68 3 Folgen und Reihen

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1 68 3 Folgen und Reihen dh S 2m m1 monoton wachsend, nach oben beschränkt Satz 3115i S 2m m1 konvergent, s : s lim S 2m; andererseits ist S 2m+1 S 2m + a m 2m+1 lim S 2m+1 lim S 2m s, m m s 0 m m also ist S m m1 konvergent 1 n+1 a n konvergent Folgerung 3211 Die Reihe 1 n+1 n ist konvergent, aber nicht absolut konvergent B e w e i s : folgt aus Sätzen 324i und 3210 andere Variante : S 2m+1 m1 monoton fallend & nach unten beschränkt 1 n+1 n ln Addition, Umordnung und Multiplikation von Reihen Satz 3212 Additionssatz Die Reihen a n und es gilt b k seien konvergent und λ, µ C Dann ist λa n + µb n λ a n + µ b n λa n + µb n konvergent, B e w e i s : Seien Sn a : n a j und Sn b : n b k, dann folgt aus Satz 319 λa j + µb j lim n λ S a n + µ S b n λ lim n Sa n + µ lim n Sb n λ a j + µ b j Absolut konvergente Reihen kann man beliebig umordnen, jede ihrer Umordnungen konvergiert wieder gegen denselben Grenzwert dh sie sind unbedingt konvergent Das ist falsch, wenn für a n statt absoluter Konvergenz nur Konvergenz gefordert wird Für nicht absolut konvergente Reihen gilt der Umordnungssatz von Riemann 13 : Eine bedingt konvergente Reihe besitzt immer eine Umordnung, die gegen eine willkürlich vorgegebene Zahl konvergiert Satz 3213 Cauchy-Produkt Die Reihen a n und b k seien absolut konvergent Dann gilt a n m b k a j b m j m0 j0 m0 j0 m a m j b j 13 Georg Friedrich Bernhard Riemann Hannover Selasca/Italien

2 69 a 0 b 0 a 0 b 1 a 0 b 2 a 0 b 3 j + k 1 j + k 2 j + k 3 a 1 b 0 a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b 3 a 2 b 0 a 2 b 1 a 2 b 2 a 2 b 3 a 3 b 0 a 3 b 1 a 3 b 2 a 3 b 3 Produkte werden diagonal aufsummiert, alle unendlich vielen Terme a j b k werden genau einmal erfasst Beispiel : z k k!, z C Bsp nach Folg 329 z n w k k! 4 Reelle Funktionen n z j absolut konvergent für alle z C w n j n j! j! j0 Cauchy-Produkt 41 Polynome und rationale Funktionen 1 n z j w n j z + w n j!n j! j0 } n j } z+w n, Binom Satz Definition 411 Eine Abbildung f, die jedem x aus einer nicht-leeren Teilmenge M Df R genau ein fx R zuordnet, nennt man eine auf M definierte reelle Funktion, f : Df R Df heißt Definitionsbereich von f, W f y R : x Df, y fx} R Wertebereich von f Weitere Begriffe A Df fa y Y : x A, y fx} W f Bild von A; B W f f 1 B x Df : y B, fx y} Df Urbild von B Γ f x, y R 2 : x Df, y fx } Df W f R 2 Graph der Funktion f, g : R R mit W f Dg g f : Df W g, x gfx Verkettung/Komposition Beispiele : gx ax + b, Dg R, a, b R fest lineare Funktion bx x, Db R sx [x] maxm Z : m x}, Ds R Größte-Ganze-Funktion ϕx 1, x Q 0, x Q, Dϕ [0, 1] Dirichlet 14 -Funktion Definition 412 Seien n N 0, a k R, k 0,, n und a n 0 Dann heißt px a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 n a k x k, Dp R, Polynom n-ten Grades auf R Eine Zahl x 0 R mit px 0 0 heißt Nullstelle des Polynoms 14 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Düren Göttingen

3 70 4 Reelle Funktionen Bemerkung : px n a k x k degp maxk 0,, n : a k 0} Grad des Polynoms Für beliebige Polynome px n a k x k und qx m l0 b l x l gilt: degp ± q maxdegp, degq}, degp q degp degq p q m n, a k b k, k 0,, n Lemma 413 Ist px ein Polynom vom Grade n und ξ ein Nullstelle von px, so ist px darstellbar als px x ξ p 1 x, wobei p 1 x ein Polynom vom Grade n 1 ist B e w e i s : px px p ξ n 0 n a k x k ξ k n x ξ n 1 b k x k } } :p 1x mit b n 1 a n 0, b n 2 a n 1 + a n ξ,, b k so a k x k n a k ξ k a k x k 1 + x k 2 ξ + + xξ k 2 + ξ k 1 x ξ x ξ p 1 x sei x 0 R beliebig n 1 px px 0 x x 0 mit n 1 k j0 a j+k+1 ξ j, k 0,, n 1 n 1 b k x k px x x 0 b n 1 a n b n 2 a n 1 + a n x 0 a n 1 + b n 1 x 0 b n 3 a n 2 + a n 1 x a n x 3 0 a n 2 + b n 2 x 0 b 0 a 1 + b 1 x 0 px 0 a 0 + b 0 x 0 Horner 15 -Schema zur Berechnung von px 0 : b k x k + px 0 rekursive Bestimmung der b n 1,, b 0 px 0 a n a n 1 a n 2 a 1 a 0 + b n 1 x 0 b n 2 x 0 b 1 x 0 b 0 x 0 b n 1 b n 2 b n 3 b 0 px 0 Beispiel : px x 5 + 2x 4 12x 5, x p2 35 Ziel : Zerlegung von px in möglichst einfache Faktoren Produktdarstellung 15 William George Horner 1786 Bristol Bath

