Approximation durch Polynome

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1 durch n Anwendungen: zur Vereinfachung einer gegebenen Funktion durch einen Polynomausdruck. Dann sind übliche Rechenoperation +,,, / möglich. zur Interpolation von Daten einer Tabelle

2 n Beispiel Trotz guter Verkaufslage verringern sich die Gewinne G(x) ab einer bestimmten Stückzahl x aufgr steigender Produktionskosten. Anzahl x i Kosten K(x i ) Erlös E(x i ) Gewinn G(x i )

3 Kurvenverlauf von K(x), E(x), G(x) als Geradenstücke n

4 n Frage: Antwort: Wo liegt die Gewinnzone? Wo liegt das Gewinnmaximum? Gewinnzone: Nullstelle der Funktion, d.h. G(x) = 0 Gewinnmaximum: Extremstelle der Funktion, d.h. G (x) = 0 Fazit: Man benötigt eine Funktionsdarstellung für G(x), z.b. durch der Daten über eine Polynominterpolation.

5 n besonders geeignet in der Numerik, da die Auswertung nur einfache Addition Multiplikation bedeutet. Definition (1.1.1) Eine Funktion f(x) für f : R R der Form f(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 a n 0 heißt Polynom vom Grad n. Die reellen Zahlen a 0, a 1,..., a n heißen Koeffizienten des Polynoms. Beispiel f(x) = 4x 8 x 5 10

6 n Rechnen n Definition (1.1.2) Gegeben sind zwei f(x) g(x) der Form f(x) = a m x m a 1 x + a 0 g(x) = b n x n b 1 x + b 0 vom Grad m n m n. Dann ist: f(x) + g(x) = b n x n b m+1 x m+1 + (a m + b m )x m (a 1 + b 1 )x + (a 0 + b 0 ) f(x) g(x) = (a m b n )x n+m (a 1 b n a m b n m+1 )x n+1 + (a 0 b n a m b n m )x n (a 0 b 1 + a 1 b 0 )x + a 0 b 0

7 n Satz (1.2.1) Für jedes Polynom f(x) jeden Wert x 0 gilt: f(x) = a n x n +...a 1 x + a 0 = (x x 0 )(b n x n b 2 x + b 1 ) + f(x 0 ) f(x 0 ) = r. Beweis. (Herleitung des Horner - Schemas) (x x 0 ) (b n x n b 2 x + b 1 ) + r = b n x n + b n 1 x n b 2 x 2 + b 1 x x 0 b n x n 1... x 0 b 2 x x 0 b 1 + r = a n x n a 1 x + a 0

8 n Beweis. Ein Koeffizientenvergleich nach Potenzen von x ergibt b n = a n b n 1 = a n 1 + x 0 b n b n 2 = a n 2 + x 0 b n 1.. b 1 = a 1 + x 0 b 2 r = a 0 + x 0 b 1

9 Horner - Schema n Verfahren zur systematischen Auswertung von n: a n a n 1... a 2 a 1 a 0 + x 0 b n... x 0 b 3 x 0 b 2 x 0 b 1 b n b n 1... b 2 b 1 r = f(x 0 )

10 n Beispiel Gegeben ist die Funktion f(x) = 2x 4 6x 3 35x Gesucht ist der Funktionswert an der Stelle x 0 = 4 über das Horner-Schema = f(4) = f(4) = 2. Bemerkung: Das Horner-Verfahren ist besonders effektiv, da es Potenzieren vermeidet; Daher ist es für numerische Anwendungen geeignet.

11 n Satz (1.3.1) Wenn x 1 eine Nullstelle des Polynoms n-ten Grades f(x) ist, dann gilt: f(x) = (x x 1 )(b n x n b 1 x) Bemerkung: Das Horner - Schema liefert die Zerlegung von f(x).

