Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen

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1 Signalverarbeitung und Musikalische Akustik - MuWi UHH WS 06/07 Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen Universität Hamburg

2 Vektoren entstanden aus dem Wunsch, u.a. Bewegungen, Verschiebungen und Kräfte im Raum zu beschreiben. Für eine physikalische Bewegung oder eine Kraft gilt, dass sie eine Richtung und eine Länge hat. Vektoren stellte man sich als Pfeile im dreidimensionalen Raum vor. Weiterhin fand man, dass sich z.b. Kräfte in bestimmter Art und Weise addieren lassen. 1

3 Wir starten also mit Pfeilen im 3D-Raum, den wir mit R 3 bezeichnen wollen. Jeder Vektor ist definiert duruch eine Anfangs- und einen Endpunkt, die jeweils drei Koordinaten haben. Per Konvention ist der Anfangspunkt eines Vektoren immer der Ursprung des Koordinatensystems (0, 0, 0). Deswegen haben wir für jeden Vektor nur 3 Koordinaten (geschrieben als Zeilenvektor): v = (x, y, z) 2

4 Die Addition zweier Vektoren v 1 und w 2 (z.b. Kräfte), beschrieben als 3D-Vektoren, folgt folgendem Gesetz: v 1 + v 2 = (x 1, y 1, z 1 ) + (x 2, y 2, z 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2 ) Die Länge eines Vektors ergibt sich aus dem Satz von Pythagoras v = x 2 + y 2 + z 2 Weiterhin möchte man Vektoren skalieren können, d.h. die Länge ändern und die Richtung beibehalten. Formal geht das so: λ v = λ(x, y, z) = (λx, λy, λz) λ v = λ v Die Richtung wird dadurch beibehalten, dass sich v und λ v für alle λ auf der selben Geraden durch den Ursprung befinden. 3

5 Von der physikalischen Anschauung gelangte man zur mathematischen Abstraktion. Ein Vektorraum V über einen Zahlkörper K (also R oder C) ist eine Menge von Elementen zusammen mit den Operationen Addition und Skalarmultiplikation, so dass gilt (v, w V, λ, µ K) 1. Es gibt einen Vektor 0 V mit v + 0 = v für alle v. 2. λ(v + w) = λv + λw, (λ + µ)v = λv + µv 3. 1 v = v, 0 v = 0 4. v 1 v 2 = v 1 + ( 1) v 2 4

6 Beispiele: Alle n-tupel reeller Zahlen über R, der R n, mit Addition und Skalarmultiplikation wie oben definiert für den R 3 Alle n-tupel komplexer Zahlen über C, der C n, mit Addition und Skalarmultiplikation analog wie für den R n Alle reellen Funktionen einer Veränderlichen über R mit (f + g)(x) = f(x) + g(x) (λf)(x) = λf(x) 5

7 Ein wichtiges Konzept ist die Dimension eines Vektorraums. Dazu betrachten wir Linearkombinationen von Vektoren, d.h. die allgemeinsten Objekte in V : v = i=1 λ i v i Eine Menge von Vektoren {v 1, v 2,, v N } heißt linear unabhängig, falls die Gleichung 0 = i=1 nur mit λ i = 0 für alle i erfüllbar ist. λ i v i 6

8 Anders ausgedrückt: Eine Menge von Vektoren ist genau dann linear unabhängig, falls sich keiner der Vektoren irgendwie (sprich: als gewichtete Summe) der anderen anderen darstellen lässt. Beispiel: Im R 2 sind v 1 = (1, 1) und v 2 = ( 2, 3) linear unabhängig, denn aus folgt: λ 1 v 1 + λ 2 v 2 = λ 1 (1, 1) + λ 2 ( 2, 3) = (λ 1 2λ 2, 3λ 2 λ 1 ) = 0 λ 1 = 2λ 2 3λ 2 2λ 2 = λ 2 = 0 λ 1 = 0 Im Vektorraum der 2π-periodischen Funktionen sind sin t und cos t linear unabhängig, denn λ 1 sin t + λ 2 cos t = 0 λ 1 = λ 2 = 0 7

