2 Polynome und rationale Funktionen

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1 Gleichungen spielen auch in der Ingenieurmathematik eine große Rolle. Sie beschreiben zum Beispiel Bedingungen, unter denen Vorgänge ablaufen, Gleichgewichtszustände, Punktmengen. Gleichungen für eine unbekannte Variable kann man auf die Form f (x) = 0 mit einer Funktion f : D( f ) R R bringen. Gesucht sind dann alle x 0 D( f ) mit f (x 0 ) = 0. Solche Zahlen x 0 heißen Nullstellen von f. Gleichungen zu lösen ist also gleichbedeutend damit, Nullstellen von Funktionen zu berechnen. Eine Lösung einer Gleichung heißt auch Wurzel der Gleichung. Im folgenden beschäftigen wir uns zunächst mit dem einfachsten Typ von Funktionen, den Polynomen und versuchen, zu diesen Nullstellen zu berechnen. 2.1 Polynome Ein Polynom f ist eine Funktion f : R R mit f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n für x R, wobei n N, und a 0,...,a n R. Die Zahlen a i heißen Koeffizienten des Polynoms, falls a n 0 oder n = 0, heißt n der Grad des Polynoms, n = deg( f ). Beispiel f : R R mit f (x) = 2 ist ein Polynom nullten Grades, g: R R mit g(x) = 3x ist ein Polynom zweiten Grades. 23

2 2.1.1 Koeffizientenvergleich Polynome sind in ihrer Darstellung eindeutig: Satz (Eindeutigkeit der Darstellung). Seien f, g R R Polynome mit f (x) = a 0 + a 1 x a n x n, g(x) = b 0 + b 1 x b m x m. Gilt f (x) = g(x) für alle x aus einem offenem Intervall ]a,b[, a < b, dann gilt m = n, a i = b i für alle i = 0,...,n, und damit auch f (x) = g(x) für alle x R. Die im Satz beschriebene Feststellung der Gleichheit der Koeffizienten beider Polynome nennt man Koeffizientenvergleich Hornerschema Satz Seien ein Polynom f (x) = a 0 +a 1 x+...+a n x n und eine Zahl x 0 R gegeben. Dann gilt f (x) = (x x 0 )(c 1 + c 2 x c n x n 1 )+c 0 für x R, wobei die Zahlen c 0,...,c n sich in folgender Weise bestimmen: c n := a n, c k := c k+1 x 0 + a k für k = n 1,n 2,...,0 (2.1.1) Beweis. Durch Ausmultiplizieren findet man (x x 0 )(c 1 + c 2 x c n x n 1 ) + c 0 = c 1 x + c 2 x c n x n c 1 x 0 c 2 xx 0... c n x n 1 x 0 + c 0 = (c 0 c 1 x 0 ) + (c 1 c 2 x 0 )x + + (c n 1 c n x 0 )x n 1 + c n x n = a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 + a n x n. Bemerkung Es gilt f (x 0 ) = c 0 mit c 0 aus (2.1.1). Man kann also den Funktionswert c 0 = f (x 0 ) eines Polynoms f an der Stelle x 0 durch (2.1.1) berechnen. Dazu sind nur n Multiplikationen und n Additionen nötig. Insbesondere muß so keine einzige höhere Potenz berechnet werden. Damit ist dieses Verfahren numerisch sehr günstig. Für die praktische Berechnung der Zahlen c 0,...,c n ist ein spezielles Rechenschema, das Hornerschema, üblich: a n a n 1 a n 2... a 1 a 0 + c n x 0 c n 1 x 0... c 2 x 0 c 1 x 0 = c n c n 1 c n 2... c 1 c 0 24

