42.3 Der Fundamentalsatz der Algebra

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1 42 Der Fundamentalsatz der Algebra 42.2 Die Argandsche Ungleichung 42.3 Der Fundamentalsatz der Algebra 42.4 Faktorisierung komplexer olynome 42.5 Faktorisierung reeller olynome 42.6 artialbruchzerlegung komplexer rationaler Funktionen 42.7 artialbruchzerlegung reeller rationaler Funktionen Der folgende einfache Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra wurde von Argand ( ) im Jahre 1814 veröffentlicht. Wie alle Beweise des Fundamentalsatzes benutzt auch dieser Beweis nicht-algebraische Tatsachen. Insbesondere wird verwandt: (I) (II) (III) (IV) Jedes olynom mit komplexen Koeffizienten ist eine stetige Abbildung von C = R 2 nach C = R 2. Jede stetige Funktion f: C R nimmt auf jeder kompakten Menge K C ein Minimum an. Jedes c C besitzt eine k-te Wurzel d (k N), d.h. es gibt ein d C mit d k = c. Ist n N und = n ν=0 a νz ν mit a n 0, so gilt (c) 1 2 a nc n für alle c mit c 2 a a n a n =: r. Beweis. Zu (I) siehe 41. Zu (II) siehe 36.19, 36.15(i) und 36.21(ii). (III) Sei o.b.d.a. c 0. Wegen c c = 1 folgt (benutze 22.5), daß es ein ϕ R gibt mit c/ c = cos(ϕ) + i sin(ϕ) = e iϕ. Somit ist d := k c e iϕ k C mit d k = c (e iϕ k ) k = 41.3(iii) c eiϕ = c. C 1 [42] 1

2 Kapitel X Differentialgleichungssysteme und Differentialgleichungen n. Ordnung (IV) gilt und beweist man wie für reelle olynome (siehe 6.9(i)): Für c C \ {0} ist (c) a nc n = n 1 ν=0 a aν c ν 1 n c n 1 c + 1. Also gilt für c r: (c) a nc n 1 = n 1 c 1, c r ν=0 a aν n Also ist (c) a n c n 1 2 a nc n, d.h. c ν c n 1 1 c n 1 ν=0 aν a n c ν c n 1 1 c n 1 ν=0 aν a n 1 1r r 2 1r = 1 2. (c) (c) a n c n + a n c n 1 2 a nc n für c r. Aus (I), (II) und (IV) folgt nun: 42.1 Der Cauchysche Minimumsatz Für jedes komplexe olynom gilt, daß ein Minimum auf C annimmt. Beweis. Sei = n ν=0 a νz ν mit o.b.d.a. n N und a n 0. Wir zeigen als erstes: R R + mit (c) (0) für alle c C mit c R. Wähle R so, daß a n R n 2 a 0 und R r ist (für das r aus (IV)). Dann gilt für c R: 1 (c) 2 a nc n a 0 = (0). (IV) Nun ist : C C nach (I) stetig, also ist auch f := : C R stetig. Daher nimmt f auf der nach (benutze 33.26(ii)) kompakten Menge K := {c C : c R} ein Minimum an (siehe (II)). Also gibt es ein c C mit (c ) (c) für alle c K. Da ferner (c ) (0) (c) für alle c C \ K, ist c somit eine Minimalstelle von auf C Argandsche Ungleichung Es sei ein nicht-konstantes komplexes olynom. Dann gibt es für jedes c C mit (c) 0 ein c C mit (c ) < (c). Beweis. Es ist = n j=0 a jz j mit a n 0 und n 1. Sei c C mit (c) 0 gegeben. Setzt man Q(z) := 1 (c) (c + z), dann ist Q ein olynom der Form (2) Q(z) = 1 + b k z k b n z n mit b k 0 und k 1. Wähle nun zu b 1 k eine k-te Wurzel d C (siehe (III)). Dann ist (3) b k d k = 1. [42] 2 C 1

