Vektorräume. Lineare Algebra I. Kapitel Juni 2012

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Ulrike Wolf
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1 Vektorräume Lineare Algebra I Kapitel Juni 2012

2 Logistik Dozent: Olga Holtz, MA 378, Sprechstunden Freitag Webseite: holtz Assistent: Sadegh Jokar, MA 620, Sprechstunden Donnerstag 11:30-13 Tutoren: Cronjäger, Guzy, Kourimska, Rudolf Anmeldung: über MOSES Fragen? Studentische Studienfachberatung, MA 847 Telefon: (030) Vorlesungen: VL am Dienstag im MA004, Mittwoch 8-10 im H0104 Klausur? Mittwoch 8-10 H0104 Der Kurs gilt mit 50% Punkten für Hausaufgaben als bestanden

3 Vektorräume Sei K ein Körper. Ein Tripel (V, +, ) K, bestehend aus einer Menge V, einer Abbildung + (Addition) und einer Abbildung (skalare Multiplikation), wobei + : V V V ( x, y) x + y, : K V V (λ, x) λ x, heißt K-Vektorraum, falls folgende Axiome erfüllt sind. (i) für alle x, y, z V : ( x + y) + z = x + ( y + z) ( Assoziativität + in V ) (ii) für alle x, y V : x + y = y + x ( Kommutativität + in V ) (iii) Es gibt 0 V : für alle x V : 0 + x = x = x + 0 ( Null in V ) (iv) für alle x V gibt es y V : y + x = 0 ( Additive Inverse in V )

4 Vektorräume: Definition (v) für alle λ, µ K, x V : λ (µ x) = (λ µ) x ( Assoziativität der Skal.mult.) (vi) für alle x V : 1 x = x ( Eins der Skal.mult.) (vii) für alle λ K, x, y V : λ ( x + y) = λ x + λ y ( Distributivität ) (viii) für alle λ, µ K, x V : (λ + µ) x = λ x + µ x ( Distributivität )

5 Vektorräume: Definition (v) für alle λ, µ K, x V : λ (µ x) = (λ µ) x ( Assoziativität der Skal.mult.) (vi) für alle x V : 1 x = x ( Eins der Skal.mult.) (vii) für alle λ K, x, y V : λ ( x + y) = λ x + λ y ( Distributivität ) (viii) für alle λ, µ K, x V : (λ + µ) x = λ x + µ x ( Distributivität ) NB: 1. V muss also eine kommutative Gruppe bezüglich + sein. 2. Die Symbole + und wurden hier mehrfach verwendet. Je nach Zusammenhang handelt es sich entweder um die Operationen im Körper oder um die neu definierten Operationen. Im folgenden benutzen wir noch die Konvention, dass wir λ x anstatt λ x schreiben.

6 Beispiele a) K = C, V = C n = {(x 1,, x n ) x i C}. Hier ist + die komponentenweise Addition und die skalare Multiplikation wirkt auf alle Komponenten gleichzeitig. b) K = IR, V = C([ 1, 1], IR) = {f : [ 1, 1] IR f stetig }. Hier ist die Addition die Addition von Abbildungen und die Multiplikation einer Abbildung mit einem Sklalar ist definiert durch die Abbildung λf : [ 1, 1] IR, x λf (x). c) K = IR, V = C mit der Addition aus C und der Multiplikation in IR. d) K = IR, V = {0} IR mit der Addition aus IR und der Multiplikation in IR. e) K = F 2, V = F n 2 mit der Addition aus F 2 und der Multiplikation in F 2. f) K = IR, V = IR n,m mit der Addition aus IR n,m und der skalaren Multiplikation bei Matrizen.

7 Eigenschaften eines Vektorraums Satz. (a) In einem Vektorraum gibt es genau ein 0 V, wobei 0 das neutrale Element der Addition ist. (b) Das additive Inverse ist eindeutig. (c) 0 v = 0, für alle v V. (d) λ 0 = 0, für alle λ K. (e) ( λ) v = λ v = λ( v), für alle λ K, und für alle v V.

8 Eigenschaften eines Vektorraums Satz. (a) In einem Vektorraum gibt es genau ein 0 V, wobei 0 das neutrale Element der Addition ist. (b) Das additive Inverse ist eindeutig. (c) 0 v = 0, für alle v V. (d) λ 0 = 0, für alle λ K. (e) ( λ) v = λ v = λ( v), für alle λ K, und für alle v V. Beweis. (a) Angenommen, es gibt zwei verschiedene Nullelemente 0, 0, so folgt nach Axiomen (ii), (iii) 0 = = = 0.

9 Beweis, II (b) Wenn a + x = 0 und b + x = 0 gilt, so folgt a = a + 0 (iii) = a + ( b + x) = a + ( x + b) (ii) = ( a + x) + b (i) = 0 + b = b (iii)

10 Beweis, II (b) Wenn a + x = 0 und b + x = 0 gilt, so folgt a = a + 0 (iii) = a + ( b + x) = a + ( x + b) (ii) = ( a + x) + b (i) = 0 + b = b (iii) (c) 0 v = (0 + 0) v = 0 v + 0 v (viii) 0 = 0 v + 0 v 0 v = 0 v.

11 Beweis, II (b) Wenn a + x = 0 und b + x = 0 gilt, so folgt a = a + 0 (iii) = a + ( b + x) = a + ( x + b) (ii) = ( a + x) + b (i) = 0 + b = b (iii) (c) (d) (e) 0 v = (0 + 0) v = 0 v + 0 v (viii) 0 = 0 v + 0 v 0 v = 0 v. λ 0 (iii) = λ( 0 + 0) (vii) = λ 0 + λ 0 also λ 0 = 0. λ v + ( λ) v = (λ λ) v = 0 v = 0, λ v + λ( v) = λ( v v) = λ 0 = 0.

12 Untervektorraum Definition Sei V ein K-Vektorraum und U V. Dann heißt U Untervektorraum von V (kurz: Unterraum), falls U abgeschlossen bezüglich + und ist, und falls U selbst wieder ein Vektorraum ist.

13 Untervektorraum Definition Sei V ein K-Vektorraum und U V. Dann heißt U Untervektorraum von V (kurz: Unterraum), falls U abgeschlossen bezüglich + und ist, und falls U selbst wieder ein Vektorraum ist. Beispiele. Jeder Vektorraum V hat die trivialen Unterräume U = V und U = { 0}. a) V = C([ 1, +1], IR), U = C 1 ([ 1, +1], IR) =: {f C([ 1, 1], IR) f differenzierbar in [ 1, 1]}. b) V = IR 4, U = IR 3 = {(x, y, z, 0) x, y, z IR}.

14 Untervektorraum-Test Theorem U ist genau dann ein Unterraum von V, wenn U eine nicht leere Teilmenge von V ist, für die gilt: u + v U für alle u, v U. λ u U für alle λ K und u U. Beweis: Übungsaufgabe.

15 Untervektorraum-Test Theorem U ist genau dann ein Unterraum von V, wenn U eine nicht leere Teilmenge von V ist, für die gilt: u + v U für alle u, v U. λ u U für alle λ K und u U. Beweis: Übungsaufgabe. Definition Sei V ein K-Vektorraum und seien v 1,..., v n V gegeben. Ein Vektor der Form n i=1 λ i v i V heißt Linearkombination von v 1,..., v n mit den Koeffizienten λ 1,..., λ n K. Die lineare Hülle von v 1,..., v n ist die Menge { n } Span( v 1,..., v n ) := λ i v i : λ 1,..., λ n K. i=1

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