12 n Beispiel Gegeben ist die Funktion f(x) = x 3 + 2x 2 13x Gesucht ist das Restpolynom bei Abspaltung des Linearfaktors um x 1 = = f(x) = (x 1) (x 2 + 3x 10).

13 Polynomdivision n Dasselbe Ergebnis ergibt sich durch Polynomdivision: x 3 + 2x 2 13x + 10 : x 1 = x 2 + 3x 10 (x 3 x 2 ) 3x 2 13x (3x 2 3x) 10x x

14 n Bemerkung: Dividiert man f(x) durch (x x 1 ) ohne Rest, so ist das Resultat ein Polynom vom Grad n 1. Satz (1.3.2) Jedes Polynom n-ten Grades hat höchstens n verschiedene Nullstellen.

15 n Satz (1.4.1) Zu n + 1 verschiedenen Wertepaaren (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n+1, y n+1 ) gibt es genau eine Polynomfunktion f(x) f(x i ) = y i, i = 1,..., n + 1, deren Grad nicht größer als n ist. Das Polynom heißt. Bemerkung: Aus den diskreten Werten (x i, y i ) lassen sich durch das näherungsweise beliebige Zwischenwerte berechnen (interpolieren).

16 Schematische Darstellung des s n

17 n Vandermondsche Matrix Die Bestimmung des s erfolgt durch Einsetzen der diskreten Werte (x i, y i ) in die Funktion f(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 durch Bestimmung der Koeffizienten a 0,..., a n aus den n + 1 Bedingungen f(x i ) = y i : a n x n a 2 x a 1 x 1 + a 0 = y a n x n n a 2 x 2 n+1 + a 1 x n+1 + a 0 = y n+1 Eigenschaften: zu lösen ist ein lineares Gleichungssystem den Unbekannten a 0,..., a n das Verfahren ist numerisch ungünstig, insbesondere für große n

18 n Methode 2: Lagrange Formel Ansatz: f(x) = y 1 (x x 2 )(x x 3 )...(x x n+1 ) (x 1 x 2 )(x 1 x 3 )...(x 1 x n+1 ) + y 2 (x x 1 )(x x 3 )...(x x n+1 ) (x 2 x 1 )(x 2 x 3 )...(x 2 x n+1 ) +... (x x 1 )(x x 2 )...(x x n ) y n+1 (x n+1 x 1 )(x n+1 x 2 )..(x n+1 x n ) Eigenschaften: f(x i ) = y i das Verfahren ist ebenfalls für große Datenmengen rechenzeitaufwendig

19 n Methode 3: Newton - Algorithmus (numerisch geschickteste Methode) Ansatz: f(x) = a 0 + a 1 (x x 1 ) + a 2 (x x 1 )(x x 2 ) a n (x x 1 )(x x 2 ) (x x n ) Die Koeffizienten a 0, a 1,..., a n können iterativ bestimmt werden. Einsetzen von x 1 in die Funktion f(x) ergibt: y 1 = f(x 1 ) = a 0 a 0 = y 1 y 2 = f(x 2 ) = a 0 + a 1 (x 2 x 1 ) a 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 y 3 = f(x 3 ) = a 0 + a 1 (x 3 x 1 ) + a 2 (x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) a 2 = y 3 a 0 a 1 (x 3 x 1 ) (x 3 x 1 )(x 3 x 2 )

20 n Newton - Algorithmus (fortgesetzt) Algebraisches Umstellen ergibt: a 2 = y 3 a 0 a 1 (x 3 x 1 ) (x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) =... 1 ( y3 y 2 = y 2 y ) 1 x 3 x 1 x 3 x 2 x 2 x 1 a 2 = D 3,2 D 2,1 x 3 x 1 den Abkürzungen: D 2,1 = y 2 y 1 x 2 x 1 D 3,2 = y 3 y 2 x 3 x 2

21 Newton - Algorithmus (fortgesetzt) n Mit den Abkürzungen: D 4,3,2 = D 4,3 D 3,2 x 4 x 2 D 3,2,1 = D 3,2 D 2,1 x 3 x 1 über vollständige Induktion kann man zeigen, dass gilt: a k 1 = D k,...,1 das sogenannte Verfahren der dividierten Differenzen.