3 2.1 Polynome Beispiel Mit f (x) = x 2 6x + 9, x 0 = 3 erhalten wir = und damit f (x) = (x 3)(x 3) + 0 = (x 3) 2, also f (3) = c 0 = Faktorisierung von Polynomen Aus Satz folgt: Ist x 0 eine Nullstelle von f, so gilt immer c 0 = f (x 0 ) = 0 und f besitzt die Darstellung f (x) = (x x 0 ) g(x), wobei g ein Polynom (n 1)-ten Grades g(x) = c 1 + c 2 x c n x n 1 ist. Iterierte Anwendung dieser Aussage führt zu folgendem Satz. Satz (Faktorisierungssatz). Jedes Polynom n-ten Grades, n 1, besitzt eine Darstellung f (x) = (x x 1 ) l1 (x x 2 ) l2... (x x s ) ls g(x), wobei x 1,...,x s genau die Nullstellen von f sind, l l s n gilt und g ein nullstellenfreies Polynom vom Grad n (l 1 + l l s ) ist. Diese Darstellung ist bis auf Vertauschung der Faktoren eindeutig. Bezeichnung: Wir nennen die Faktoren (x x i ), i = 1,...,s, die Linearfaktoren des Polynoms. Ferner nennen wir l j die Vielfachheit der Nullstelle x j von f. Folgerung Jedes Polynom n-ten Grades, n 1, hat höchstens n Nullstellen. In Erweiterung des Faktorierungssatzes kann bewiesen werden: Satz Ist g ein nichtkonstantes nullstellenfreies Polynom, so gibt es eine Darstellung von g als Produkt von lauter Polynomen zweiten Grades (i.a. nicht eindeutig). Folgerung Jedes Polynom ungeraden Grades besitzt mindestens eine Nullstelle. 25

4 2.2 Nullstellenberechnung Polynome nullten Grades Ein Polynom f nullten Grades ist eine konstante Funktion, f (x) = a 0 für x R. Sie hat genau dann eine Nullstelle, wenn a 0 = 0. In diesem Fall ist jedes x R Nullstelle von f Polynome ersten Grades Ein Polynom f ersten Grades hat die Form f (x) = a 0 + a 1 x für x R mit a 1 0. Aus der Gleichung 0 = f (x 0 ) = a 0 + a 1 x 0 erhalten wir a 1 x 0 = a 0, x 0 = a 0 a 1 für die einzige Nullstelle von f Polynome zweiten Grades Ein Polynom f zweiten Grades hat die Form f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 für x R mit a 2 0. Mit Division durch a 2 bringt man die Gleichung f (x) = 0 in folgende Normalform: x 2 + px + q = 0 (2.2.1) mit p := a 1 a 2, q := a 0 a 2. Genau dann, wenn p2 4 q 0, hat (2.2.1) die Lösungen x 1 und x 2 mit x 1,2 = p 2 ± p 2 4 q, 26

5 2.2 Nullstellenberechnung wobei x 1 = x 2, wenn p2 4 = q (in diesem Fall ist x 1 = p 2 zweifache Nullstelle). Daß x 1 und x 2 tatsächlich Lösungen sind, sieht man durch ( (x x 1 )(x x 2 ) = [x + p )( p 2 ] 2 4 q [x + p ) p 2 ] q = (x + p 2 )2 ( p2 4 q) = x2 + px + p2 4 p2 4 + q = x 2 + px + q. Ist p2 4 q < 0, so ist g(x) = x2 + px + q nullstellenfrei Polynome höheren Grades Für Polynome dritten und vierten Grades gibt es Lösungsformeln, aber wesentlich komplizierter als für Polynome zweiten Grades. Für Polynome höheren als vierten Grades gibt es im allgemeinen keine Formel für die Nullstellen nur unter Verwendung von Radikalen, d.h., Ausdrücken welche neben den Grundrechenoperation auch Wurzeln enthalten können. Für Polynome von höherem als zweiten Grades gibt es daher im wesentlichen nur zwei Methoden: 1. Methode: Raten einer Nullstelle und Abspalten eines Linearfaktors (z.b. mit Hornerschema). Das entstehende Restpolynom hat dann einen um 1 verringerten Grad. Beispiel Das Polynom f (x) = 4 4x 3x 2 + 2x 3 + x 4 hat augenscheinlich die Nullstelle x 1 = 1. Mit dem Hornerschema erhält man f (x) = (x 1)(4 3x 2 + x 3 ). Der Faktor h(x) = 4 3x 2 + x 3 hat ebenfalls die Nullstelle x 2 = 1. Mit dem Hornerschema ergibt sich h(x) = (x 1)(x 2 + 4x + 4) und über die (p,q)-formel erhält man weiter x 2 + 4x + 4 = (x + 2)(x + 2). Damit ergeben sich für f zwei zweifache Nullstellen x 1 = 1, x 2 = 2 und die Zerlegung f (x) = (x 1) 2 (x + 2) Methode: Verwendung numerischer Näherungsverfahren zur näherungsweise Berechnung der Nullstellen Raten von Nullstellen Wir betrachten ein Polynom f (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0, a n = 1 27

