Lineare Algebra I (WS 12/13)

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1 Lineare Algebra I (WS 2/3) Bernhard Hanke Universität Augsburg Bernhard Hanke / 3

2 Matrizen und Lineare Abbildungen Es seien lineare Abbildungen, d.h. Matrizen gegeben. B = (b jk ) : R r R n, A = (a ij ) : R n R m Welche Matrix C in R m r entspricht der Komposition f A f B : R r R m der durch A und B definierten linearen Abbildungen? Dies ist die Matrix mit k-te Spalte: b k n j= f C (e k ) = f A (f B (e k )) = f A. a jb jk. =.. n j= a mjb jk b nk Bernhard Hanke 2 / 3

3 Matrixmultiplikation Definition Es seien A = (a ij ) R m n und B = (b jk ) R n r. Dann ist die Produktmatrix A B R m r definiert als die Matrix C = (c ik ) i m, k r, wobei c ik = n a ij b jk. j= Es gilt also die Merkregel Der (ik)-te Eintrag von A B entsteht durch Multiplikation der i-ten Zeile von A mit der k-ten Spalte von B. Bernhard Hanke 3 / 3

4 Matrixmultiplikation Bemerkung das Produkt A B nur dann gebildet werden kann, wenn die Anzahl der Spalten von A gleich der Anzahl der Zeilen von B ist. Das Produkt A B R r m genau der Verkettung f A f B : R r R m der durch A und B gegebenen linearen Abbildungen. Bernhard Hanke 4 / 3

5 Matrixmultiplikation: Beispiel Beispiel Es sei A R m n. Durch die Vorschrift n j= a jx j x = x. x n. n j= a mjx j wird eine lineare Abbildung R n R m definiert. Fassen wir den Vektor x als (n )-Matrix auf, ist durch die folgende übersichtliche Formel gegeben: x. x n A x. x n. Bernhard Hanke 5 / 3

6 Darstellende Matrizen Es sei B = (v,..., v n ) eine Basis von V, C = (w,..., w m ) eine Basis von W und f : V W eine lineare Abbildung. Seien Φ B : R n V und Φ C : R m W die entsprechenden Koordinatensysteme. Die Abbildung Φ C f Φ B : R n R m ist linear und kann somit durch eine Matrix A R m n dargestellt werden. Definition Die Matrix A heißt die darstellende Matrix von f bezüglich der Basen B (von V ) und C (von W ). Sie wird auch mit MC B (f ) bezeichnet. Bernhard Hanke 6 / 3

7 Darstellende Matrizen (Fortsetzung) Die Spalten der darstellenden Matrix A = (a ij ) sind durch die folgende Gleichung bestimmt: f (v j ) = m a ij w i, j n. i= Wir erhalten also die folgende Merkregel: Die j-te Spalte der darstellenden Matrix ist der Koordinatenvektor bezüglich C des Bildes des j-ten Basisvektors von B. Bernhard Hanke 7 / 3

8 Die Matrix MC B (f ) hat also die Eigenschaft, dass das folgende Diagramm von Vektorräumen und linearen Abbildungen kommutiert: R n MB C (f ) R m = Φ B V f = Φ C W Bemerkung Wir werden in MC B (f ) manchmal auf die hoch- und tiefgestellten Indizes verzichten, wenn klar ist, bezüglich welcher Basen wir arbeiten. Betrachten wir eine Matrix A R m n als lineare Abbildug R n R m, so ist A die darstellende Matrix dieser linearen Abbildung bezüglich der kanonischen Basen von R m und R n. Bernhard Hanke 8 / 3

9 Beispiel Es seien die Basen B = 0 0, 0, von R 3 und C = (( 0 ) (, von R 2 gegeben. Dann ist die darstellende Matrix der linearen Abbildung ( ) 2 0 A := : R 3 R 2 0 )) bezüglich dieser Basen gegeben durch die Matrix ( ) Bernhard Hanke 9 / 3

10 Darstellende Matrizen und Komposition Proposition Es seien U, V und W endlichdimensional, es seien Basen B von U, C von V und D von W gewählt, und es seien f : U V, g : V W linear. Es seien A und B die darstellenden Matrizen von f und g bzgl. der gewählten Basen. Dann wird die lineare Abbildung g f : U W bezüglich der Basen B und D durch die Matrix B A dargestellt. In Kurzschreibweise: M C D(g) M B C (f ) = M B D(g f ). Bernhard Hanke 0 / 3

11 Zwei grundliegende Probleme lauten: Seien V und W endlichdimensionale reelle Vektorräume und f : V W linear. Man wähle Basen von V und W, so dass die entsprechende darstellende Matrix von f besonders einfache Gestalt hat. Es sei V ein endlichdimensionaler reelle Vektorraum. Man wähle eine Basis von V, so dass die entsprechende darstellende Matrix einer gegebenen linearen Abbildung f : V V eine besonders einfache Gestalt hat. Bernhard Hanke / 3

12 Satz (Normalform linearer Abbildungen) Es seien V und W endlichdimensionale R-Vektorräume, n = dim V, m = dim W, und es sei f : V W linear. Dann existieren Basen von V und von W, so dass bezüglich dieser Basen die Abbildung f durch eine Matrix der Form ( ) Er 0 R m n 0 0 dargestellt wird, wobei r = rang(f ) := dim Bild(f ). Bernhard Hanke 2 / 3

13 Koordinatentransformation Definition Es sei V ein endlichdimensionaler R-Vektorraum und es seien B und C zwei Basen von V. Die darstellende Matrix der Identität id V : V V bezüglich der Basen B und C heißt Matrix der Koordinatentransformation bzgl. der Basen B und C, geschrieben T B C. Bemerkung Die Spalten von TC B genau die Koordinatenvektoren der Basisvektoren in B bezüglich der Basis C. Proposition Es seien V und W endlichdimensionale K-Vektorräume mit dim V = n und dim W = m. Es seien B, B Basen von V und C, C Basen von W. Es sei f : V W linear. Dann gilt die Gleichung M B C (f ) = T C C MB C (f ) T B B. Bernhard Hanke 3 / 3