22 Berechnungsschema: Newton - Algorithmus n k x k y k 1 x 1 y 1 = a 0 2 x 2 y 2 D 2,1 = y 2 y 1 x 2 x 1 = a 1 3 x 3 y 3 D 3,2 = y 3 y 2 x 3 x 2 D 3,2,1 = D 3,2 D 2,1 x 3 x 1 4 x 4 y 4 D 4,3 = y 4 y 3 x 4 x 3 D 4,3,2 = D 4,3 D 3,2 x 4 x wobei a 0 = y 1, a 1 = D 2,1, a 2 = D 3,2,1,..., a n = D n+1,...,1 die gesuchten Koeffizienten des s sind.

23 n Beispiel Gegeben ist die folgende Wertetabelle: k x k y k Gesucht ist das f(x) der Form f(x) = a 0 + a 1 (x x 1 ) + a 2 (x x 1 )(x x 2 ). Lösung über den Newton-Algorithmus: k x k y k D 2,1 = = D 3,2 = = 4 D 3,2,1 = = 2 f(x) = x 2x(x 2) = 2x x 12

24 n Beispiel Gegeben ist ein zusätzlicher Messpunkt (x 4, y 4 ) = (7, 54). Gesucht ist wieder das, das durch alle Messpunkte verläuft. Lösung über den Newton-Algorithmus: k x k y k D 2,1 = D 3,2 = 4 D 3,2,1 = D 4,3 = 41 D 4,3,2 = 9 D 4,3,2,1 = 1 f(x) = x 2x(x 2) x(x 2)(x 5) =... = x 3 + 5x 2 + 8x 12

25 n Fast jede elementare Funktion (wie z.b. e x, sin x, x, ln x usw.) lässt sich in der Umgebung eines Punktes x 0 durch einen Polynomausdruck f(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 beliebig genau annähern. Beispiel Gegeben ist die Funktion f(x) = 1 1 x für x < 1. Gesucht ist ein Polynomausdruck, der f(x) annähert. Lösung 1 1 x = 1 + x + x x n +... = n=0 x n

26 n Herleitung der Taylorformel Gegeben ist eine Funktion f(x) gesucht ist eine Näherung in der Umgebung von x 0 D.

27 Herleitung der Taylorformel (fortgesetzt) n Nullte Näherung p 0 (x) p 0 (x) = f(x 0 ) zwischen p 0 (x) f(x) stimmt nur der Funktionswert an der Stelle x 0 überein. Erste (lineare) Nährung p 1 (x) p 1 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) (Tangente an die Funktion f(x) im Punkt x 0 ) der Funktionswert die erste Ableitung sind im Punkt x 0 identisch.

28 Herleitung der Taylorformel (fortgesetzt) n Zweite (quadratische) Nährung p 2 (x) p 2 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 2! p 2 (x) hat zusätzlich die gleiche Krümmung wie f(x) im Punkt x 0. Hieraus lässt sich eine Formel für das n-te Näherungspolynom, das sogenannte Taylorpolynom n-ten Grades entwickeln.

29 n Taylorpolynom Satz (1.5.1) (Satz von Taylor ) Gegeben sei eine in x 0 D (n + 1)-mal stetig differenzierbare Funktion f(x). Dann gilt die Taylor-Formel: (p n (x) =)f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) n! f (n) (x 0 )(x x 0 ) n + R n (x) dem Restglied R n (x) = 1 (n + 1)! f (n+1) (ζ)(x x 0 ) n+1 x D ζ einem Zwischenwert zwischen x x 0.

