Kapitel 12. Lineare Abbildungen und Matrizen

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1 Kapitel 12 Lineare Abbildungen und Matrizen

2 Lineare Abbildungen f : R n R m Wir wissen schon: Eine lineare Abbildung f : R n R m ist eindeutig durch ein n-tupel von Vektoren v 1, v 2,, v n des R m bestimmt Die Vektoren v k sind ihrerseits m-tupel reeller Zahlen, haben somit die Form v k = a 1k a 2k a mk, k = 1,, n Die lineare Abbildung f ist daher umkehrbar eindeutig durch das Schema A = a 11 a 12 a 1 n 1 a 1n a 21 a 22 a 2 n 1 a 2n a m1 a m2 a m n 1 a mn aus m n Skalaren bestimmt, dessen Spalten (vertikal) gerade die Vektoren v 1, v 2,, v n sind Wir nennen A eine m n-matrix 1

3 Lineare Abbildungen und Matrizen Wegen der großen Wichtigkeit formulieren wir dieses Faktum erneut: Satz Eine lineare Abbildung f : R n R m entspricht eins-zu-eins einem n-tupel von Spaltenvektoren des R m, daher umkehrbar eindeutig einer m n-matrix A mit skalaren Einträgen (a) Ist die lineare Abbildung f gegeben, so ist A diejenige Matrix, deren Spalten der Reihe nach die Bilder f(e 1 ), f(e 2 ),, f(e n ) der Vektoren der Standardbasis des R n sind (b) Ist umgekehrt die m n-matrix A gegeben und sind v 1,, v n R m ihre Spalten, x 1 so ist die zugehörige lineare Abbildung durch die Vorschrift f x 2 = n i=1 x iv i x n bestimmt 2

4 Eine m n-matrix A = Matrixterminologie a 11 a 12 a 1 n 1 a 1n a 21 a 22 a 2 n 1 a 2n a m1 a m2 a m n 1 a mn besteht aus m Zeilen (horizontal) und n Spalten (vertikal) Abkürzende Schreibweise: A = (a ik ) Der Koeffizient a ik steht im Schnitt von i-ter Zeile und k-ter Spalte Die n Spalten s 1, s 2,, s n sind Mitglieder des R m Die m Zeilen z 1, z 2,, z m sind Mitglieder des R n Hinweis Je nach Sachlage ist es vorteilhafter, den Spalten- oder den Zeilenaufbau einer Matrix zu verwenden Hier ist die 2-te Zeile rot markiert 3

5 Matrixformulierung früherer Ergebnisse Satz Gegeben sei eine m n-matrix A mit den Spalten v 1, v 2,, v n Für die durch A gegebene lineare Abbildung f : R n R m, x 1 x 2 x n x 1v 1 + x 2 v x n v n gilt (1) f ist genau dann injektiv, wenn die Spalten von A im R m linear unabhängig sind (2) f ist genau dann surjektiv, wenn die Spalten von A ein Erzeugendensystem des R m bilden (3) f ist genau dann ein Isomorphismus, wenn m = n und die Spalten von A eine Basis von R n bilden 4

6 Rang einer Matrix Satz Sei A eine m n-matrix mit den Spalten v 1, v 2,, v n Der Rang der durch A gegebenen linearen Abbildung f : R n R m, x 1 x 2 x n x 1v 1 + x 2 v x n v n stimmt mit der Dimension von v 1, v 2,, v n überein Diese Dimension nennen wir den Rang der Matrix A Bezeichnung: rg(a) Beweis Nach Definition ist rg(f) die Dimension von Bild(f) = v 1, v 2,, v n Dessen Dimension ist nach (obiger) Definition der Rang der Matrix A 5

7 Kern einer linearen Abbildung Die Injektivität einer linearen Abbildung f : V W ist einfach an ihrem Kern abzulesen, der ein Unterraum von V ist Definition Unter dem Kern K einer linearen Abbildung f : V W verstehen wir die Menge f 1 ({0}) = {v V f(v) = 0} Bezeichnung: Kern(f) Satz Eine lineare Abbildung f : V W ist genau dann injektiv, wenn Kern(f) = {0} ist Beweis (a) Wir nehmen an, dass f injektiv ist In diesem Fall folgt für jedes v Kern(f), dass f(v) = 0 = f(0), wegen der Injektivität also v = 0 gilt (b) Wir nehmen an, dass Kern(f) = {0} ist und nehmen an, dass f(v 1 ) = f(v 2 ) und damit f(v 1 v 2 ) f linear = 0, somit v 1 v 2 Kern(f) = {0} gilt Es folgt v 1 = v 2 und damit die Injektivität von f 6