6 und nehmen an, daß es n Nullstellen besitzt, d.h. f (x) = n i=1 (x x i ) mit x i als den (eventuell mehrfach aufgeführten) Nullstellen von f. Durch Ausmultiplizieren des Produktes erhält man Satz (Vietascher Wurzelsatz). Unter obigen Voraussetzungen sind x 1,...,x n genau dann Nullstellen von f, wenn n i=1 x i = a n 1, n x i x j = a n 2, i, j=1,i< j, x 1 x 2 x n = ( 1) n a 0. n x i x j x k = a n 3, i, j,k=1,i< j<k Folgerung Seien die Koeffizienten a 0,..., a n 1 des Polynoms f ganzzahlig.wenn f genau n ganzzahlige Lösungen x i hat, dann sind diese Teiler von a 0. Beachte: Jede ganze Zahl (auch 0) zählt als Teiler von 0. Eine noch bessere Möglickeit zum Raten rationaler Nullstellen eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten liefert der folgende Satz: Satz Die rationalen Nullstellen eines Polynoms f (x) = a 0 + a 1 x a n x n mit ganzzahligen Koeffizienten a 0,...,a n findet man unter den Brüchen p q (p,q Z, teilerfremd),in denen p ein Teiler von a 0 und q ein Teiler von a n ist. Beweis. Sei x 0 = p q eine Nullstelle von f mit teilerfremden p,q Z. Dann gilt ( ) 0 = a 0 + a 1 x a n x0 n = a p p n 0 + a 1 q a n q und damit 0 = a 0 q n + a 1 pq n a n p n. Ab dem zweiten Summanden sind alle durch p teilbar.da p und q teilerfremd sind, muß a 0 auch durch p teilbar sein. Bis zum vorletzten Summanden sind alle durch q teilbar,folglich muß auch a n durch q teilbar sein. Beispiel Wir betrachten das Polynom f (x) = 12x 4 4x 3 + 6x 2 + x 1. 28

7 2.2 Nullstellenberechnung Für eine rationale Nullstelle x 0 = p q muß p Teiler von 1 und q Teiler von 12 sein. Rationale Nullstellen befinden sich damit in der Menge { 1, 1, 1 2, 1 2, 1 3, 1 3, 1 4, 1 4, 1 6, 1 6, 1 12, 1 }. 12 Man überprüft: f ( 1 3 ) = 0 und findet über das Hornerschema die Zerlegung f (x) = (3x 1)(4x3 + 2x + 1). Weitere rationale Nullstellen können also nur noch 1, 1, 1 2, 1 2, 4 1 oder sein. Man überprüft, daß keine dieser Zahlen Nullstellen von h(x) = 4x 3 + 2x + 1 ist. (h besitzt nur noch eine Nullstelle zwischen 2 1 und 1 4 ) Bisektionsverfahren Im folgenden beschreiben wir das Bisektionsverfahren als ein Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung einer Nullstelle eines Polynoms f. Grundlage für die Anwendung ist der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen, den wir erst später behandeln. Zu lösen ist die Gleichung f (x) = 0. Es sei eine Stelle x = a bekannt, für die f (a) < 0, und eine Stelle x = b, für die f (b) > 0 gelte. Dann muß nach dem Zwischenwertsatz (siehe später!) zwischen a und b eine Nullstelle von f liegen! Sei c das arithmetische Mittel von a und b, d.h., c = a+b 2. Wir haben nun drei Fälle zu unterscheiden: Gilt f (c) = 0, so ist eine Lösung der Gleichung gefunden. Gilt f (c) > 0, so liegt nach dem gleichen Argument eine Nullstelle von f zwischen a und c. Man betrachtet nun [a, c] als Ausgangsintervall und untersucht als Nächstes das arithmetische Mittel von a und c. Gilt f (c) < 0, so liegt eine Nullstelle zwischen c und b. Hier betrachtet man [c,b] als neues Ausgangsintervall und untersucht als Nächstes das arithmetische Mittel von c und b. Führt man dies iteriert fort, so halbiert sich bei jedem Schritt die Breite des Intervalls, in dem eine Nullstelle liegen muß. Durch diese Art der Intervallschachtelung kann daher eine Lösung der Gleichung beliebig angenähert werden. Beispiel Wir betrachten das Polynom f (x) = x 3 + x + 1. Als Polynom 3. Grades besitzt f mindestens eine Nullstelle. Man stellt durch Einsetzen fest: f ( 1) = 1 und f (1) = 3. 29