30 Bemerkungen zur Taylorformel n der Wert von ζ ist nicht näher bekannt das Restglied R n (x) gibt die Abweichung zwischen der Nährungsfunktion p n (x) der Funktion f(x) an; d.h. R n (x) ist ein Maß für den Fehler für R n (x) 0 erhält man die sogenannte Taylorreihe für die Funktion f(x) im Entwicklungspunkt x 0.

31 n Beispiel Gegeben ist die Funktion f(x) = e x. Gesucht ist die Taylorentwicklung im Punkt x 0 = 0. Zur Bestimmung der Taylorreihe wird der Funktionswert f(x 0 ) die Werte der Ableitungen f (x 0 ) = e x, f (x 0 ) = e x,... im Punkt x 0 benötigt. Mit f(0) = 1, f (0) = 1,..., f (n) (0) = 1 folgt f(x) = 1 + x + 1 2! x ! x n! xn +... e x = n=0 1 n! xn Taylorreihe der Funktion e x für alle x R

32 Beispiel (fortgesetzt) n

33 n Beispiel (fortgesetzt) An der Stelle x = 1 ergibt sich die Eulersche Zahl e. Einsetzen in die Taylorformel für f(x) = e x liefert: e 1 = pn (1) = ! n! 1n Mit n = 9: e 1 = 9 n=0 1 n! = Bemerkung: Für eine Genauigkeit von 6 Dezimalstellen werden nur neun Summationsglieder benötigt.

34 n Beispiel Gegeben ist die Funktion f(x) = sin x. Gesucht ist die Taylorentwicklung im Punkt x 0 = 0. Die Ableitungen von f(x) = sin x sind: f (x) = cos x, f (x) = sin x, f (x) = cos x, f (4) (x) = sin x,... Da ergeben sich an der Stelle x 0 = 0 die Werte: f (0) = 1, f (0) = 0, f (0) = 1, f (4) (0) = 0,...

35 n Beispiel (fortgesetzt) Kürzer formuliert: f (2n) (0) = 0 f (2n+1) (0) = ( 1) n Daraus ergibt sich für die Funktion f(x) = sin x folgende Taylorreihe f(x) = x 1 3! x ! x5 1 7! x in Summenschreibweise sin x = n=0 ( 1) n (2n + 1)! x2n+1

36 n - stückweise definierte Eigenschaft der e: Je mehr Messdaten vorhanden sind, umso höher ist der Grad des interpolierenden Polynoms. Daher ist es bei großen Datensätzen in der Praxis nicht möglich, diese beliebig genau durch eine einzelne Funktion f(x) zu approximieren. Alternative: Die Funktion f(x) wird durch stückweise definierte niedrigen Grades, sogenannte definiert. Vorgehen: Die Funktion f(x) soll in einem Intervall [a, b] bestimmt werden. Dazu wird das Intervall [a, b] in n Teilintervalle [x i, x i+1 ] unterteilt a = x 0 < x 1 <... < x n = b

37 n Dann definieren wir eine Funktion g(x), die sich in jedem Teilinterwall [x i, x i+1 ] aus Polynomausdrücken zusammensetzt. g(x) ist eine stückweise definierte Polynomfunktion. Beispiel

38 n Quadratische Beispiel von Messwerten durch stückweise quadratische : Gegeben ist ein Intervall I = [0, 1] die Wertetabelle x f(x) Lösung 54x x x g(x) = 6x x x x 38 3 x 1 g(x) ist eine stückweise definierte Funktion g(x i ) = f(x i ).

39 n Lösung (fortgesetzt) 54x x x g(x) = 6x x x x 38 3 x 1

40 n Problem: g(x) ist nicht überall differenzierbar an den Schnittstellen. : Im gesamten Intervall differenzierbare, stückweise definierte Funktion. Beispiel: Herleitung quadratischer Vorgehensweise zur Bestimmung quadratischer am Beispiel für n = 4 Messpunkte. Es gibt drei Teilintervalle I i = [x i, x i+1 ], i = 1, 2, 3 entsprechend drei quadratische Funktionen g i (x) = a i2 x 2 + a i1 x + a i0, i = 1, 2, 3. Gesucht ist eine Funktion g(x) g(x) = g i (x) für x I i, i = 1, 2, 3.

