Kapitel 6: Matrixrechnung (Kurzeinführung in die Lineare Algebra)

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1 Kapitel 6: Matrixrechnung (Kurzeinführung in die Lineare Algebra) Matrix: (Plural: Matrizen) Vielfältige Anwendungen in der Physik: - Lösung von linearen Gleichungsystemen - Beschreibung von Drehungen - Beschreibung von Lorenz-Transformationen (spezielle Relativitätstheorie) - Lösung von linearen Differenzialgleichungen (nach Fouriertransformation) - Bestimmung der Normalmoden von gekoppelten harmonischen Oszillatoren - Bestimmung der Eigenzuständen und Eigenenergien eines Quantensystems - Dirac-Gleichung (nicht-relativistische Version der Schrödingergleichung) Schöne Zusammenfassung: Nolting I Gründlich Einführung: siehe lineare Algebra Vorlesung Lineares Gleichungsystem (um die Einführung von Matrizen zu motivieren) Problemstellung: für vorgegebene Zahlen bestimme derart, dass folgendes Gleichungsystem erfüllt ist: Kompakte Notation: (2) ist ein "Lineares Gleichungsystem": die Unbekannten treten nur in Linearkombinationen auf. "Nichtlinear" würde bedeuten: höheren Potenzen kommen vor, z.b. Noch kompakter:

2 Bezug zur Vektorrechung: Äquivalente Fragestellung: Betrachte die Vektoren: Das Gleichungsystem (2.2) ist äquivalent zur Vektorgleichung: denn wenn (3.2) komponentweise ausgeschrieben wird, ergibt sich genau (2.2). Gl. (3.2) in Vektornotation: Kurznotation: Komponentenschreibweise: [entspricht (2.4)] Falls die Vektoren linear unabhängig sind, bilden Sie eine Basis für Dann ist die Lösung des linearen Gleichungsystems (4.1) äquivalent zur Bestimmung der Komponenten des Vektors bezüglich der Basis

3 Zur Vereinfachung der Schreibweise wird der Begriff einer "Matrix" eingeführt: Def: Matrix (Plural: Matrizen) Eine "m x n Matrix" ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten, und "Matrixelementen" m x n Matrix: n Spalten m Zeilen "Quadratische Matrix" falls Matrixelemente Notationskonventionen für Matrizen: Menge der reellen m x n Matrizen: Natürliche Operationen in (i) Matrixaddition: (elementenweise Addition) Explizit: (m = n = 2) Beispiel:

4 Neutrales Element der Matrixaddition: "Nullmatrix" : (bestehend aus lauter Nulleinträgen) Negatives Element ( = inverses Element der Addition): Lösung Matrix bestehend aus den negativen Matrixelementen Matrixaddition ist assoziativ: und kommutativ: [folgt aus Def. (6.3)] (ii) Skalare Multiplikation: (elementenweise Multiplikation) Explizit: (m = n = 2) Beispiel: mit Matrixaddition und skalarer Multiplikation gestattet, ist ein -dimensionaler (reeller) Vektorraum [äquivalent zu ]

5 (iii) Matrixmultiplikation: (Struktur über Vektorraum hinaus) Skalarprodukt von "i-tem Zeilenvektor v. A" und "j-tem Spaltenvektor v. B" Nur definiert falls # Spalten v. A = # Zeilen v. B. Explizit: p Spalten (mit je n Einträgen) m Zeilen (mit je n Einträgen) i-ter Zeilenvektor v. A j-ter Spaltenvektor v. B Beispiel: m = 3, n = 2, p = 2 Eigenschaften der Matrixmultiplikation: (iii)1. nicht kommutativ: (sogar gar nicht definiert, falls Dimensionen nicht passen!) Beispiel: (für m = n = p = 2) verschieden! verschieden!

6 (iii)2. assoziativ (falls definiert) Beweis: denn skalare Addition ist assoziativ Beispiel: (m = n = p) Assoziativität gnadenlos explizit, für m = n = p = 2: genau die gleichen Terme kommen vor (nur in unterschiedlicher Reihenfolge)

7 (iii)3 distributiv Beweis: ebenso: (iv)4 Beweis: (iii)5 Falls Quadratische Matrizen sind "abgeschlossen" unter Matrixmultiplikation. "Einheitsmatrix (engl: identity)": (für m = n) (Einser auf der Diagonalen, Nullen sonst) (iii)5 Neutrales Element der Matrixmultiplikation: denn: Explizit: (n=3) Quadratische Matrizen bilden eine "Algebra", das ist ein Vektorraum mit zusätzlicher Multiplikation mit Verträglichkeitsbedingungen (assoziativ, distributiv), und Einselement.

8 (iv) Transposition von Matrizen Sei Def: "Transponierte v. A": (tausche Zeilen mit Spalten) Explizit: m Reihen, n Spalten n Reihen, m Spalten z.b. m=2,n=3: Eigenschaft: Beweis: (v) Inverse einer Matrix: Eine quadratische Matrix heisst invertierbar, wenn es eine "inverse Matrix" gibt, mit Warnung: im Allgemeinen sind Kann gezeigt werden: ist im Allgemeinen eindeutig durch bestimmt. Falls und auch Eigenschaften der Inversen 1) Check:

9 2) Check: Warnung: wie auch in 3) Inverse bestimmt Lösung eines linearen Gleichungsystems: Schreibe Kompakte Notation für (4): Gesuchte Lösung: Wann existiert die Inverse? Wann ist ein lineares Gleichungsystem lösbar? 1) Sei n Spaltenvektoren und j-te Stelle j-te Stelle Für jeden Wert von j = 1,..., n erhalten wir ein anderes Vektorgleichungssystem. Inverse existiert alle n dieser Gleichungssysteme sind lösbar. Spaltenvektoren sind linear unabhängig Spaltenvektoren bilden Basis für

10 Einfaches Kriterium dafür, ob Spaltenvektoren eine Basis bilden: 1 x 1 Systeme: trivial 2 x 2 Matrix: bilden eine Basis, falls und nicht Vektoren sind parallel, falls Definition: "Determinante" einer 2x2 Matrix: Merkregel: Fazit: existiert falls