Lösungen zur Mathematik für Informatiker I

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1 Lösungen zur Mathematik für Informatiker I Wintersemester 00/03 Prof Dr H Lenzing Blatt 7 Sei M Ihre Matrikelnummer mit den Ziffern m, m, m 3, m 4, m 5, m 6, m 7 Aufgabe 6 ( Bonuspunkt): Wir betrachten folgende Elemente des Vektorraums R 3, wobei der dritte Vektor von einem reellen Parameter λ abhängt v := m +, v := 0 m 3 + 4, v 3 := λ + m Bestimmen Sie alle λ, für die diese Vektoren linear ahängig sind Aufgabe 6 ( Bonuspunkt): Für welche λ R bilden die Vektoren v, v, v 3 aus Aufgabe 6 ein Erzeugendensystem des R 3 Aufgabe 63 ( Bonuspunkt): Für welche λ R bilden die Vektoren v, v, v 3 aus Aufgabe 6 eine Basis des R 3 Lösung der Aufgaben 6, 6 und 63: Wir untersuchen die Fragen dieser Aufgaben nacheinander Sind die Aufgaben 6 und 6 gelöst, so kennen wir auch das Ergebnis für die Aufgabe 63, da v, v, v 3 genau dann eine Basis bilden, wenn diese Vektoren linear unahängig sind und ein Erzeugendensystem des R 3 bilden In beiden Fällen müssen wir Linearkombinationen von v, v, v 3 bilden Seien x, y, z R, dann erhalten wir xv + yv + zv 3 = x = m + + y 0 m z x + y + z x + z (m + ) x + (m 3 + 4) y + (m λ) z m λ Was wollen wir nun für diese Linearkombination untersuchen? In Aufgabe 6 wird gefragt, ob jeder Vektor a b c eine Lösung für gewisse x, y, z R hat In Aufgabe 6 wird gefragt, ob mit a = b = c = 0 die Lösung für gewisse x, y, z R eindeutig ist, denn da x = y = z = 0 immer eine Lösung ist, bedeutet dies gerade die lineare Unabhängigkeit der Vektoren v, v, v 3 In beiden Fällen müssen wir das folgende, lineare Gleichungssystem auf Lösbarkeit und Eindeutigkeit der Lösung untersuchen x + y + z = a x + z = b (m + ) x + (m 3 + 4) y + (m λ) z = c Dieses Gleichungssystem werden wir im Folgenden systematisch äquivalent umformen Dazu ziehen wir das -fache der Gleichung von der und das (m + )-fache der Gleichung von der 3 ab,

2 und erhalten x + y + z = a ( ) y z = b a (m 3 m + ) y + (m 4 m + λ + ) z = c (m + ) a Wir teilen die Gleichung durch : x + y + z = a y + / z = a b/ (m 3 m + ) y + (m 4 m + λ + ) z = c (m + ) a Im nächsten Schritt werden wir das ( )-fache der Gleichung zur und das (m 3 m +)-fache der Gleichung zur 3 addieren x + / z = b/ y + / z = a b/ + (m 4 / (m + m 3 ) + λ) z = c (m + ) a (m 3 m + ) (a b/) Nun stehen wir an einem Scheidepunkt, denn falls m 4 / (m + m 3 ) + λ = 0 ist, erhalten wir zb für a = 0, b = 0 und c 0 keine Lösung unseres Gleichungssystems Damit bilden in diesem Fall v, v, v 3 kein Erzeugendensystems des R 3 Wir erhalten auch im Fall a = b = c = 0 die Lösungen x =, y = und z = Somit sind die Vektoren linear abhängig Sei andererseits m 4 / (m m 3 ) + λ 0, so können wir die letzte Gleichung durch diesen Faktor teilen, und erhalten x + / z = b/ y + / z = a b/ z = c (m + ) a (m 3 m + ) (a b/) m 4 / (m + m 3 ) + λ Durch Subtrahierien des /-fachen der 3 Gleichung zur und erhalten wir x = b/ / c (m + ) a (m 3 m + ) (a b/) m 4 / (m + m 3 ) + λ y = a b/ / c (m + ) a (m 3 m + ) (a b/) m 4 / (m + m 3 ) + λ z = c (m + ) a (m 3 m + ) (a b/) m 4 / (m + m 3 ) + λ Damit sind x, y, z eindeutig bestimmt, was zur Folge hat, daß sich jeder Vektor aus R 3 eindeutig als Linearkombination der Vektoren v, v, v 3 darstellen läßt Dies bedeutet auf der einen Seite, daß die Vektoren v, v, v 3 ein Erzeugendensystem bilden, und auf der anderen Seite ihre lineare Unabhängigkeit, denn für a = b = c = 0 ergibt sich nur die Lösung x = y = z = 0 Wir fassen zusammen: Ist λ = / (m + m 3 ) m 4, so sind die Vektoren v, v, v 3 linear abhängig und bilden kein Erzeugendensystem des R 3 In diesem Fall bilden sie auch keine Basis des R 3

