1 Matrizen und Vektoren

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1 Matthias Tischler Karolina Stoiber Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker WS 14/15 A 1 Matrizen und Vektoren Definition 1.1 (Matrizen) Ein rechteckiges Zahlenschema aus m mal n Elementen eines Körpers K heißt m n-matrix. Man schreibt a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =. Km n, a m1 a m2 a mn oder kurz A = (a ij ). K m n ist die Menge aller m n-matrizen mit Einträgen aus K. Bemerkungen: Zwei m n- Matrizen A = (a ij ) und B = (b ij ) sind gleich, falls a ij = b ij für alle i und j gilt. Eine 1 n-matrix (a 1,, a n ) K 1 n wird als Zeilenvektor bezeichnet. Eine m 1- Matrix a 1. a m K m 1 wird als Spaltenvektor bezeichnet. Eine Matrix A K m n mit m = n heißt quadratisch. Für A = (a ij ) K m n ist A T := (a ji ) K n m die transponierte Matrix. Eine quadratische Matrix heißt symmetrisch, falls A T = A gilt. Rechnen mit Matrizen Definition 1.2 (Addition) Für zwei Matrizen A = (a ij ) 1 i m, B = (b ij ) 1 i m K m n sei deren Summe A + B := (a ij + b ij ) 1 i m K m n. Definition 1.3 (Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar) Für eine Matrix A = (a ij ) 1 i m K m n und einen Skalar λ K sei λa = λ(a ij ) 1 i m := (λa ij ) 1 i m K m n. 1

2 Definition 1.4 (Multiplikation von Matrizen) Für A = (a ij ) 1 i m, K m n, B = (b jk ) 1 k p K n p sei A B := C = (c ik ) 1 i m K m p mit c ik := 1 k p n a ij b jk. Es wird also nach dem Schema Zeile Spalte gerechnet. Damit ergibt sich auch die Schreibweise Ax = b für lineare Gleichungssysteme. Bemerkungen: 1. Distributivgesetz: (A 1 + A 2 ) B = A 1 B + A 2 B 2. Distibutivgesetz: A (B 1 + B 2 ) = A B 1 + A B 2 Folgend aus den Distributivgesetzen gilt: Die Multiplikation von Matrizen ist nicht kommutativ. Assoziativgesetz: (A B) C = A (B C) α (A B) = (α A) B = A (α B) (A B) T = B T A T Das Matrixprodukt ist nicht nicht nullteilerfrei. Die Nullmatrix und die Einheitsmatrix 1 n sind neutrale Elemente der Addition und Multiplikation j=1 2

3 2 Lineare Gleichungssysteme (LGS) Ein lineares Gleichungssystem (kurz LGS) ist in der linearen Algebra eine Menge von linearen Gleichungen mit einer oder mehreren Unbekannten, die alle gleichzeitig erfüllt sein müssen. Mit Gleichungssystemen werden Zusammenhänge modelliert, um interessierende Größen bestimmen zu können. Definition 2.1 (LGS) Ein System von Gleichungen der Gestalt a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m heißt lineares Gleichungssystem (LGS). Dabei sind x 1,..., x n die zu berechnenden Unbestimmten, die Koeffizienten a ij mit 1 i m und 1 j n und die auf der rechten Seite stehenden b i mit 1 i m entstammen einem zugrunde gelegten Körper K. Mit Hilfe des Summenzeichens kann man auch kompakter n a ij x j = b i für i = 1,..., m schreiben. j=1 Man ist an der Lösungsmenge des LGS interessiert, also an L := {(x 1,..., x n ) K n }. Diese Lösungsmenge kann natürlich auch leer sein. Zur Lösung des LGS nimmt man Äquivalenzumformungen vor, d.h. Umformungen, die die Lösungsmenge des Systems nicht verändern. Diese erkennt man daran, dass sie sich ohne Informationsverlust wieder vollständig rückgängig machen lassen: (i) Vertauschen zweier Gleichungen (ii) Beidseitige Multiplikation einer Gleichung mit einer Zahl 0. (iii) Addition eines beliebigen Vielfachen einer Gleichung zu einer anderen Gleichung. Lösungsstrategie Wenn die Unbekannte x 1 in der Lösungsmenge überhaupt vorkommt, so ist auf jeden Fall einer der Koeffizienten a 11,..., a m1 0. Ist allerdings der Koeffizient a 11 = 0, jedoch ein anderer a l1 0, so tauscht man im ersten Schritt die zwei Gleichungen aus (Umformung vom Typ (i)). Durch einfaches Umnummerieren der Koeffizienten gemäß Definition 2.1, wird einem Durcheinanderkommen vorgebeugt. Da nun a 11 0 kann man die erste Gleichung durch a 11 dividieren (Umformung vom Typ(ii)). Alle anderen Gleichungen bleiben gleich. Nun verwendet man mehrere Umformungen vom Typ (iii), um mit Hilfe der ersten Gleichung die Variable x 1 aus den anderen Gleichungen zu eliminieren. Dazu geht man wie folgt vor: 3