3 Wir zeigen nun: (4) Q(d t ) < 1 für ein t ]0, 1]. Dann folgt die Behauptung mit c := c + d t wegen Der Fundamentalsatz der Algebra (c ) = (c + d t ) = (c) Q(d t ) < (c). (4) Zu (4): Setze Q 1 (z) := b k+1 z b n z n k, falls k < n, und Q 1 (z) = 0, falls k = n. Dann gilt: Für t ]0, 1] ist nun Q(z) = (2) 1 + b k z k + z k Q 1 (z), Q 1 (0) = 0. (5) Q(d t) = 1 + b k d k t k + t k d k Q 1 (d t) (3) 1 t k + t k d k Q 1 (d t). Wegen Q 1 (0) = 0 und der Stetigkeit von Q 1 gibt es ein δ R + mit d k Q 1 (d t) < 2 1 für alle t ]0, δ]. Wählt man nun ein t ]0, δ], dann folgt Q(d t ) 1 t k t k < 1, d.h. es gilt (4) Fundamentalsatz der Algebra Es sei ein nicht-konstantes komplexes olynom. Dann besitzt wenigstens eine Nullstelle, d.h. es gibt ein c 0 C mit (c 0 ) = 0. Beweis. Wähle nach dem Minimumsatz 42.1 ein c C mit (c) = min{ (d) : d C}. Wäre nun (c) 0, dann gäbe es nach der Argandschen Ungleichung ein c C mit (c ) < (c), im Widerspruch zu. Hieraus ergibt sich durch Abspaltung von Linearfaktoren (siehe 6.3 und 6.5 oder Lineare Algebra [dort 18.3(ii) und die Bemerkung nach 18.5]): 42.4 Faktorisierung komplexer olynome Sei ein nicht-konstantes komplexes olynom. Dann gibt es paarweise verschiedene λ 1,..., λ k C sowie n 1,..., n k N und a C \ {0}, sodaß = a(z λ 1 ) n 1... (z λ k ) n k. Hierbei ist n i die Vielfachheit der Nullstelle λ i und n 1 n k = n. Zählt man eine Nullstelle λ j mit ihrer Vielfachheit n j, so kann man sagen: Jedes komplexe olynom n-ten Grades hat genau n Nullstellen. C 1 [42] 3

4 Kapitel X Differentialgleichungssysteme und Differentialgleichungen n. Ordnung Ist nun ein reelles olynom, so ist erst recht ein komplexes olynom und für jedes c C gilt (c) = (c), denn aus a ν = a ν folgt n ν=0 a νc ν = n ν=0 a νc ν. Also ist mit c auch c Nullstelle eines reellen olynoms. Durch Abspalten der Linearfaktoren z c und z c sieht man, daß auch die Vielfachheit der Nullstelle c gleich der Vielfachheit einer Nullstelle c sein muß. Man erhält: 42.5 Faktorisierung reeller olynome Sei ein nicht-konstantes reelles olynom. Dann ist darstellbar als mit (x) = a(x t 1 ) n 1... (x t r ) nr (Q 1 (x)) m 1... (Q s (x)) ms, (i) a R \ {0}; r, s N 0 sowie paarweise verschiedenen t 1,..., t r R; n 1,..., n r, m 1,..., m s N, wobei n n r +2m m s = n ist, (ii) Q j (x) := x 2 + b j x + a j, wobei b 2 j 4a j < 0 für j = 1,..., s sind. Die olynome Q 1,..., Q s sind ferner paarweise verschieden. Beweis. Man fasse als komplexes olynom auf und faktorisiere gemäß Es bezeichnen t 1,..., t r die paarweise verschiedenen reellen Nullstellen mit den Vielfachheiten n 1,..., n r. Ist nun λ j eine echt komplexe (Im(λ j ) 0) Nullstelle der Ordnung m j, dann hat auch λ j die Ordnung m j und wir haben Q(x) := (x λ j ) m j(x λ j ) m j = (x 2 (λ j + λ j )x + λ j λ j ) m j. Setzt man b j := (λ j + λ j ) und a j := λ j λ j, dann sind b j, a j R und es ist Q j (x) = x 2 + b j x + a j ein reelles olynom mit b 2 j 4a j = λ 2 j + λ2 j + 2λ j λ j 4λ j λ j = (λ j λ j ) 2 = (2iIm(λ j )) 2 < 0. Also erhalten wir eine Darstellung (x) = a(x t 1 ) n 1 (x t r ) nr (Q 1 (x)) m 1 (Q s (x)) ms, wobei a R\{0} sein muß, da und Q j reelle olynome und t 1,..., t r R sind. Damit sind (i) und (ii) bis auf die Verschiedenheit von Q 1,..., Q s bewiesen. Hierzu bleibt zu zeigen: Sind λ, µ C und gilt λ + λ = µ + µ und λ λ = µ µ, so folgt λ = µ oder λ = µ. Aus λ + λ = µ + µ folgt zunächst Re(λ) = Re(µ) und, wegen λ λ = λ 2 = µ 2, dann Im(λ) = ±Im(µ). Also ist λ = µ oder λ = µ ist der in der Ergänzung von 6 ohne Beweis angegebene Satz über die Faktorisierung reeller olynome. Aus dem Faktorisierungssatz für komplexe olynome ergibt sich: [42] 4 C 1

