Spline-Interpolation

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1 Spline-Interpolation Tim Schmölzer 20 November 2009 Tim Schmölzer Spline-Interpolation 20 November / 38

2 Übersicht 1 Vorbemerkungen 2 Lösbarkeit des Interpolationsproblems 3 Stabilität der Interpolation 4 Kubische Spline-Interpolation Tim Schmölzer Spline-Interpolation 20 November / 38

3 Grenzen der Polynominterpolation (11) Beispiel: Runge n = 4 20 n = y 10 y K4 K x K05 K4 K x K05 Abbildung: Polynom-Interpolation der Rungefunktion mit n = 4 und n = 10 Tim Schmölzer Spline-Interpolation 20 November / 38

4 Bezeichnungen (12) Bezeichnungen Stützstellen: (τ i ) n i=1, streng monoton wachsend Knotenfolge: (t i ) n+k i=1, monoton wachsend, mit t i < t i+k i Vielfachheiten µ(τ i ) < k i Splinefunktion: S(x) = n j=1 c jn j,k (x) (13) Bemerkung Wenn Verwechslungen ausgeschlossen sind, bezeichnen wir N j,k kurz mit N j Tim Schmölzer Spline-Interpolation 20 November / 38

5 Das Interpolationsproblem (14) Definition Die folgende Problemstellung bezeichnen wir künftig als das Interpolationsproblem, kurz: IP Zu gegebenen Stützstellen τ 1,, τ n und Daten f (τ 1 ),, f (τ n ) bestimme die Koeffizienten c 1,, c n so, dass S(τ i ) = n c j N j (τ i ) = f (τ i ) j=1 Tim Schmölzer Spline-Interpolation 20 November / 38

6 Die Kollokationsmatrix (21) Definition Die Matrix N 1,k (τ 1 ) N n,k (τ 1 ) A := (N j,k (τ i )) n i,j=1 := N 1,k (τ n ) N n,k (τ n ) nennen wir Kollokationsmatrix zum Interpolationsproblem IP (22) Bemerkung c = (c 1,, c n ) löst das IP genau dann, wenn c Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = f (τ) ist Insbesondere ist das Interpolationsproblem genau dann eindeutig lösbar, wenn A invertierbar ist Tim Schmölzer Spline-Interpolation 20 November / 38

7 Ein notwendiges Kriterium (23) Lemma Ist das Interpolationsproblem eindeutig lösbar, so folgt: τ j (t j, t j+k ) für alle 1 j n Beweis Angenommen τ j / (t j, t j+k ) für ein j, etwa t j+k τ j Dann gilt für alle r j s auch t r+k τ s Wegen des lokalen Trägers der B-Splines: N r,k (τ s ) = 0 Die ersten j Spaltenvektoren der Kollokationsmatrix sind also linear abhängig Die Kollokationsmatrix ist nicht invertierbar, das IP also nicht eindeutig lösbar Tim Schmölzer Spline-Interpolation 20 November / 38

8 Der Satz von Schoenberg und Whitney (1) (24) Satz (Schoenberg-Whitney) Das Interpolationsproblem ist eindeutig lösbar τ j (t j, t j+k ) für alle 1 j n Anmerkungen zum Beweis Wir müssen nur noch zeigen Die andere Richtung war (23) Blockdreiecksmatrizen sind invertierbar Diagonalblöcke sind invertierbar Satz von Rolle: Ist eine Funktion f auf [a, b] stetig und auf (a, b) differenzierbar und gilt f (a) = f (b), so existiert ein x 0 (a, b) mit f (x 0 ) = 0 Tim Schmölzer Spline-Interpolation 20 November / 38

9 Die Rolle der Kollokationsmatrix (31) Erinnerung Es gilt C 1 k c c j N j,k c (32) Bemerkung Es gilt c = A 1 f (τ) A 1 f (τ) A 1 f ; die Stabilität der Interpolation ist also umso besser, je kleiner A 1 wird (33) Bemerkung Auch der Einfluss von f (τ i ) auf die Interpolierende hängt quantitativ von A 1 ab Tim Schmölzer Spline-Interpolation 20 November / 38