4 Substrahiere das a 21 -fache der 1. Zeile von der 2. Zeile Substrahiere das a 31 -fache der 1. Zeile von der 3. Zeile... Substrahiere das a m1 -fache der 1. Zeile von der m. Zeile Dies führt dazu, dass nur noch in Gleichung 1 die Variable x 1 vorkommt. Ab jetzt lässt man die 1. Gleichung des LGS und damit die 1. Variable x 1 unverändert und rechnet sinngemäß mit dem Teilsystem bestehend aus Gleichung 2 bis m genauso weiter. Setzt man dieses Verfahren entsprechend fort, so kommt man auf eine Stufenform, aus der man leicht das Ergebnis ablesen kann. Matrixschreibweise Ein LGS kann man abkürzend als Ax = b schreiben. Dabei heißt A = a ij K m n die Koeffizientenmatrix, x = x j K n ist der Vektor aus den Unbekannten und b = b i K m die Inhomogenität. Das LGS heißt homogen, wenn b 1 = b 2 =... = b m = 0, sonst inhomogen. Besonders ökonomisch für das Lösen des LGS ist die Schreibweise mit der erweiterten Koeffizientenmatrix (A b) K m (n+1). Die drei bereits formulierten erlaubten Umformungen werden deshalb jetzt nochmal für (erweiterte) Koeffizientenmatrix notiert. Elementare Zeilenumformungen: (i) Vertauschen zweier Zeilen (ii) Multiplikation einer Zeile mit einer Konstanten α 0. (iii) Addition des α-fachen einer Zeile zu einer anderen. Zeilenstufenform Mit der erweiterten Koeffizientenmatrix kann man nun genauso rechnen, wie mit dem damit verbundenen LGS. Mithilfe der elementaren Zeilenumformungen (angewandt in beliebiger Reihenfolge) kann man nun jede Matrix in Stufenform bringen. Definition 2.2 (Zeilenstufenform) Eine m n-matrix A K m n heißt in Zeilenstufenform, wenn sie entweder gleich der Nullmatrix ist oder wenn gilt: (1) Es gibt eine Zahl r (den Rang von A) mit 1 r m, so dass in den Zeilen mit den Indizes 1,..., r jeweils nicht nur Nullen un in den Zeilen mit den Indizes r + 1,..., m ausschließlich Nullen stehen. (2) Für jeden Zeilenindex i mit 1 i r sei j i der kleinste Index jeder Spalte, in der ein Element ungleich Null steht. Für diese Indizes gilt die Stufenbedingung j i < j 2 <... < j r. Den Prozess elementarer Zeilenumformungen bis hin zur Zeilenstufenform nennt man meist Vorwärtselimination, den Vorgang des Ablesens und Einsetzens von der letzten Gleichung bis hin zur ersten Rückwärtssubstitution und beides zusammen wird meist der Gauß-Algorithmus zu Lösung linearer Gleichungssysteme genannt. 4