41 Beispiel: Herleitung quadratischer (fortgesetzt) n

42 n Zur Bestimmung von g(x) müssen die Funktionen g i (x), i = 1, 2, 3 definiert werden; d.h. es müssen die neun Koeffizienten a 12, a 11, a 10, a 22, a 21, a 20, a 32, a 31, a 30 bestimmt werden. Hierzu sind 9 Bedingungen erforderlich: 1. Stetigkeit von g(x) an den Knotenpunkten: g 1 (x 1 ) = f 1, g 2 (x 2 ) = f 2, g 3 (x 3 ) = f 3 g 1 (x 2 ) = f 2, g 2 (x 3 ) = f 3, g 3 (x 4 ) = f 4 2. Differenzierbarkeit von g(x) an den Knotenpunkten: g 1 (x 2) = g 2 (x 2) g 2 (x 3) = g 3 (x 3) 3. Zusätzliche 9. Bedingung, die vorgegeben ist: z.b. g 1 (x 1) = c 1 c 1 f (x 1 ) () = g(x) festgelegt.

43 n Allgemeiner: n Knoten n 1 Intervalle n 1 Parabeln g i (x) Bedingungen: 1. Stetigkeit: g i (x i ) = f i, i = 1,..., n 1 g i (x i+1 ) = f i+1, i = 1,..., n 1 2. Differenzierbarkeit: g i(x i+1 ) = g i+1(x i+1 ), i = 1,..., n 2 Das sind 3n 4 = (n 1) + (n 1) + (n 2) lineare Gleichungen für die Bestimmung der 3n 3 unbekannten Koeffizienten der g 1 (x),..., g n 1 (x).

44 n 3. Zusätzliche Bedingung: g (x 1 ) = c 1 Zu lösen ist ein System aus 3n 3 linearen Gleichungen.

45 n Beispiel Gegeben sind folgende Messpunkte x f(x) die Nebenbedingung g 1 (1) = 0. Gesucht ist die quadratische Spline-Funktion: { g1 (x) = a g(x) = 12 x 2 + a 11 x + a 10 1 x 2 g 2 (x) = a 22 x 2 + a 21 x + a 20 2 x 3

46 n Beispiel (fortgesetzt) Quadratische Spline-Funktion anschaulich:

47 n Lösung Es werden die Ableitungen g 1 (x) g 2 (x) benötigt: g 1(x) = 2a 12 x + a 11 g 2(x) = 2a 22 x + a Stetigkeit: g 1 (1) = 2 g 2 (2) = 3 g 1 (2) = 3 g 2 (3) = 5 2. Differenzierbarkeit: 3. Zusätzliche Bedingung: g 1(2) = g 2(2) g 1(1) = 0

48 n Lösung (fortgesetzt) Aus drei der Bedingungen kann ein Gleichungssystem für die Koeffizienten a 12, a 11 a 10 der Funktion g 1 (x) aufgestellt werden. a 12 + a 11 + a 10 = 2 4a a 11 + a 10 = 3 2a 12 + a 11 = 0 Mit dem Gaußalgorithmus: a 10 = 3, a 11 = 2, a 12 = 1 g 1 (x) = x 2 2x + 3

49 n Lösung (fortgesetzt) Aus den übrigen drei Bedingungen kann ein Gleichungssystem für die Koeffizienten a 22, a 21 a 20 der Funktion g 2 (x) aufgestellt werden. 4a a 21 + a 20 = 3 9a a 21 + a 20 = 5 4a 22 + a 21 = 2 Mit dem Gaußalgorithmus: a 20 = 1, a 21 = 2, a 22 = 0 g 2 (x) = 2x 1