10 Ein technisches Lemma (34) Lemma Es sei (a i ) i 0 eine Folge, a i 0 für alle i Existieren dann c > 0, m N mit a i c a k m, dann gilt die Abschätzung i k a k ( c ) k c + 1 m i 0 a i Tim Schmölzer Spline-Interpolation 20 November / 38

11 Der Satz von Demko (35) Satz (Demko) Es sei A = (a ij ) i,j C n n eine invertierbare Bandmatrix mit Bandbreite m Es gelte A q 1 und A 1 q µ 1 für ein 1 q und ein µ > 0 Dann existiert eine nur von der Bandbreite m und µ abhängige Konstante c > 0 und ein λ [0, 1) mit (A 1 ) i,j c λ i j für alle i, j Bemerkungen zum Beweis A q = A q, wobei A = (ā ji ) i, j die Adjungierte von A ist q 1 Da die Adjungierte immer noch eine Bandmatrix mit Bandbreite m ist, genügt es den Fall 1 q 2 zu betrachten Tim Schmölzer Spline-Interpolation 20 November / 38

12 Minoren (1) (36) Definition Sei B C n n, r N, I = (i 1 < < i r ), J = (j 1 < < j r ) Der Minor ( ) ( ) i1,, i B r I := B := det (B j 1,, j r J i,j ) i I,j J ist die Determinante derjenigen Untermatrix von B, die entsteht, wenn man alle Zeilen i / I und alle Spalten j / J streicht (37) Beispiel ( ) ( ) B = , B = det Tim Schmölzer Spline-Interpolation 20 November / 38

13 Minoren (2) (38) Bemerkung Ein Minor der Kollokationsmatrix ist nur dann ungleich Null, wenn die dazugehörigen Diagonalelemente alle ungleich Null sind Beweis Die Argumentation gleicht der aus Lemma (21), wobei man hier Untermatrizen der Kollokationsmatrix betrachtet Tim Schmölzer Spline-Interpolation 20 November / 38

14 Total positive und schachbrettartige Matrizen (39) Defintion Eine Matrix B heisst total positiv, wenn alle Minoren nichtnegativ sind schachbrettartig, wenn ( 1) i+j B i,j 0 für alle i, j (310) Lemma Ist B total positiv und invertierbar, dann ist B 1 schachbrettartig Beweis Es sei I j := (1,, j 1, j + 1,, n) Dann benutze die Cramersche Regel: (B 1 ) i,j = ( 1) i+j B ( Ij I i det B Tim Schmölzer Spline-Interpolation 20 November / 38 )

15 Eine erste Abschätzung (311) Korollar Gilt für eine total positive invertierbare Matrix B und einen Vektor x = (x 1,, x n ) T d := min( 1) i (Bx) i > 0, i so gilt auch die Abschätzung B 1 x d Tim Schmölzer Spline-Interpolation 20 November / 38

16 Beweis der Abschätzung Beweis x i = (B 1 ) i,j (Bx) j j = ( 1) j (B 1 ) i,j ( 1) j (Bx) j j = (B 1 ) i,j ( 1) j (Bx) j j j (B 1 ) i,j d max x i (B 1 ) i,j d (B 1 ) i,j x d Tim Schmölzer Spline-Interpolation 20 November / 38

17 Verfeinerungen von Knotenfolgen (312) Definition Eine Knotenfolge ist eine Verfeinerung der Knotenfolge T, wenn T eine Teilfolge von ist (313) Lemma Es sei = (δ i ) N+k i=1 eine Verfeinerung der Knotenfolge Θ = (θ i ) n+k i=1 ; Insbesondere sei θ j = δ l θ j+k = δ m+k (und m j, da Θ ) Dann sind die B-Splines N j,k,θ von der Form N j,k,θ = α j,k (i)n i,k, und es gilt: supp α j [l, n], α j,k 0 wobei (δ l,, δ n+k ) der kleinste Abschnitt von ist, der die Punkte θ j,, θ j+k enthält Tim Schmölzer Spline-Interpolation 20 November / 38