5 Der Fundamentalsatz der Algebra 42.6 artialbruchzerlegung komplexer rationaler Funktionen Es seien, Q zwei komplexe olynome mit 0 γ( ) < γ(q). Das Nennerpolynom Q habe die roduktdarstellung (siehe 42.4) Q = a(z λ 1 ) n 1... (z λ k ) n k mit λ j λ l für j l. Dann besitzt /Q eine Summendarstellung der Form Q = a 11 a 1n 1 z λ 1 (z λ 1 ) n 1 a z λ a 2n 2 (z λ 2 ) n a k1 a kn k z λ k (z λ k ) n k mit a jl C. Diese Darstellung ist eindeutig (bis auf eine ermutation von λ 1,..., λ k ). Beweis. Wir beweisen zunächst die Existenz der Zerlegung, und zwar induktiv nach dem Grad n = γ(q) des Nennerpolynoms Q. (A) Ist n = 1, so ist = c C \ {0} wegen 0 γ( ) < γ(q) = 1. Also ist Q = c a(z λ 1 ) = a 11 z λ 1 mit a 11 := c a C. (S) Sei n > 1 und die Existenz der Zerlegung für jede rationale Funktion 1 /Q 1 mit 0 γ( 1 ) < γ(q 1 ) < n bewiesen. Seien nun, Q olynome mit 0 γ( ) < γ(q) = n und Q habe die im Satz angegebene roduktdarstellung. Setze nun Q(z) = (z λ 1 ) n 1Q 1 (z) mit Q 1 (z) := a(z λ 2 ) n 2 (z λ k ) n k, (2) c := (λ 1) Q 1 (λ 1 ). Dann gilt: (3) (z) Q(z) c (z λ 1 ) n 1 = (4) (λ 1 ) cq 1 (λ 1 ) = (2) 0. (z) cq 1 (z) (z λ 1 ) n 1Q 1 (z) ; Wir zeigen nun, daß die Summendarstellung für /Q in jedem der beiden folgenden Fälle folgt: (5) = cq 1 (6) cq 1. Es gelte (5): Aus (3) folgt dann (z) Q(z) = c (z λ 1 ) n, also die behauptete Summendarstellung für /Q, wenn man die übrigen a jl := 0 1 setzt. Es gelte (6): Da cq 1 dann ein nicht-triviales olynom mit Nullstelle λ 1 ist (siehe (4)), gilt: (7) (z) cq 1 (z) = (z λ 1 )Q 2 (z) mit einem olynom Q 2 0. C 1 [42] 5