50 n Kubische Bemerkung: Die quadratischen besitzen an den Punkten, an denen die Teilintervalle zusammenstoßen, im allgemeinen keine zweite Ableitung. Hierzu benötigt man dritten Grades, sogenannte kubische. Diese sind auf dem ganzen Intervall zweimal stetig differenzierbar. Vorgehensweise: analog wie im Fall der quadratischen, d.h. für die Koeffizienten der kubischen wird ein Gleichungssystem aufgestellt. Alternative: Die gesuchte Funktion wird als Linearkombination aus kubischen Basis- (B-) ausgedrückt.

51 n Kubische Kubische finden unter anderem in der graphischen Datenverarbeitung Einsatz, da sie vom Menschen subjektiv als glatt empfen werden. Computermodell eines menschlichen Kopfes

52 Kubische n Gegeben sind n Knoten x 1,..., x n. Ein kubischer Spline ist eine glatte Kurve, die durch die gegebenen Punkte verläuft in jedem Teilstück durch eine kubische Parabel g i (x) = a i3 x 3 + a i2 x 2 + a i1 x + a i0 geeigneten Koeffizienten a i3, a i2, a i1 a i0 definiert ist. Zu jedem Abschnitt gibt es also 4 Unbekannte. Bei n 1 Abschnitten (d.h. n Knoten) müssen 4(n 1) Unbekannte durch Lösen eines Gleichungssystems bestimmt werden.

53 n Vorgehensweise: An den Knoten werden folgende Bedingungen formuliert: die Funktionswerte sowie die Werte der ersten zweiten Ableitungen der angrenzenden Teilkurven müssen übereinstimmen. Bedingungen: Stetigkeit: g i (x i ) = f i, i = 1,..., n 1 g i (x i+1 ) = f i+1, i = 1,..., n 1 Differenzierbarkeit 1. Ableitung: Gleiche Steigung g i(x i+1 ) = g i+1(x i+1 ), i = 1,..., n 2 Differenzierbarkeit 2. Ableitung: Gleiche Krümmung g i (x i+1 ) = g i+1(x i+1 ), i = 1,..., n 2

54 n Das sind (4n 6) = (n 1) + (n 1) + (n 2) + (n 2) lineare Gleichungen für die Bestimmung der (4n 4) unbekannten Koeffizienten der kubischen g 1 (x),..., g n 1 (x). Also ist die Interpolationsaufgabe für kubische unterbestimmt, so dass zwei zusätzliche Freiheitsgrade zur Verfügung stehen. Durch weitere Zusatzbedingungen lässt sich die Eindeutigkeit herstellen.

55 Randbedingungen für kubische n Natürliche Randbedingungen: Die zweite Ableitung des am Anfangs- Endpunkt wird Null gesetzt. Das bewirkt, dass der Spline eine minimale Gesamtkrümmung hat. g 1(x 1 ) = 0 g n 1(x n ) = 0 Vorgabe von Randableitungen: Die erste Ableitung am Anfangs- Endpunkt wird vorgegeben. g 1(x 1 ) = c l g n 1(x n ) = c r

56 n Spline-Interpolation Erstellen einer Geschwindigkeitskurve: Gemessen sind die Zeiten eines Sprintläufers an verschiedenen charakteristischen Messpunkten, z.b. nach 5m, 15m, 30m, 75m, 85m 100m. Strecke in m Zeit in sec 5 1,5 15 2,5 30 4,6 75 9, ,5 Durch eine Spline-Interpolation läßt sich eine Geschwindigkeitskurve aufstellen berechnen, nach wieviel Seken der Läufer z.b. die 50-Meter-Marke erreicht hat.