5 Rang, Lösbarkeit und Struktur Definition 2.3 (Rang) Es sei A K m n und A K m n sei eine Matrix in Zeilenstufenform, die durch elementare Zeilenumformungen aus A hervorgegangen ist. Dann ist der Rang von A die Anzahl r der Zeilen in A, die mindestens einen Eintrag 0 haben. Eine quadratische Matrix A K n n heißt regulär, falls Rang(A) = n Die Lösungskriterien abhängig vom Rang der Koeffizientenmatrix und der erweiterten Koeffizientenmatrix, kann man leicht wie folgt zusammenfassen: Ax = b hat Rang(A) < Rang(A b) keine Lösung r = Rang(A) = Rang(A b) < n eine n r-parametrige Lösung r = Rang(A) = Rang(A b) = n eine eindeutige Lösung Satz 2.1 Es seien K ein Körper, A = (a ij ) K m n und 0 b = (b 1,..., b m ) K m. Dann gilt für die Lösungen des inhomogenen LGS Ax = b und des zugehörigen homogenen LGS Ax = 0: Spezielle Lösung + Allgemeine Lösung = Allgemeine Lösung des inhomogenen LGS des homogenen LGS des inhomogenen LGS Beispiel Wasserrohre sind in den Punkten A, B, C und D wie skizziert verbunden. Bei A, B und D wird Wasser eingeleitet mit 20 l min 1, 10 l min 1 und 20 l min 1. Der Fluss in Litern pro Minute in den anderen Rohren wird mit r 1,..., r 5 benannt (Richtung beliebig festgelegt). Da Wasser inkompressibel ist, führt dies auf 4 Gleichungen mit den 5 Unbekannten r 1,..., r 5 : A :r 1 + r 2 = 20 B :r = r 4 r 2 r 4 = 10 C :r 3 + r 4 r 5 = 0 D :r = r 3 r 1 r 3 = 20 Das LGS sieht etwas schöner geschrieben und in abgeänderter Reihenfolge so aus: r 1 + r 2 = 20 r 1 r 3 = 20 r 2 r 4 = 10 r 3 + r 4 r 5 = 0 5

6 Da links oben schon r 1 steht, ist in den Schritten 1 und 2 nichts zu tun. Für Schritt 2 substrahiert man die 1. Gleichung von der 2. Gleichung: r 1 + r 2 = 20 r 2 r 3 = 40 r 2 r 4 = 10 r 3 + r 4 r 5 = 0 Nachdem die 1. Variable r 1 nur noch in der 1. Gleichung vorkommt, wendet man sich jetzt der nächsten Variablen r 2 zu. Diese kommt in der 2. Zeile auch vor. Da der Koeffizient von r 2 in der 2. Gleichung 1 ist, multipliziert man diese mit 1. r 1 + r 2 = 20 r 2 + r 3 = 40 r 2 r 4 = 10 r 3 + r 4 r 5 = 0 Nun substrahiert man die 2. Gleichung von der 3. Gleichung und erhält: r 1 + r 2 = 20 r 2 + r 3 = 40 r 3 r 4 = 50 r 3 + r 4 r 5 = 0 Entsprechend geht es nun mit r 3 in der 3. Gleichung weiter, d.h. man multipliziert mit -1 und substrahiert dann die 3. Gleichung von der 4. Gleichung: r 1 + r 2 = 20 r 2 + r 3 = 40 r 3 + r 4 = 50 r 5 = 50 Damit sind die beschriebenen Eliminationsschritte erledigt, die angekündigte Stufenform ist erreicht. An der letzten Zeile kann man immerhin schon mal ablesen, dass r 5 nur die eindeutige Lösung 50 besitzt. Die Interpretation der anderen Zeilen gestaltet sich dagegen etwas schwieriger. Das Beispiel ist ein inhomogenes LGS Ax = b mit A = R4 5, b = R4, 6

7 (A b) = R4 6, r = r 1 r 2 r 3 r 4 r 5 R5. Es empfiehlt sich, die elementaren Zeilenumformungen auf dem Weg zu Zeilenstufenform jeweils mitzuschreiben Z2 Z2 Z Z3 Z3+Z Z4 Z4+Z Es ist m = 4, n = 5. Wegen Rang(A) = 4 = Rang(A b) ist das LGS lösbar. Man liest ab Rückwärtssubstitution liefert r 5 = 50, oder mit λ := r 4 R zusammen r 3 = 50 r 4, r 5 = 50, r 3 = 50 r 4, r 2 = 40 r 3, r 1 = 20 r 2. r 2 = 40 (50 r 4 ) = 10 + r 4, r 1 = 20 r 2 = 20 ( 10 + r 4 ) = 30 r 4 r 1 r 2 r 3 r 4 r 5 = λ Da λ R unendlich viele Werte annehmen kann, gibt unendlich viele Lösungen