8 Der Kern von f ist ein Unterraum Die Behauptung ist ein Spezialfall (U = {0}) des folgenden Satzes: Satz Sei f : V W linear und U ein Unterraum von W Dann ist das Urbild U := f 1 (U) von U ein Unterraum von V Beweis Wegen f(0 V ) = 0 W gehört 0 V zu U, somit ist (U1) erfüllt Seien nun v 1 und v 2 in U gelegen, somit f(v 1 ), f(v 2 ) U Dann ist (Linearität von f) f(v 1 + v 2 ) = f(v 1 ) + f(v 2 ) in U gelegen Es ist somit (U2) erfüllt Schließlich seien v in U gelegen und a ein Skalar Es folgt f(av) = af(v) U und somit av U Dies zeigt (U3) 7

9 Analyse einer linearen Abbildung Die Eigenschaften einer linearen Abbildung f : V W werden stark von den beiden mit ihr verbundenen Unterräumen Kern(f) und Bild(f) und ihren Dimensionen bestimmt Wir richten unser Augenmerk daher auf: den Kern von f, welcher ein Unterraum von V ist; das Bild von f, welches ein Unterraum von W ist Die Dimensionen von Kern(f) und Bild(f), insbesondere also der Rang von f, geben wichtige Auskunft über f Wir werden gleich sehen, wie aus der Kenntnis des Rangs von f sich auch die Dimension von Kern(f) ermitteln lässt und umgekehrt 8

10 Der Rangsatz für lineare Abbildungen Satz [Rangsatz] Sei f : V W eine lineare Abbildung Dann gilt dim V = dim Kern(f) + dim Bild(f), also gleichbedeutend dim Kern(f) = dim V rg(f) Da uns in der Regel bei gegebenem f die Dimension von V (und auch die von W ) bekannt ist, bestimmen sich folglich die Dimensionen von Kern(f) und Bild(f) wechselseitig Als Regelbezeichnung hat sich hier der Rang von f durchgesetzt Manchmal ist von der Dimension von Kern(f) als dem Defekt von f die Rede 9

11 Beweis des Rangsatzes Wir nehmen an, dass V und W endlichdimensional sind Es folgt dann (Beweis später), dass Kern(f) und Bild(f) ebenfalls endliche Dimension haben Beweis Seien (e 1, e 2,, e p ) eine Basis von Kern(f) und (g 1, g 2,, g q ) eine Basis von Bild(f) Im ersten Schritt wählen wir für jedes g i (1 i q) ein Urbild f i aus V Wir behaupten, dass B := (e 1, e 2,, e p, f 1, f 2,, f q ) eine Basis von V ist, woraus der Rangsatz sofort folgt 10

12 (1) B ist linear unabhängig: Aus (a 1 e 1 + a 2 e a p e p ) + (b 1 f 1 + b 2 f b q f q ) = 0 folgt durch Anwendung von f, dass b 1 g 1 + b 2 g b q g q = 0 und dann alle b j verschwinden, da die g j s eine Basis bilden Es ergibt sich nunmehr a 1 e 1 + a 2 e a p e p = 0, woraus das Verschwinden auch der a i folgt (2) B ist ein Erzeugendensystem von V : Sei v V, somit f(v) Bild(f) = g 1, g 2,, g q Wir erhalten also f(v) = b 1 g b q g q = f(b 1 f b q f q ) mit geeigneten Skalaren b j Es folgt somit ist f(v (b 1 f 1 + b 2 f b q f q )) = 0, v (b 1 f 1 + b 2 f b q f q ) in Kern(f) gelegen, daher von der Form a 1 e 1 + a 2 e a p e p mit geeigneten Skalaren a i Zusammengefasst: v = (a 1 e 1 + a 2 e a p e p ) + (b 1 f 1 + b 2 f b q f q ) 11