3 Ist λ / (m + m 3 ) m 4, so sind die Vektoren v, v, v 3 linear unabhängig und bilden ein Erzeugendensystem des R 3 und somit eine Basis von R 3 Aufgabe 64 ( Bonuspunkt): Entscheiden Sie, ob die folgenden Vektoren eine Basis des Vektorraums R 3 bilden 0 v :=, v := m + m 5 +, v 3 := m + m 5 + Falls dies der Fall ist, stellen Sie den folgenden Vektor als Linearkombination der Vektoren v, v und v 3 dar v := 3 Lösung: Wie in der Aufgabe 63 müssen wir entscheiden, ob das lineare Gleichungssystem x + y = a x + (m + m 5 + ) y + z = b x + y + (m + m 5 + ) z = c für alle a, b, c R genau eine Lösung besitzt Denn dann sind v, v, v 3 linear unabhängig auf Grund der Eindeutigkeit der Lösung für a = b = c = 0, und sie bilden ein Erzeugendensystem, da obiges Gleichungssystem für alle a, b, c R lösbar ist Wir subtrahieren die Gleichung von der und 3 Gleichung und vertauschen dann die und 3 Gleichung Dies ergibt das äquivalente Gleichungssystem x + y = a y + (m + m 5 + ) z = c a (m + m 5 ) y + z = b a Nun werden wir das (m + m 5 )-fache der Gleichung zur 3 addieren, womit wir wiederum ein äquivalentes Gleichungssystem x + y = a y + (m + m 5 + ) z = c a ( (m + m 5 ) + ) z = (m + m 5 ) (c a) + b a erhalten Da nun sicherlich ((m + m 5 ) + ) 0 ist, können wir die letzte Gleichung durch diesen Faktor dividieren, und erhalten ein äquivalentes System x + y = a y + (m + m 5 + ) z = c a z = (m + m 5 ) (c a) + b a (m + m 5 ) + was wir durch Addieren des (m +m 5 +)-fachen 3 Gleichung zur Gleichung und nachfolgendes Multiplizieren der Gleichung mit ( ) in x + y = a y = (m + m 5 + ) (b a) (c a) (m + m 5 ) + z = (m + m 5 ) (c a) + b a (m + m 5 ) + 3,

4 äquivalent umschreiben können Durch ( )-faches Addieren der Gleichung zur Gleichung erhalten wir unsere eindeutige Lösung x = a (m + m 5 + ) (b a) (c a) (m + m 5 ) + y = (m + m 5 + ) (b a) (c a) (m + m 5 ) + z = (m + m 5 ) (c a) + b a (m + m 5 ) + Damit bilden v, v, v 3 eine Basis des R 3 Um eine Linearkombination für v zu erhalten, müssen wir noch a =, b = und c = 3 in die letzten Gleichungen einsetzten, und erhalten x = (m + m 5 ) 3 (m + m 5 ) +, y = (m + m 5 ) 3 (m + m 5 ) + z = (m + m 5 ) (m + m 5 ) + Exemplarisch überzeugen wir uns von der Richtigkeit dieser Lösung für die Matrikelnummer M = Dann gilt x = 0 6, y = 6 z = 9 6, und wir erhalten in der Tat = = Aufgabe 65 ( Bonuspunkt): Entscheiden Sie, ob die folgenden Vektoren eine Basis des R 3 bilden v := m m +, v := m 3 m 3 +, v 3 := m 4 m 4 + Kann man den folgenden Vektor als Linearkombination dieser Vektoren schreiben? v := m + 3 m 3 4 m 4 + m + 3 m 3 4 m 4 Lösung: Wir wollen untersuchen, ob v, v, v 3 linear unabhängig sind Dazu müssen wir die Gleichung av + bv + cv 3 = 0 für a, b, c R betrachten Es gilt av + bv + cv 3 = a m m + + b m 3 m c Damit ist wie in den vorhergehenden Aufgaben, das lineare Gleichungssystem a + b + c = 0 m a + m 3 b + m 4 c = 0 (m + ) a + (m 3 + ) b + (m 4 + ) c = 0 3 m 4 m 4 + 4

