Die Treppennormalform

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1 Die Treppennormalform Lineare Algebra I Kapitel 5 9 Mai 22

2 Logistik Dozent: Olga Holtz, MA 378, Sprechstunden Freitag 4-6 Webseite: wwwmathtu-berlinde/ holtz Assistent: Sadegh Jokar, MA 62, Sprechstunden Donnerstag :3-3 Tutoren: Cronjäger, Guzy, Kourimska, Rudolf Anmeldung: über MOSES Fragen? Studentische Studienfachberatung, MA 847 Telefon: (3) Vorlesungen: VL am Dienstag -2 im MA4, Mittwoch 8- im H4 Klausur? 722 Mittwoch 8- H4 Der Kurs gilt mit 5% Punkten für Hausaufgaben als bestanden

3 Elementarmatrizen Versuchen wir, die Matrix erst auf eine Dreiecksform zu bringen, und zwar durch Multiplikation mit Matrizen, deren Inverse wir leicht berechnen können Diese sogenannten Elementarmatrizen führen elementare Operationen aus: Vertauschung zweier Zeilen, Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar, Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile

4 Es sei P ij R n,n für i < j n die Permutationsmatrix P ij := i j i j

5 Es sei P ij R n,n für i < j n die Permutationsmatrix P ij := i j i j Ist A R n,m, so werden durch die Multiplikation P ij A die Zeilen i und j in A vertauscht Beachte: P ij = Pij T = P ij

6 Es sei M i (λ) R n,n für i n, λ R invertierbar die Matrix M i (λ) := λ i Ist A R n,m, so wird durch die Multiplikation M i (λ)a die i-te Zeile von A mit λ multipliziert Beachte: M i (λ) = M i ( λ ) i

7 Es sei G ij (λ) R n,n für i < j n, λ R die Matrix G ij (λ) := λ i j i j

8 Es sei G ij (λ) R n,n für i < j n, λ R die Matrix G ij (λ) := λ i j i j Es sei A R n,m Durch die Multiplikation G ij (λ)a wird das λ-fache der i-ten Zeile von A zur j-ten Zeile addiert Durch die Multiplikation Gij T (λ)a wird das λ-fache der j-ten Zeile zur i-ten Zeile von A addiert Beachte: [G ij (λ)] = G ij ( λ)

9 Die Treppennormalform Hauptsatz Sei K ein Körper, A K n,m Dann gibt es Elementarmatrizen T,, T t K n,n, so dass T t T A in Treppennormalform ist Insbesondere, falls n = m und A invertierbar ist, so ist T t T A = I, dh, A = T t T oder A = T Tt

10 Satz zur Eindeutigkeit der TNF Satz 2 Es sei K ein Körper und A, B K n,m in Treppennormalform Falls es eine invertierbare Matrix Z K n,n mit A = ZB gibt, so gilt A = B, dh, die Treppennormalform ist invariant unter Multiplikation mit invertierbaren Matrizen von links

11 Satz zur Eindeutigkeit der TNF Satz 2 Es sei K ein Körper und A, B K n,m in Treppennormalform Falls es eine invertierbare Matrix Z K n,n mit A = ZB gibt, so gilt A = B, dh, die Treppennormalform ist invariant unter Multiplikation mit invertierbaren Matrizen von links Beweis Es seien a i, b i, i =,, m, die Spalten von A, B Weiterhin seien (, j ),, (s, j s ) die Pivotpositionen von B Wir zeigen mit vollständiger Induktion über r, r s: Es gilt [ ] Ir Z =, Z n r wobei Z n r invertierbar ist, und die ersten j r+ Spalten von A und B stimmen überein (Wir setzen j s+ := m + )

12 Beweis IA: Es gilt b k = für k j Da A = Z B, gilt auch a k =, k j Weiter ist b j = [,,, ] T, und da Z invertierbar ist, ist auch a j Da A in TNF ist, folgt, dass auch a j = [,,, ] T Weiterhin folgt, dass Z = Z n Damit ist auch a k = b k, k = j +,, j 2

13 Beweis IA: Es gilt b k = für k j Da A = Z B, gilt auch a k =, k j Weiter ist b j = [,,, ] T, und da Z invertierbar ist, ist auch a j Da A in TNF ist, folgt, dass auch a j = [,,, ] T Weiterhin folgt, dass Z = Z n Damit ist auch a k = b k, k = j +,, j 2 IV: Die Aussage gelte für ein r, r s

14 Beweis IA: Es gilt b k = für k j Da A = Z B, gilt auch a k =, k j Weiter ist b j = [,,, ] T, und da Z invertierbar ist, ist auch a j Da A in TNF ist, folgt, dass auch a j = [,,, ] T Weiterhin folgt, dass Z = Z n Damit ist auch a k = b k, k = j +,, j 2 IV: Die Aussage gelte für ein r, r s IS: Wir betrachten die Pivotposition (r +, j r+ ) Da B in TNF ist, folgt

15 b jr+ = r + Wegen a jr+ = Zb jr+ und der Invertierbarkeit von Z n r folgt wie in der Induktionsannahme a jr+ = b jr+ und Z = Z n (r+) r n r r n r, und die ersten j r+2 Spalten von A und B sind gleich

16 Eindeutigkeit der TNF Korollar Für A K n,m gelten: () Es gibt genau eine Matrix C K n,m in TNF, in die sich A durch elementary Zeilenoperationen überführen lässt

17 Eindeutigkeit der TNF Korollar Für A K n,m gelten: () Es gibt genau eine Matrix C K n,m in TNF, in die sich A durch elementary Zeilenoperationen überführen lässt (2) Ist M GL n (K), so ist C auch die TNF von MA, dh die TNF ist invariant unter Linksmultiplikation mit invertierbaren Matrizen

18 Eindeutigkeit der TNF Korollar Für A K n,m gelten: () Es gibt genau eine Matrix C K n,m in TNF, in die sich A durch elementary Zeilenoperationen überführen lässt (2) Ist M GL n (K), so ist C auch die TNF von MA, dh die TNF ist invariant unter Linksmultiplikation mit invertierbaren Matrizen Beweis () Sind S A = C und S 2 A = C 2, wobei C, C 2 in TNF und S, S 2 invertierbar sind, dann gilt C = (S S 2 )C 2 Aus Satz 2 folgt nun C = C 2

19 Eindeutigkeit der TNF Korollar Für A K n,m gelten: () Es gibt genau eine Matrix C K n,m in TNF, in die sich A durch elementary Zeilenoperationen überführen lässt (2) Ist M GL n (K), so ist C auch die TNF von MA, dh die TNF ist invariant unter Linksmultiplikation mit invertierbaren Matrizen Beweis () Sind S A = C und S 2 A = C 2, wobei C, C 2 in TNF und S, S 2 invertierbar sind, dann gilt C = (S S 2 )C 2 Aus Satz 2 folgt nun C = C 2 (2) Ist M GL n (K) und S 3 (MA) = C 3 in TNF, do folgt mit S A = C, dass C 3 = (S 3 MS )C Satz 2 zeigt C 3 = C