9 Eine maximale Menge linear-unabhängiger Vektoren heißt Basis des Vektorraums. Die Anzahl der Vektoren einer Basis ist die Dimension des Vektorraums. Es gilt: Jeder (endliche) Vektorraum hat eine Basis! Diese Basis ist aber nicht eindeutig, es gibt stets unendliche viele Basen! Beispiel: Die kanonische Basis im R N ist definiert durch die Einheitsvektoren e i = (0,, 1,..., 0), (e i ) k = δ ik Damit gilt z.b. im R 3 für einen Vektor (x 1, x 2, x 3 ) = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 8

10 Das Skalarprodukt (inneres Produkt, Punktprodukt) zweier Vektoren spielt eine wichtige Rolle. Für endlich-dimensionale reelle Vektorräume ist es definiert als v, w := i=0 v i w i Die Bedeutung ergibt sich u.a. aus folgenden Tatsachen: v = v, v cos v, w = v, w v w Zwei Vektoren heißen orthogonal, falls v, w = 0, denn dann ist v, w = 90 9

11 Das Skalarprodukt besitzt folgende Eigenschaften v, w = w, v u + v, w = u, w + v, w λv, w = λ v, w Für komplexe Vektorräume muss man das Skalarprodukt etwas anders definieren, damit weiterhin v, v 0. v, w := i=0 v i w i 10

12 Für unendlich-dimensionale Vektorräume muss man die Summe durch Integrale ersetzen: f, g = f(t)g(t)dt D wobei der Integrationsbereich vom Funktionsraum abhängt, bei periodischen Funktion, z.b. eine Periode, allgemein von bis. Die Eigenschaften dieses Skalarproduktes sind aber dieselben wie im endlichen Fall. Beispiel: Die Fouriertransformation eines Signals f erscheint jetzt als Skalarprodukt: F (ω) = e iωt, f = f(t)e iωt dt 11

13 Basen, deren Basisvektoren paarweise orthogonal und normiert sind. d.h. Länge 1 haben, sind von besonderer Bedeutung. Sie heißen Orthonormalbasen. Beispiel: Die kanonische Basis im R N, denn es gilt: e i, e j = k=1 δ ik δ jk = δ ij Beispiel: Die Fourierbasis im C N, definiert durch: Dann: w n, w m = N 1 k=0 (w n ) k = W n(k 1) N WN nkw N mk N 1 = k=0 = N 1/2 e 2πi N n(k 1) W (m n)k N = 1 W N(m n) N 1 WN m n = δ nm 12

14 Jeder Vektor kann mit Hilfe des Skalarprodukts bzgl. einer Orthonormalbasis b i zerlegt werden. Gesucht werden also Koeffizienten, so dass v = i=1 λ i b i Wir bilden das Skalarprodukt mit den b i s b i, v = b i, j=1 λ j b j = j=1 λ j b i, b j = j=1 λ j δ ij = λ i D.h. v = i=1 b i, v b i 13

15 Matrizen Matrizen sind zunächst rechteckige Anordungen von (reellen oder komplexen) Zahlen. Sie besitzen Zeilen und Spalten, und man schreibt Mat(N M; K) für die Menge von Matrizen mit N Zeilen und M Spalten und Elementen aus K. Die einzelnen Elemente einer Matrix A bezeichnet man mit a ij, mit Zeilenindex i und Spaltenindex j. Eine Matrix hat N M Elemente. Ausgeschrieben: A = a 11 a 12 a 1M a 21 a 22 a 2M.. a N1 a N2 a NM Man eine Matriz auch als ein Vektor von Zeilenvektoren oder als ein Vektor von Spaltenvektoren auffassen. 14