18 Die Totalpositivität der Kollokationsmatrix (314) Satz Die Kollokationsmatrix A = (N j,k,t (τ i )) i,j ist total positiv Beweis (1) Für geeignetes J = (j 1 < < j r ) ist ( jeder Minor ) der 1,, r Kollokationsmatrix von der Form A, oder kann durch J Umnummerierung der τ j auf diese Form gebracht werden Wir verfeinern die Knotenfolge durch Hinzufügen eines Knotens δ ν zu := (, t ν 1, δ ν, t ν, ) N j,k,t = α j,k (i)n i,k, supp α j,k [j, j + 1], α j 0 Tim Schmölzer Spline-Interpolation 20 November / 38

19 Die Totalpositivität der Kollokationsmatrix (2) Beweis (2) Aus der Spaltenlinearität der Determinante erhalten wir: ( ) 1,, r A = det( N J j ) ( ) = det α j,k (i)n i,k, i = i 1 i r α j1,k(i 1 ) α jr,k(i r ) A ( 1,, r i 1,, i r ), wobei ( ) A 1,, r = det( N i 1,, i ij,k, ) r Tim Schmölzer Spline-Interpolation 20 November / 38

20 Die Totalpositivität der Kollokationsmatrix (3) Beweis (3) Die α jµ,k, 1 µ < n, sind nur dann ungleich 0, wenn i µ [j µ, j µ + 1] supp α jµ Da J geordnet ist gilt i µ i µ+1 Es genügt den Fall i µ < i µ+1 zu betrachten Wir erhalten also: ( ) 1,, r A = J I geordnet ( ) α J (I )A 1,, r I Wiederholtes Hinzufügen eines Knotens liefert das gleiche Ergebnis für beliebige Verfeinerungen Tim Schmölzer Spline-Interpolation 20 November / 38

21 Die Totalpositivität der Kollokationsmatrix (4) Beweis (4) Sei U eine Verfeinerung von T, sodass in U mindestens k Knoten zwischen τ i und τ i+1 liegen Dann folgt: N j,k,u (τ i ) 0 N j,k,u (τ j ) = 0 für i j ( ) 1,, r Jede Spalte von A hat höchstens einen Eintrag ungleich 0 I Dieser ( Eintrag ) muss auf der Diagonalen liegen, wenn 1,, r A 0 I ( ) 1,, r Dann gilt aber auch A = r I µ=1 N i µ (τ µ ) > 0 ( ) 1,, r In jedem Fall ist A 0 und daraus folgt die Behauptung I Tim Schmölzer Spline-Interpolation 20 November / 38

22 Grenzbetrachtung (315) Bemerkung Die Grösse von A 1 hängt sehr stark von t und τ ab Wir betrachten die Grenzfälle τ j τ j 0? { t j t j+k A 1 Tim Schmölzer Spline-Interpolation 20 November / 38

23 Eine Abschätzung nach unten Herleitung Es sei g := Pf := c j N j der Spline mit g(τ i ) = ( 1) i Dann gilt A 1 = c ZWS liefert die Existenz eines ξ [τ i, τ i+1 ] mit g (ξ) = ( 1) i+1 2 τ i = g(τ i) τ i = (k 1) c j c j 1 N j,k 1 (ξ) t j+k 1 t j ( ) 1 (k 1) 2 c max N j,k 1 (ξ) 0 t j+k 1 t j Tim Schmölzer Spline-Interpolation 20 November / 38

24 Eine Abschätzung nach unten (2) Direkte Folgerung daraus ist die folgende Abschätzung: (316) Satz A 1 1 k 1 max i { } tj+k 1 t j min [t j, t j+k 1 ] [τ i, τ i+1 ] j τ i+1 τ i Tim Schmölzer Spline-Interpolation 20 November / 38

25 Kubische Spline-Interpolation Grundsituation Interpolation mit Splines der Ordnung k = 4 an Daten f (τ 1 ),, f (τ n ), wobei a = τ 1 < < τ n = b eine Zerlegung des Intervalls [a, b] ist Die Interpolante S soll in jedem [τ j, τ j+1 ] mit einem kubischen Polynom übereinstimmen Tim Schmölzer Spline-Interpolation 20 November / 38

26 Interpolationsbedinungen Grundsituation (2) Das i-te Polynomstück P i soll die folgenden Interpolationsbedingungen erfüllen P i (τ i ) = f (τ i ), P i (τ i+1 ) = f (τ i+1 ) P i (τ i) = s i, sind P i (τ i+1) = s i+1 wobei s 1,, s n hier freie Parameter Unabhängig von diesen Steigungen stimmt S in den τ j mit f überein und ist auf [a, b] stetig differenzierbar Tim Schmölzer Spline-Interpolation 20 November / 38