8 3 Gruppen Eine Gruppe ist eine Menge von Elementen zusammen mit einer Verknüpfung, die je zwei Elementen der Menge ein drittes Element derselben Menge zuordnet und dabei drei Bedingungen, die Gruppenaxiome, erfüllt. Diese umfassen das Assoziativgesetz, die Existenz eines neutralen Elements und die Existenz von inversen Elementen. Eine der bekanntesten Gruppen ist die Menge der ganzen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung. Definition 3.1 (Gruppe) Eine nichtleere Menge G zusammen mit einer Abbildung : G G G ist genau dann eine Gruppe, wenn sie die folgenden Eigenschaften hat (1) Assoziativität: a, b, c G : a (b c) = (a b) c (2) Neutrales Element: e G a G : e a = a e = a (3) Inverses Element: a G a G : a a = e (G, ) heißt abelsch oder kommutativ, wenn gilt (4) Kommutativgesetz: a, b G : a b = b a Für die Gruppenaxiome (2) und (3) gilt insbesondere: Für jedes neutrale Element e G gilt a e = a a G, d.h.jedes linksneutrale Element e ist auch rechtsneutral. Deshalb spricht man auch einfach von einem neutralen Element. Aus a a = e folgt jeweils auch a a = e, d.h. jedes linksinverse Element a ist auch rechtsinvers. Deshalb spricht man auch einfach von einem inversen Element. Es gibt genau ein neutrales Element e G. Zu jedem a G gibt es genau ein inverses Element a G. Deshalb ist es möglich, diesem Inversen ein eigenes Symbol zu geben: in additiven Gruppen schreibt man a, sonst meist a 1 Die Tatsache, dass sich das neutrale Element und das Inverse jeweils so schön abelsch verhalten, darf aber nicht dazu verleiten, das für alle Elemente anzunehmen. Bei nicht-abelschen Gruppen gilt immer noch a b b a für die meisten a, b G Beispiele (Z, +) ist eine abelsche Gruppe, (N, +) oder (N 0, +) dagegen nicht. (Q, +) ist eine abelsche Gruppe, aber auch (Q\{0}, ). Das gleiche gilt auch bei den anderen bekannten Körpern, wie R oder C. Rechenregeln für Gruppen (nicht notwendig abelsch) folgende Regeln nützlich: a G : (a 1 ) 1 = a a, b G : (a b) 1 = b 1 a 1 a, b G 1 x G : x a = b a, b G 1 y G : a y = b Für das Rechnen in Gruppen sind 8

9 Die symmetrische Gruppe Die symmetrische Gruppe S n ist die Gruppe, die aus allen Permutationen (Vertauschungen) einer n elementigen Menge besteht. Man nennt n den Grad der Gruppe. Die Gruppenoperation ist die Komposition (Hintereinanderausführung) der Permutationen; das neutrale Element ist die identische Abbildung. Die symmetrische Gruppe S n ist endlich und besitzt die Ordnung n!. Sie ist für n > 2 nicht abelsch. (i) Ist X eine Menge und A(X) die Menge aller Abbildungen φ : X X, so ist die Komposition eine innere Verknüpfung von A(X) (ii) Es gibt ein neutrales Element nämlich id X (iii) Die Komposition ist assoziativ: (f (g h))(x) = f(g h)(x) = f(g(h(x))) = (f g)(h(x)) = ((f g) h)(x) x (iv) Trotzdem ist (A(X), ) keine Gruppe, denn es sind ja nicht alle Abbildungen invertierbar! (v) Ist dagegen X eine Menge und S(X) die Menge aller bijektiven Abbildungen φ : X X, so ist (S(X), ) eine Gruppe, denn jetzt sind alle Elemente invertierbar. Definition 3.2 Es sei X eine Menge und S(X) die Menge aller bijektiven Abbildungen φ : X X. (S(X), ) heißt die Gruppe der Permutationen von X oder die symmetrische Gruppe von X. Im wichtigen Spezialfall X = {1, 2,..., n} schreibt man statt S({1, 2,..., n}) kürzer S n. Beispiele Mit Hilfe dieser Schreibweise kann man z.b. die Komposition von Abbildungen schnell berechnen oder die Inverse sofort angeben: ( ) 1 ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = Für endliches X ist S(X) = X! (mit n! := n k=1 k) In S 3 löst man z.b. ( ) ( y = indem man beidseitig von links (die Gruppe ist nicht abelsch!) mit dem Inversen ( ) von multipliziert: ( ) ( ) ( ) ( ) y = y = ), ( ( ) ) 9

