A1-1 Kubische Gleichung

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1 A1-1 Kubische Gleichung Wir betrachten das kubische Polynom p(x) = x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0, x R bzw. die kubische Gleichung mit reellen Koeffizienten a 0, a 1 und a 2. x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 (1) 1. Begründen Sie, warum Gleichung (1) mindestens eine reelle Wurzel besitzt. 2. Wie müssen die Koeffizienten a 0, a 1, a 2 von p beschaffen sein, damit p genau zwei verschiedene Extremstellen x 1 und x 2 hat? 3. Welche Eigenschaften müssen die Koeffizienten a 0, a 1, a 2 von p haben, damit p streng monoton wachsend ist? 4. Für welche Koeffizienten a 0, a 1, a 2 hat p in x 0 eine dreifache Nullstelle? 5. Entwickeln Sie das Polynom q(x) = 2x 3 x 2 + 3x 5, x R nach Potenzen von (x 2), d.h., finden Sie Koeffizienten b 0, b 1, b 2, b 3 so, daß q(x) = b 3 (x 2) 3 + b 2 (x 2) 2 + b 1 (x 2) 1 + b 0, x R.

2 A1-2 Kubische Gleichung Wir betrachten die kubische Gleichung mit reellen Koeffizienten a 0, a 1 und a Finden Sie ein b R, so daß mit x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 (1) x = ξ b (Translation des Koordinatensystems in x-richtung), eine kubische Gleichung in ξ ohne quadratisches Glied, die so genannte reduzierte Form entsteht. Wie lauten dann die Koeffizenten p und q? 2. Transformieren Sie die Gleichung in die Form (2). ξ 3 + pξ + q = 0, (2) x 3 6x 2 + 2x + 5 = 0 (3) 3. Bestimmen Sie näherungsweise die Wurzeln der reduzierten Gleichung (2) auf graphischen Weg durch Schnitt zweier Kurven (Skizze ist verlangt!). Berechnen Sie eine der Wurzel mit dem Bisektionsverfahren auf zwei Dezimalstellen. 4. Geben Sie eine notwendige (aber nicht unbedingt hinreichende!) Bedingung an, daß alle reellen Wurzeln der Gleichung (1) positiv sind. Hinweis: Betrachten Sie den Graphen des zugehörigen Polynoms und finden Sie eine Bedingung, die nichtpositive Nullstellen ausschließt. 5. Zeigen Sie, daß x 3 + x 2 5x + 30 = 0 nur eine reelle Wurzel besitzt (ohne dazu die Wurzel zu berechnen). Hinweis: Gehen Sie von den Extremstellen des zugehörigen kubischen Polynoms aus.

3 A2-1 Komplexe Zahlen und reelle Funktionen 1. Die reduzierte Form einer kubischen Gleichung mit reellen Koefizienten lautet x 3 + px + q = 0. (1) Wir suchen eine Lösung x von (1) in der Form x = α+β mit α,β C und 3αβ = p. Durch Einsetzen finden wir α 3 + β 3 = q. (2) Die Forderung 3αβ = p ergibt α 3 β 3 = p3 27. (3) Nach dem Vietaschen Wurzelssatz und wegen (2) und (3) müssen α 3 und β 3 die Wurzel der quadratischen Gleichung sein. z 2 + qz p3 27 = 0 (4) Wir betrachten nun die Gleichung (1) mit reellen Koeffizienten p und q. Finden Sie jeweils ein Kriterium dafür, daß die Gleichung (1) a) drei verschiedene reelle Wurzeln b) drei reelle Wurzeln mit einer Doppelwurzel (aber keine Dreifachwurzel) c) eine reelle und zwei nicht-reelle Wurzeln besitzt. Hinweis: Da p und q reell sind, müssen α 3 β 3 und α 3 + β 3 reell sein. Wir können daher α 3 = x 1 + iy und β 3 = x 2 iy ansetzen. Wegen Im(α 3 β 3 ) = 0, muß dann auch y(x 2 x 1 ) = 0 gelten.

4 2. Berechnen Sie die Wurzeln der Gleichung z 3 +8 = 0. Tragen Sie die entsprechenden Punkte in die Gaußsche Zahlenebene ein. 3. Gesucht ist ein Polynom dritten Grades p(x) = a 3 x 3 +a 2 x 2 +a 1 x+a 0 mit folgenden drei Eigenschaften: a) p hat eine doppelte Nullstelle bei 2. b) Der Graph von p schneidet die Ordinatenachse in 5. c) Der Graph von p geht durch den Punkt ( 4,1). 4. Geben Sie ohne Zuhilfenahme der Differentialrechnung eine obere Schranke für 105 an, wobei als bekannte Wurzel nur 100 = 10 verwendet werden soll. Hinweis: Bringen Sie die Differenz x + x x mit x > 0 auf die Form eines geeigneten Quotienten und schätzen Sie diesen erst ab.

5 A2-2 Komplexe Zahlen und reelle Funktionen 1. Für welche komplexen Zahlen z = a + ib gilt a) z + 2 3i 7, b) z + 2 3i > 7. Lösen Sie die Aufgabe rechnerisch und geben Sie außerdem eine Skizze an. 2. Berechnen Sie die Wurzeln der Gleichung (z + 3i) = 0. Tragen Sie die entsprechenden Punkte in die Gaußsche Zahlenebene ein. 3. Gesucht ist die Gleichung eines Kreises (in der Form (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 ), welcher durch die Punkte (1,1), (1,3), (3 7,0) geht. Zeichnen Sie diesen Kreis. Hinweis: Gehen Sie von dem Ansatz A(x 2 +y 2 )+Bx+Cy = 1 für den Kreis aus und bestimmen Sie A, B und C über ein Gleichungssystem. 4. Gegeben sei die gebrochen-rationale Funktion r(x) = p(x), x D(r) = {x R : q(x) 0} q(x) mit p(x) = 7x 3 6x 2 + 1, q(x) = 2x 2 4x + 6. Geben Sie als Näherung für r(x) für große x ein Polynom s(x) an. Führen Sie eine Fehlerabschätzung für r(x) s(x) an den Stellen x = 10 bzw. x = 20 durch. Hinweis: Zerlegen Sie r in ein Polynom und eine echt gebrochen-rationale Funktion.