8 Also liegt eine Nullstelle von f im Intervall ] 1, 1[. Wir starten das Bisektionsverfahren und bezeichnen den linken, rechten und mitteleren Punkt jeweils mit a, b beziehungsweise c: a b c f (c) Nach weiteren Schritten ermittelt man (auf 4 gesicherte Dezimalen) als Nullstelle x 0 = Bemerkung Das Verfahren funktioniert nur schlecht, wenn die Nullstelle eine mehrfache Nullstelle ist. 2. Das Verfahren funktioniert nicht nur bei Polynomen. Benötigt wird die Stetigkeit von f und zwei Stellen a und b mit f (a) f (b) < Rationale Funktionen Addiert, subtrahiert oder multipliziert man Polynome, so entstehen wieder Polynome. Anders ist dies bei der Division. Eine Funktion f : D( f ) R R mit f (x) = p(x) q(x) = a nx n + a n 1 x n a 1 x + a 0 b m x m + b m 1 x m b 1 x + b 0 für x D( f ) := {t R: q(t) 0} nennen wir rationale Funktion. Polynome sind spezielle rationale Funktionen, die mit q(x) = 1 entstehen. Fragen: Vereinfachung des Bruches (Zerlegung in ganzen Anteil und echt gebrochenen Anteil, Kürzen) Nullstellen, Polstellen Zerlegung in Elementarbrüche (Partialbruchzerlegung) 30

9 2.3 Rationale Funktionen Polynomdivision Eine Vereinfachung von rationalen Funktionen ergibt sich über die Polynomdivision, bei der man entsprechend der schriftlichen Division reeller Zahlen vorgeht. Dabei teilt man den Zähler p einer rationalen Funktion durch den Nenner q, sofern ersterer keinen niederen Grad besitzt: deg(p) deg(q) 1. Dadurch entsteht eine Darstellung der rationalen Funktion als Summe eines ganzen Anteils h (ein Polynom vom Grad < deg(p)) und eines (gebrochen) rationalen Anteils q r (bei dem deg(r) < deg(q) gilt): f (x) = p(x) r(x) = h(x) + q(x) q(x). Beispiel Für f (x) = 3x3 +2x 2 x+1 x 3 rechnet man (3x 3 + 2x 2 x + 1) : (x 3) = 3x 2 +11x x 3. (3x 3 9x 2 ) 11x 2 x (11x 2 33x) 32x + 1 (32x 96) 97 Daher ist f (x) = 3x x x Nullstellen rationaler Funktionen Eine Nullstelle einer rationalen Funktion f = p q ist wieder eine Zahl x 0 D( f ) mit f (x 0 ) = 0. Dafür ist p(x 0 ) = 0 notwendig aber nicht hinreichend. Ist nämlich gleichzeitig q(x 0 ) = 0, so ist x 0 D( f ). Zu fragen wäre nun, ob man dann nicht in p und q den Faktor (x x 0 ) abspalten und damit kürzen könnte. Damit wird aber der Definitionsbereich von f und damit eigentlich auch f verändert. Damit dieser Effekt nicht auftritt, nehmen wir nun an, daß wir f = p q mit teilerfremden Polynomen p und q haben. Dabei nennen wir p und q teilerfremd, wenn kein Polynom d mit deg(d) > 0 existiert, so daß p(x) = d(x) p 1 (x), q(x) = d(x) q 1 (x) mit Polynomen p 1 und q 1 gilt. Unter diesen Voraussetzungen haben wir nun: 31