27 Herleitung der kubischen Spline-Interpolation Herleitung Newtonform: P i (x) =P i (τ i ) + (x τ i )[τ i, τ i ]P i + (x τ i ) 2 [τ i, τ i, τ i+1 ]P i + (x τ i ) 2 (x τ i+1 )[τ i, τ i, τ i+1, τ i+1 ]P i Das Schema der dividierten Differenzen liefert P i (x) = c 1,i + c 2,i (x τ i ) + c 3,i (x τ i ) 2 + c 4,i (x τ i ) 3 c 1,i = P i (τ i ) = f (τ i ), c 2,i = P i (τ i ) = s i, c 3,i = ([τ i, τ i+1 ]f s i ) τ i c 4,i τ i, c 4,i = 1 6 P i (τ i ) = s i + s i+1 2[τ i, τ i+1 ]f ( τ i ) 2 Tim Schmölzer Spline-Interpolation 20 November / 38

28 Kubische C 2 -Interpolation Bestimmung der s 2,, s n 1 durch C 2 -Glattheitsforderung P i 1 (τ i) = P i (τ i) Einsetzen der vorherigen Gleichungen liefert: s i 1 τ i + s i 2( τ i 1 + τ i ) + s i+1 τ i 1 = b i Die rechte Seite ist nicht von den s i abhängig Sind s 1 und s n schon bestimmt, erhalten wir ein LGS in Tridiagonalgestalt Tim Schmölzer Spline-Interpolation 20 November / 38

29 Randbedingungen (41) Definition Vollständige Interpolation: s 1 = f (τ 1 ) und s n = f (τ n ) Natürliche Randbedingungen: S (τ 1 ) = S (τ 2 ) = 0 not-a-knot-bedingungen: P 1 = P 2 und P n 1 = P n Tim Schmölzer Spline-Interpolation 20 November / 38

30 Approximation der Rungefunktion mit Spline-Interpolation (42) Beispiel: Runge y 06 y K4 K x K02 K4 K x K02 Abbildung: kubische C 2 -Interpolation der Rungefunktion (not-a-knot-randbedingungen) an 5 bzw 10 Stützstellen Tim Schmölzer Spline-Interpolation 20 November / 38

31 Die Krümmung einer Kurve (43) Definition Für den Graphen eine Funktion g : [a, b] R ist die Krümmung im Punkt (x, g(x)) definiert durch: κ g (x) = (1 + g (x) 2 ) 3 2 (44) Bemerkung Die Krümmung beschreibt tatsächlich die Stärke der Richtungsänderung über die Bogenlänge Die obige Charakterisierung lässt sich mit einigen differentialgeometrischen Hilfsmitteln (Frenet-Gleichungen) herleiten g Tim Schmölzer Spline-Interpolation 20 November / 38

32 Eine Extremaleigenschaft (45) Bemerkung Den Graph der Funktion kann man sich als eine dünne Holzlatte vorstellen Deren Biegeenergie ist: E = 1 2 a κ g (x) 2 dx Für kleine Auslenkungen: E 1 b 2 a g (x) 2 dx (46) Satz Es sei S die kubische Spline-Interpolierende zu den Daten von oben mit natürlicher oder vollständiger Interpolation an den Rändern Dann gilt: b für jede andere Interpolierende f a b S (x) 2 dx b a f (x) 2 dx Tim Schmölzer Spline-Interpolation 20 November / 38

33 Grenzen der Spline-Interpolation x Tim Schmölzer Spline-Interpolation 20 November / 38

34 Zusammenfassung Ein wichtiges Werkzeug: Die Kollokationsmatrix eines Interpolationsproblems Existenz und Eindeutigkeit: Der Satz von Schoenberg und Whitney Stabilitätsanalyse: Die Rolle von A 1 Totalpositivität der Kollokationsmatrix In der Praxis: Kubische C 2 -Interpolation Herkunft des Namen Spline: Eine Extremaleigenschaft für kubische Spline-Interpolierende Tim Schmölzer Spline-Interpolation 20 November / 38