2kπi/n), k = 0,..., n 1 Nullstellen und Faktorisierung eines Polynoms 4-2

17 Beispiel: Nullstellen von p(z) = z n 1 n-te Einheitswurzeln: z k = exp(2kπi/n), k = 0,..., n 1 komplexe Faktorisierung n 1 p(z) = (z exp(2kπi/n)) k=0 Nullstellen und Faktorisierung eines Polynoms 4-3

18 Beispiel: Nullstellen von p(z) = z n 1 n-te Einheitswurzeln: z k = exp(2kπi/n), k = 0,..., n 1 Im z 1 z 1 komplexe Faktorisierung 0 2π/7 z 0 n 1 p(z) = (z exp(2kπi/n)) k=0 1 z n Re z Nullstellen und Faktorisierung eines Polynoms 4-4

19 Zusammenfassen komplex konjugierter Faktoren, (z exp(it))(z exp( it)) = z 2 2z cos t + 1, reelle Faktorisierung Nullstellen und Faktorisierung eines Polynoms 4-5

20 Zusammenfassen komplex konjugierter Faktoren, (z exp(it))(z exp( it)) = z 2 2z cos t + 1, reelle Faktorisierung Gerades n: n/2 1 p(z) = (z 1)(z + 1) (z 2 2z cos(2kπ/n) + 1) k=1 Nullstellen und Faktorisierung eines Polynoms 4-6

21 Zusammenfassen komplex konjugierter Faktoren, (z exp(it))(z exp( it)) = z 2 2z cos t + 1, reelle Faktorisierung Gerades n: n/2 1 p(z) = (z 1)(z + 1) (z 2 2z cos(2kπ/n) + 1) k=1 Ungerades n: (n 1)/2 p(z) = (z 1) (z 2 2z cos(2kπ/n) + 1) k=1 Nullstellen und Faktorisierung eines Polynoms 4-7

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