6 Kapitel X Differentialgleichungssysteme und Differentialgleichungen n. Ordnung Also ist (8) (z) Q(z) = (3) c (z λ 1 ) n 1 + Q 2 (z) (z λ 1 ) n 1 1 Q 1 (z). Nun ist 1 γ(q 2 ) + 1 max(γ( ), γ(q 1 )) < γ(q) = n, also (7) 0 γ(q 2 ) < n 1 = γ((z λ 1 ) n1 1 Q 1 ). Daher besitzt Q 2 /[(z λ 1 ) n1 1 Q 1 ] nach Induktionsvoraussetzung eine additive Zerlegung mit den Summanden a jl /(z λ j ) l für j = 1,..., k. Hierbei durchläuft für j 1 der Nennerexponent l die Zahlen 1 bis n j, für j = 1 jedoch nur die Zahlen 1 bis n 1 1 für n 1 > 1. Ist n 1 = 1, so tritt in der Zerlegung von Q 2 /Q 1 kein Ausdruck der Form d/(z λ 1 ) l auf. Insgesamt folgt hieraus nach (8) die gewünschte Darstellung von /Q. Zum Nachweis der Eindeutigkeit der Zerlegung nehmen wir an, /Q besitzt eine weitere Darstellung mit b jl C an Stelle von a jl C für j = 1,..., k, l = 1,..., n j. Multipliziert man beide Darstellungen mit (z λ 1 ) n 1 und läßt dann z gegen λ 1 a 1n1 (z λ 1 ) n 1 = b 1n 1 (z λ 1 ) n 1 streben, so folgt a 1n1 = b 1n1. Subtrahiert man nun von Q und multipliziert diese Differenz mit (z λ 1 ) n1 1, so erhält man entsprechend a 1(n1 1) = b 1(n1 1). Setzt man dieses Verfahren fort, so erhält man schließlich a 11 = b 11. Hiernach multipliziert man die Differenz mit (z λ 2 ) n 2 und erhält a 2n2 = b 2n2 usw. Aus dem Faktorisierungssatz für reelle olynome und dem letzten Satz läßt sich auch eine artialbruchzerlegung reeller rationaler Funktionen herleiten artialbruchzerlegung reeller rationaler Funktionen Es seien, Q zwei reelle olynome mit 0 γ( ) < γ(q). Das Nennerpolynom Q habe die roduktdarstellung (siehe 42.5) Q(x) = a(x t 1 ) n 1 (x t r ) nr (x 2 + b 1 x + a 1 ) m 1 (x 2 + b s x + a s ) ms mit b 2 j 4a j < 0 und reellen a, t j, a j, b j. Dann besitzt /Q eine Summendarstellung der Form a 12 (x t 1 ) 2 Q = a 11 x t a r1 + x t r + + b 11x + c 11 x b 1 x + a b s1x + c s1 x b s x + a s mit a jl, b jl, c jl R. a r2 a 1n1 (x t 1 ) n 1 a rnr (x t r ) nr (x t r ) 2 b 12 x + c 12 (x 2 + b 1 x + a 1 ) 2 b 1m1 x + c 1m1 (x 2 + b 1 x + a 1 ) m 1 b s2 x + c s2 (x 2 + b s x + a s ) 2 b sms x + c sms (x 2 + b s x + a s ) ms [42] 6 C 1

7 Der Fundamentalsatz der Algebra Beweis. Wir betrachten die artialbruchzerlegung /Q von Da und Q olynome mit reellen Koeffizienten sind, gilt für c C (c) Q(c) (= (c) Q(c) ) = ( (c) Q(c) ). Hieraus folgt (beachte c = c und überprüfe die Gleichheit in punktweise): Q = a 11 z λ a k1 z λ k a 1n1 (z λ 1 ) n 1 a knk (z λ k ) n k. Es bezeichne nun t eine reelle (d.h. t = t ) und µ eine echt komplexe (d.h. µ C \ R) Nullstelle von Q. Dann ist auch µ eine Nullstelle von Q mit der gleichen Vielfachheit wie µ. Aus der Eindeutigkeit der artialbruchzerlegung (vgl. hierzu die Zerlegung in mit der in 42.6) folgt, daß für die typischen a (z t) p, α (z µ) q, β (z µ) q Summanden gilt: a = a und β = α. Summation der letzten beiden Terme ergibt, mit dem reellen olynom := α(z µ) q +α(z µ) q (2) α (z µ) q + β (z µ) q = (z) (z 2 +bz+a) q, wobei a, b R, z 2 +bz +a = (z µ)(z µ), sowie b 2 4a < 0. Hierbei ist, gemäß der Zerlegung von Q, dann x 2 + bx + a eines der x 2 + b j x + a j und q m j. Führt man nun die Division in (2) aus, so erhält man Summanden der Form (siehe (3) unten) b jl x+a jl (x 2 +b j x+a j ) l mit l q( m j ), so wie sie für die reelle Zerlegung gefordert sind; wir beweisen hierzu induktiv für q N: (x) (x 2 +bx+a) q läßt sich für ein beliebiges olynom mit γ( ) q und a, b R schreiben als (3) q b j x+c j j=1 (x 2 +bx+a) j mit b j, c j R. (A) Für q = 1 ist die Aussage trivial. (S) Sei die Aussage für q bewiesen. Dann gilt für ein reelles olynom mit γ( ) q + 1 nach 6.8: (4) (x) x 2 +bx+a = 1(x) + b q+1x+c q+1 x 2 +bx+a mit einem reellen olynom 1 mit γ( 1 ) q sowie b q+1, c q+1 R. Also erhalten wir aus (4): (5) (x) = 1(x) + b q+1x+c q+1 (x 2 +bx+a) q+1 (x 2 +bx+a) q (x 2 +bx+c) q+1 Die Aussage für q + 1 folgt nun aus (5) zusammen mit der Induktionsannahme. C 1 [42] 7