5 auf eventuelle Lösungen mit eines der a, b, c verschieden von 0 zu untersuchen Wie oben ergibt sich durch Addieren des m -fachen der Gleichung zur Gleichung und des (m + )-fachen der Gleichung zur 3 Gleichung das äquivalente Gleichungssystem a + b + c = 0 (m 3 m ) b + (m 4 m ) c = 0 (m 3 m ) b + (m 4 m ) c = 0, was wiederum durch ( )-faches Addieren der Gleichung zur 3 Gleichung das äquivalente Gleichungssystem a + b + c = 0 (m 3 m ) b + (m 4 m ) c = 0, ergibt Dieses hat auf jeden Fall die Lösung a = m 3 m 4, b = m 4 m und c = m m 3 Ist nun eine dieser Zahlen von 0 verschieden, so sind die Vektoren v, v, v 3 linear abhängig Sind diese Zahlen aber alle 0, so gilt m = m 3 = m 4, und somit gilt v v = 0, was wiederum die lineare Abhängigkeit der Vektoren v, v, v 3 ergibt Damit sind in jedem Fall die Vektoren v, v, v 3 linear abhängig, aber es gilt (durch Nachrechnen!) v + 3v 4v 3 = v Aufgabe 66 : Entscheiden Sie, ob die folgende Mengen R-Vektorräume sind, wobei die Addition und Skalarmultiplikation die gleiche ist wie im R 3 (a) V := { x y R 3 } x + y + z = z (b) W := { x y R 3 } x + y + z = 0 und x + 3y 5z = 0 z Lösung: (a) Es seien Dann gilt nach Definition v := x y z, v := x y z V x + y + z = und x + y + z = Somit gilt Da folgt v + v / V (x + x ) + (y + y ) + (z + z ) = v + v = x + x y + y z + z Damit ist V mit dieser Addition kein Vektorraum, denn es ist gefordert, daß für alle v, v V gilt v + v V, im Widerspruch zu dem obigen Ergebnis 5

6 (b) Seien w, w W und a R Wir zeigen zuerst, daß w + w W und aw W sind Seien also w = x y und w = x y z z Dann gilt wie in (a) w + w = x + x y + y z + z und aw = Damit folgt w + w W und aw W, denn es gilt und a x a y a z (x + x ) + (y + y ) + (z + z ) = (x + y + z ) + (x + y + z ) = 0 a x + a y + a z = a (x + y + z ) = 0 Die Rechenregeln (A),, (A4) und (M),, (M4) folgen aus den Rechenregeln in R 3 Aufgabe 67 : Zeigen Sie die Körpereigenschaften des Körpers F mit zwei Elementen Lösung : Wie in der Vorlesung angegeben sind die Additions- und Multiplikationstafeln von F = {0, } gegeben durch und Da bei Verknüpfung mittels der Addition bzw der Multiplikation wieder Elemente von F entstehen, sind durch die oben gegebenen Verknüpfungstafel tatsächlich Operationen auf F gegeben Die Kommutativität der Addition und Multiplikation auf Grund der Symmetrie dieser Tafeln Es ist klar, daß die Elemente 0 bzw die neutralen Elemente von F bezüglich der Addition und Multiplikation sind Ebenso ist klar, daß 0 = 0, = und = sind Dadurch sind die jeweiligen Inversen gegeben Es bleiben also nur noch die Assoziativität der Addition und Multiplikation und die Distributivität nachzuweisen Seien dafür a, b, c F Dann gilt (a + b) + c = a + (b + c) für die Fälle, daß keine in (a, b, c), genau einmal eine in (a, b, c), genau zweimal eine in (a, b, c) oder dreimal eine in (a, b, c) auftaucht Dies bedeutet die Assoziativität der Addition (Nachrechnen!) Einfacher geht es bei der Multiplikation Ist in (a b) c oder a (b c) eines der a, b, c gleich 0, so ist in beiden Fällen das Ergebnis 0, sind aber alle drei gleich, so ist das Ergebnis in beiden Fällen Damit folgt die Assoziativität der Multiplikation a (b + c) = a b + a c gilt für a = 0 und a = und beliebige b, c F (Nachrechnen!) Somit folgt auch die Distributivität, da die Multiplikation, wie bereits bewiesen wurde, kommutativ ist Damit haben wir alle geforderten Eigenschaften eines Körpers für F bewiesen Also ist F mit der gegebenen Addition und Multiplikation ein Körper 6