57 n Spline-Interpolation (fortgesetzt) Beispielprogramm

58 n Beispiel Gegeben sind folgende Messpunkte x f(x) es soll die natürliche Randbedingung angesetzt werden, d.h. g 1 (x 1) = 0 g n 1 (x n) = 0. Gesucht ist die kubische Spline-Funktion: g(x) = { g1 (x) = a 13 x 3 + a 12 x 2 + a 11 x + a 10 0 x 1 g 2 (x) = a 23 x 3 + a 22 x 2 + a 21 x + a 20 1 x 2

59 n Lösung Es werden die Ableitungen g 1 (x), g 2 (x) g 1 (x), g 2 (x) benötigt: g 1(x) = 3a 13 x 2 + 2a 12 x + a 11, g 1(x) = 6a 13 x + 2a 12 g 2(x) = 3a 23 x 2 + 2a 22 x + a 21, g 2(x) = 6a 23 x + 2a Stetigkeit: 2. Differenzierbarkeit: g 1 (0) = 4 g 2 (1) = 1 g 1 (1) = 1 g 2 (2) = 2 g 1(1) = g 2(1) g 1(1) = g 2(1) 3. Natürliche Randbedingungen: g 1(0) = 0 g 2(2) = 0

60 n Lösung (fortgesetzt) Aus diesen 8 Bedingungen kann ein Gleichungssystem für die 8 Koeffizienten a 13, a 12,..., a 21, a 20 der beiden kubischen Funktionen g 1 (x) g 2 (x) aufgestellt werden: a 13 = 1, a 12 = 0, a 11 = 4, a 10 = 4 a 23 = 1, a 22 = 6, a 21 = 10, a 20 = 6 g 1 (x) = x 3 4x + 4 g 2 (x) = x 3 + 6x 2 10x + 6.

61 n Alternative: Kubische Basis- (B-) Eine kubische Spline-Funktion wird als Linearkombination der Basis- dargestellt. Definition Seien x 1,..., x n äquidistante Punkte Abstand h. Dann ist der um x i zentrierte kubische B-Spline B i definiert durch: 1 4h 3 (x x i 2) 3, x i 2 x x i h (x x i 1) + 3 4h 2 (x x i 1) 2 3 4h 3 (x x i 1) 3, x i 1 x x i h (x i+1 x) + 3 4h 2 (x i+1 x) 2 3 4h 3 (x i+1 x) 3, x i x x i+1 1 4h 3 (x i+2 x) 3, x i+1 x x i+2 0, sonst

62 n Darstellung des kubischen B-

63 n Kubische B- Eigenschaften: B i (x i ) = 1, B i (x i±1 ) = 1 4 Vorgehensweise: B i (x i±2 ) = 0 Gesucht ist ein kubischer Spline c(x), der durch die gegebenen Knoten verläuft, d.h. c(x i ) = f i, i = 1,..., n Lösungsansatz: c(x) wird als Linearkombination der B- dargestellt n c(x) = α i B i. i=1

64 Kubische B- (fortgesetzt) n Da B i (x j ) = 0 für i j 2, führen die Bedingungen c(x i ) = f i, i = 1,..., n auf: α 1 B 1 (x 1 ) + α 2 B 2 (x 1 ) = f 1 α 1 B 1 (x 2 ) + α 2 B 2 (x 2 ) + α 3 B 3 (x 2 ) = f 2.. α n 2 B n 2 (x n 1 ) + α n 1 B n 1 (x n 1 ) + α n B n (x n 1 ) = f n 1 α n 1 B n 1 (x n ) + α n B n (x n ) = f n Dies ist ein lineares Gleichungssystem zur Berechnung der Linearfaktoren α i.

65 n Mit B i (x i ) = 1, B i (x i±1 ) = 1 4 ergibt sich die Matrixschreibweise: 4 1 α 1 f α = f α n f n Dieses System besitzt eine eindeutige Lösung für die Koeffizienten α i. So gibt es eine Lösung für die kubische Splinefunktion c(x) c(x i ) = f i. c(x) ist ein kubisches Polynom, das es sich als Linearkombination kubischer Funktionen ergibt.