8 Kapitel X Differentialgleichungssysteme und Differentialgleichungen n. Ordnung Als Spezialfälle ergeben sich: Seien, Q reelle olynome mit 0 γ( ) < γ(q) = n. Hat Q die n verschiedenen reellen Nullstellen t 1,... t n, so ist Q = a 1 a n mit a 1,..., a n R. x t 1 x t n Besitzt Q nur reelle Nullstellen t 1,..., t r und diese mit den Vielfachheiten n 1,..., n r (mit n 1 n r = n), so gilt: Q = a 11 x t 1 mit a jl R. a 1n1 (x t 1 ) n 1 a r1 x t r a rnr (x t r ) nr Für eine explizite Bestimmung der reellen artialbruchzerlegung von /Q kann man wie folgt vorgehen: 1. Schritt: Man bestimme die Nullstellen des Nennerpolynoms Q. Hierdurch ist die Gestalt der auftretenden artialbrüche bestimmt. 2. Schritt: Man bestimme die auftretenden Konstanten a jl, b jl, c jl. (Für eine echt komplexe Nullstelle λ j ergeben sich b j, c j aus x 2 +b j x+c j = (x λ j )(x λ j ).) Als Methoden für den zweiten Schritt stehen zur Verfügung: (α) (β) Koeffizientenvergleich: Man multipliziert die artialbruchzerlegung von /Q (mit den zu bestimmenden Konstanten a jl, b jl, c jl ) mit Q. Die a jl, b jl, c jl ermittelt man dann durch Koeffizientenvergleich mit. Einsetzen von Werten: Sind q Werte zu bestimmen, so setzt man q verschiedene Werte für x ein. Man erhält dann q lineare Gleichungen zur Bestimmung der a jl, b jl, c jl. (γ) Multipliziere für reelle Nullstellen t j die artialbruchzerlegung mit (x t j ) n j und lasse dann x gegen t j gehen; d.h. nach ausgeführter Multiplikation hat man x = t j zu setzen. Hieraus bestimmt man a jnj. Subtrahiert man nun von /Q das schon bestimmte a jnj /(x t j ) n j, so entsteht wieder eine rationale Funktion und man kann entsprechend den Koeffizienten a j(nj 1) bestimmen usw Beispiel Man betrachte R(x) := (x + 1)/(x 4 x 3 + x 2 x). Es sind 0 und 1 Nullstellen des Nennerpolynoms, und es gilt: x 4 x 3 + x 2 x = x(x 3 x 2 + x 1) = x(x 1)(x 2 + 1). Nun hat (x 2 + 1) keine reellen Nullstellen mehr, folglich gilt nach 42.7: (2) R(x) = a x + b x 1 + cx + d x mit noch zu bestimmenden a, b, c, d R. [42] 8 C 1

9 Der Fundamentalsatz der Algebra Zunächst werden mit Methode (γ) die Konstanten a, b bestimmt. Multiplikation mit x ergibt: x + 1 x 3 x 2 + x 1 = a + x( b,(2) x 1 + cx + d x ); setzt man x = 0, so erhält man a = 1. Multiplikation mit x 1 liefert: x + 1 x 3 + x = b + (x 1)(a,(2) x + cx + d x ); setzt man x = 1, so erhält man b = 1. Für die Bestimmung der Konstanten c und d kann man Methode (α) oder (β) anwenden: Methode (α) führt zu: x + 1 = (x 1)(x 2 + 1) + x(x 2 + 1) + (cx + d)x(x 1).,(2) Vergleich der dritten otenzen liefert c = 0; Vergleich der zweiten otenzen liefert: 1 + d = 0, d.h. d = 1. Methode (β) führt durch Einsetzen z.b. von 1 und 2 zu: 0 = c + d, d.h. 1 = d c; = c + d, d.h = 2c + d, d.h. 1 = d 2c. 5 Also erhalten wir auch hiermit c = 0 und d = 1. Insgesamt hat sich ergeben: x + 1 x 4 x 3 + x 2 x = 1 x + 1 x x C 1 [42] 9