10 4 Vektorräume Ein Vektorraum oder linearer Raum ist eine algebraische Struktur. Die Elemente eines Vektorraums heißen Vektoren. Sie können addiert oder mit Skalaren multipliziert werden, das Ergebnis ist wieder ein Vektor desselben Vektorraums. Entstanden ist der Begriff, indem diese Eigenschaften ausgehend von Vektoren des euklidischen Raumes abstrahiert wurden, sodass sie dann auf abstraktere Objekte wie Funktionen oder Matrizen übertragbar sind. Die Skalare, mit denen man einen Vektor multiplizieren kann, stammen aus einem Körper. Deswegen ist ein Vektorraum immer ein Vektorraum über einem bestimmten Körper. Sehr oft handelt es sich dabei um den Körper R der reellen Zahlen. Man spricht dann von einem reellen Vektorraum. Eine Basis eines Vektorraums ist eine Menge von Vektoren, die es erlaubt, jeden Vektor durch eindeutige Koordinaten darzustellen. Die Anzahl der Basisvektoren wird Dimension des Vektorraums genannt. Sie ist unabhängig von der Wahl der Basis und kann auch unendlich sein. Die strukturellen Eigenschaften eines Vektorraums sind eindeutig durch den Körper, über dem er definiert ist, und seine Dimension bestimmt. Definition 4.1 Es sei K ein Körper und V eine Menge mit innerer Verknüpfung + : V V V und einer äußeren Verknüpfung : K V V. V heißt ein K Vektorraum, wenn gilt: (1) (V, +) ist eine abelsche Gruppe (2) Die Multiplikation mit Skalaren ist auf folgende Weise mit (V, +) verträglich: Beispiele (i) (α + β) v = α v + β v α, β K, v V (ii) (αβ) v = α (β v) α, β K, v V (iii) α(v + w) = α v + α w α K, v, w V (iv) 1 v = v v V V = ({0}, +) ist mit der Multiplikation mit Skalaren k 0 := 0 für alle k K für jeden beliebigen Körper K ein Vektorraum, der so genannte nulldimensionale Vektorraum. Jeder Körper K ist auch ein K Vektorraum, wenn man für die Multiplikation mit Skalaren einfach die Körpermultiplikation verwendet. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von dem eindimensionalen arithmetischen K Vektorraum. Für jeden Körper K ist das n-fache kartesische Produkt V = K n mit der Addition und der Multiplikation mit Skalaren (v 1,..., v n ) + (w 1,..., w n ) := (v 1 + w 1,..., v n + w n ) k (v 1,..., v n ) := (kv 1,..., kv n ) ein K-Vektorraum. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von dem n-dimensionalen arithmetischen K-Vektorraum. Dies ist eine Verallgemeinerung des vorhergehenden Beispiels. 10