4 41 Polynome und rationale Funktionen 71 Komplexe Polynome: pz n α k z k, α k C, α n 0 Polynom n-ten Grades auf C Satz 414 Fundamentalsatz der Algebra Ein Polynom n-ten Grades pz n α k z k, α n 0, besitzt genau n komplexe Nullstellen Sind z 1,, z n diese Nullstellen, so gilt pz α n z z 1 z z 2 z z n hier ohne Beweis Einige Nullstellen können übereinstimmen Insofern kann man pz schreiben als pz α n z z 1 m 1 z z 2 m2 z z l m l, wobei z k z j für k j, und m m l n mit l n gelten Die Zahl m j N 0 heißt Vielfachheit der Nullstelle z j C, j 1,, l Seien pz n a k z k, a k R, und z 0 C mit pz 0 0 p z 0 0: pz 0 0 pz 0 a n z n a 1z 0 + a 0 a n z 0 n + + a 1 z 0 + a 0 a k a k R a n z 0 n + + a 1 z 0 + a 0 p z 0 Beispiel : z z 0 z z 0 z 2 z 0 + z 0 z + z 0 z 0 z 2 2 Re z 0 R z + z 0 2 z 2 + cz + d R Linearfaktorzerlegung reeller Polynome: px n a k x k, Dp R, mit a n 0, n 1: px a n x ξ 1 m1 x ξ k m k x 2 + c 1 x + d 1 r1 x 2 + c l x + d l rl, ξ 1,, ξ k reelle Nullstellen von px, z 1,, z m echte komplexe Nullstellen von px mit c j 2 Re z j und d j z j 2, j 1,, l; für die Vielfachheiten gilt m m k + 2 r r l n Beispiel : px 2x 6 4x 5 + 6x 4 8x 3 + 6x 2 4x x 1 x 5 x 4 + 2x 3 2x 2 + x 1 :q 1x 2 x 1 2 x 4 + 2x :q 2x 2 x 1 2 x ξ 1 1 mit pξ 1 0 erraten, q 1 x durch Polynomdivision ξ 2 1 mit q 1 ξ 2 0 erraten, q 2 x durch Polynomdivision in C : px 2 x 1 2 x + i 2 x i 2

5 72 4 Reelle Funktionen Satz 415 Identitätssatz für Polynome Stimmen die Werte zweier Polynome pz n α k z k und qz n β k z k vom Grad m n auch nur an n + 1 verschiedenen Stellen überein, so sind die Polynome identisch, dh α k β k, k 0,, n B e w e i s : Annahme : Es existiert ein l N, 0 l n, so dass α l β l und α k β k für k > l gilt n l rz : pz qz α k β k z k α k β k z k 0, k > l Polynom vom Grad l < n + 1 mit n + 1 Nullstellen Widerspruch zu Satz 414 px unbeschränkt auf R: px n px x und a k x k a n x n 1 + a n 1 1 a n x + + a 0 1 a n x } n, } x 0, a n 0 m M, x K, wobei degp n 2m px x ± degp n 2m + 1 px x ±, a n > 0,, a n < 0, ±, a n > 0,, a n < 0 insbesondere für degp gerade: px c für a n > 0 bzw px C für a n < 0 Definition 416 Seien px n a k x k und qx m l0 b l x l Polynome, dann nennt man eine rationale Funktion fx : px n qx a kx k m l0 b, Df R \ ξ R : qξ 0} l lx i Eine l-fache Nullstelle x 0 R des Zählerpolynoms px, für die zusätzlich gilt qx 0 0, heißt l-fache Nullstelle der Funktion f ii Eine m-fache Nullstelle x 0 R des Nennerpolynoms qx, für die zusätzlich gilt px 0 0, heißt m-fache Polstelle der Funktion f fx 0 0 px 0 0, qx 0 0 möglich: fx beschränkt bzw fx unbeschränkt auf Df Sei fx px qx mit degp degq Polynomdivision f zerlegbar in fx gx + rx, gx Polynom, rx Restpolynom, degr < degq qx