16 Matrizen Vektoren v des K N kann man entweder als Spaltenvektoren, d.h. v Mat(N 1; K) oder Zeilenvektoren, d.h v Mat(1 N; K) schreiben. Weiterhin kann man Matrizen als Vektoren des K NM auffassen. Addition und Skalarmultiplikation für Matrizen ergibt sich dann: (A + B) ij = a ij + b ij (λa) ij = λa ij Durch Vertauschung von Spalten und Zeilen kann man aus einer N M Matrix eine M N Matrix machen. Die Matrix-Transposition ist definiert durch (A T ) ij = a ji 15

17 Matrizen Matrizen erhalten ihre wahre Bedeutung durch die Möglichkeit sie miteinander zu multiplizieren. Dazu sei A Mat(N L; K) und B Mat(L M; K). Dann ist das Produkt C = AB Mat(N M; K) definiert durch c ij = L k=1 a ik b kj Das Skalarproukt zweier Vektoren lässt sich als Matrizenmultiplikation auffassen. Seien die Vektoren z.b. als Spaltenvektoren im R N Mat(N 1; R) gegeben, dann gilt: v, w = v T w = k=1 v 1k w k1 16

18 Matrizen Die Matrixmultilplikation ist assoziativ, distributiv aber i.d.r. nicht kommutativ! A(BC) = (AB)C, (λa)b = λab, A(B + C) = AB + AC, AB BA Von besonderer Bedeutung sind Matrizen, denn sie repräsentieren die linearen Abbildungen eines Vektorraums in einen anderen. D.h. für eine Matrix A und Vektoren v ergibt sich die Abbildung F (v) = Av für die gilt: F (v + w) = A(v + w) = Av + Aw = F (v) + F (w), F (λv) = λav = λf (v) 17

19 Matrizen Spezielle Matrizen: Die Elemente von Mat(N N; K) heißen quadratische Matrizen. Eine Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Diagonalen gleich 0 sind heißt Diagonalmatrix. Sind nur Einsen in der Diagonalen, so hat man die Einheitsmatrix 1. Sei A eine Matrix, dann heißt diejenige Matrix B = A 1 mit BA = AB = 1 die inverse Matrix zu A (falls sie existiert!) Sei A Mat(N N; C). Die adjungierte Matrix A = A T hat Elemente a ji A heißt hermitesch oder selbst-adjungiert, falls A = A. Reelle hermitesche Matrizen heißen symmetrisch. 18

20 Matrizen Spezielle Matrizen: Ändert sich die Länge eines Vektor durch Multiplikation mit einer Matrix A nicht, d.h. Av, Av, = v, v so heißt die Matrix orthogonal. Die adjungierte einer orthogonalen Matrix ist ihr inverses. Komplexe orthogonale Matrizen heißen unitär. Av, Av = (Av) T (Av) = v T A Av = v T v A A = 1 A = A 1 Im R N repräsentieren othogonalen Matrizen Drehungen und Spiegelungen. Hängen die Komponenten nur von der Differenz der Indizes ab. d.h. a ij = f(i j), so heißt die Matrix Toeplitzmatrix 19

21 Anwendungen Diskrete Fouriertransformation. Sei x R N ein diskretes Signal der Länge N. Wir fassen es als komplexwertiges Signal auf, d.h. x C N. Wir suchen nun die Koeffizienten des Signals bzgl. der Fourierbasis w n mit Wir suchen also: (w n ) k = W n(k 1) N = 1 N e 2πi N n(k 1) mit x = n=1 λ n w n λ n = w n, x = k=1 (w n ) k x k = 1 N N k=1 e 2πi N n(k 1) x k Das ist aber bis auf Vorfaktor und Indizierung die Definition der DFT! 20

22 Anwendungen Fourieranalyse Sei f(t) eine periodische Funktion mir Periode T = 2π. Wir suchen nun die Entwicklung der Funktion bzgl. der Basis w n (t) = 1 2π e int. D.h. mit λ n = w n, f = f(t) = 2π 0 n= λ n w n (t) w n (t)f(t)dt = 1 2π 2π 0 e int f(t)dt 21