10 Ist x 0 eine Nullstelle von p, so ist x 0 auch eine Nullstelle von f. Ist x 0 eine l-fache Nullstelle von p, so nennen wir x 0 auch eine l-fache Nullstelle von f. Ist x 0 eine l-fache Nullstelle von q, so nennen wir x 0 eine l-fache Polstelle von f Euklidischer Algorithmus Eine Idee zum Kürzen von p und q wäre, die Nullstellen von p und q zu bestimmen und p und q entsprechend Satz zu faktorisieren: p(x) = (x x 1 ) l1 (x x 2 ) l2... (x x s ) ls g(x), q(x) = (x y 1 ) m1 (x y 2 ) m2... (x y r ) mr h(x). Faktoren zu gleichen Nullstellen können entsprechend der Vielfachheit gekürzt werden. Problem: 1. Auch g und h könnten noch gemeinsame Teiler besitzen. 2. Die Bestimmung der Nullstellen ist meistens kompliziert. Erfreulicherweise kann man jedoch rationale Funktion mit Hilfe der Polynomdivision in einen gekürzten Zustand überführen. Seien dazu p und q Polynome. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei deg(p) deg(q) > 0. Man bildet nun eine Kette von Divisionen mit Rest (Euklidischer Algorithmus für Polynome): Setze: q 1 := p, q 0 := q ; Bestimme rekusiv q i für i 1 aus: q i 2 (x) = q i 1 (x) t i (x) + q i (x) ; Abbruchkriterium: q i = 0. Da deg(q) = deg(q 0 ) > deg(q 1 ) > > deg(q s ), muß ein s = i < n existieren mit q s = 0, so daß das Verfahren stets abbricht. Satz Seien p und q Polynome mit deg(p) deg(q) > 0. Seien die Polynome q i, i = 1,...,s, nach obigen Verfahren bestimmt mit q s = 0. Dann ist q s 1 gradmäßig größter gemeinsamer Teiler von p und q. Sei zum Beispiel s = 3. Wir haben dann und q(x) = q 0 (x) = q 1 (x)t 1 (x) + q 2 (x) p(x) = q 1 (x) = q 0 (x) t 0 (x) + q 1 (x) = q 2 (x)t 2 (x)t 1 (x) + q 2 (x) = q 2 (x)[t 2 (x)t 1 (x) + 1] = q 2 (x)(t 2 (x)t 1 (x) + 1)t 0 (x) + q 2 (x) t 2 (x) = q 2 (x) [t 2 (x) t 1 (x) t 0 (x) +t 0 (x) +t 2 (x)]. Wir erläutern die Methode über ein Beispiel. 32

11 2.3 Rationale Funktionen Beispiel Sei f (x) = x2 3x+2 x 3 2x+1. Wir müssen also p(x) = q 1(x) = x 3 2x + 1 und q(x) = q 0 (x) = x 2 3x + 2 betrachten. Im ersten Schritt (für i = 1) erhalten wir (x 3 2x + 1) : (x 2 3x + 2) = x x 5 x 2 3x + 2 und damit t 1 (x) = x + 3, q 1 (x) = 5x 5. Im zweiten Schritt (i = 2) erhalten wir und daher t 2 (x) = 1 5 x 2 5, q 2(x) = 0. (x 2 3x + 2) : (5x 5) = 1 5 x 2 5 Der gradmäßig größte gemeinsame Teiler von x 2 3x + 2 und x 3 2x + 1 ist demnach q 1 (x) = 5x 5 bzw. x 1. Mit (x 2 3x + 2) : (x 1) = x 2 und (x 3 2x + 1) : (x 1) = x 2 + x 1 erhalten wir aus f die gekürzte Form x 2 x 2 + x 1. 33

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