11 Ist K ein Körper, S eine beliebige nichtleere Menge und Dann ist V mit den Verknüpfungen ein K Vektorraum. Grundlagen V := K S = {f S K}. (f + g)(s) := f(s) + g(s) f, g V, s S (kf)(s) := k f(s) f V, k K, s S Satz 4.1 (Rechenregeln) Es sei K ein Körper und V ein K Vektorraum. Dann gilt: (1) 0 v = 0 v V (2) α 0 = 0 α K (3) α v = 0 α = 0 v = 0 α K, v V (4) ( α) v = α v = α ( v) α K, v V. Ein Untervektorraum ist eine Teilmenge eines Vektorraums, die selbst wieder einen Vektorraum darstellt. Dabei werden die Vektorraumoperationen Vektoraddition und Skalarmultiplikation von dem Ausgangsraum auf den Untervektorraum vererbt. Jeder Vektorraum enthält sich selbst und den Nullvektorraum als triviale Untervektorräume. Jeder Untervektorraum ist das Erzeugnis einer linear unabhängigen Teilmenge von Vektoren des Ausgangsraums. Die Summe und der Durchschnitt zweier Untervektorräume ergibt wieder einen Untervektorraum. Untervektorräume werden in der linearen Algebra unter anderem dazu verwendet, Kern und Bild von linearen Abbildungen, Lösungsmengen von linearen Gleichungen und Eigenräume von Eigenwertproblemen zu charakterisieren. Definition 4.2 (Unterraum) Es seien K ein Körper, V ein K-Vektorraum und U V. Die Menge U heißt Untervektorraum (oder einfach Unterraum, Teilraum oder auch linearer Teilraum), falls gilt: (U 1 ) U (U 2 ) u 1, u 2 U u 1 + u 2 U (U 3 ) u U, α K αu U Damit ist U (mit den gleichen Verknüpfungen wie in V ) ebenfalls ein Vektorraum und enthält den Nullvektor. 11

12 Beispiel ( U := {(x, 2x) R 2 1 x R} = R 2 ist ein Untervektorraum (UVR) des 2-dimensionalen arithmetischen Vektorraumes R 2, denn U ( ) ( ) ( ) ( ) λ 1, λ 2 2 U λ λ 2 2 U und 2 ( ) ( ) 1 1 λ U αλ U α R 2 2 Geometrisch betrachtet ist das eine Gerade durch den Ursprung. Bemerkungen: Der Unterraum U 1 + U 2 heißt Summenraum von U 1 und U 2. Die Lösungsmenge eines homogenen LGS Ax = 0 mit A K m n ist ein Unterraum von K n Die Vereinigung von Vektorräumen ist im Allgemeinen kein Vektorraum. Die Vereinigungsmenge zweier Geraden U 1, U 2 R 2 durch den Nullpunkt ist kein Unterraum (es sei denn U 1 = U 2 ). Satz 4.2 (Durchschnitt von Unterräumen) Der Durchschnitt beliebig vieler Unterräume eines Vektorraums ist ein Unterraum. Erzeugendensysteme Ein Erzeugendensystem ist eine Teilmenge der Grundmenge einer mathematischen Struktur, aus der durch Anwendung der verfügbaren Operationen jedes Element der gesamten Menge dargestellt werden kann. Speziell heißt das im Fall von Vektorräumen, dass alle Vektoren als Linearkombinationen aus Vektoren des Erzeugendensystems dargestellt werden können, im Fall von Gruppen, dass jedes Gruppenelement als Produkt aus Elementen des Erzeugendensystems und deren Inversen zerlegt werden kann. Das Erzeugendensystem ist in der Regel nicht eindeutig bestimmt. Die Existenz eines Erzeugendensystems ist hingegen meist leicht zu zeigen, da oft die Grundmenge selbst als Erzeugendensystem gewählt werden kann. Häufig wird daher versucht, ein minimales Erzeugendensystem zu finden. Definition 4.3 Es seien K ein Körper, V ein K Vektorraum, M V und U := {U U UVR von V mit M U} ) 12

13 die Menge der Unterräume V, die M umfassen. Der von M aufgespannt oder erzeugte Unterraum (auch lineare Hülle oder Spann genannt) ist definiert als M : U. U U Ist V = M, so heißt M ein Erzeugendensystem von V. M ist der kleinste M umfassende Teilraum von V. Satz 4.3 Es seien V ein K-Vektorraum, U 1, U 2 Unterräume und M := U 1 U 2. Dann gilt M = U 1 + U 2 Beispiele Sei v V ein Vektor. Dann ist v = K v = {a v a K}. M = : = 0, der Nullraum Es seien U 1, U 2 R 3 zwei verschiedene Geraden durch den Nullpunkt. Dann ist U 1 + U 2 eine Ebene. 13