Vorkurs Mathematik B

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1 Vorkurs Mathematik B Dr. Thorsten Camps Fakultät für Mathematik TU Dortmund 20. September 2011

2 Definition (R n ) Wir definieren: 1 Der R 2 sei die Menge aller Punkte in der Ebene. Jeder Punkt wird in ein Koordinatensystem eingetragen und ist eindeutig bestimmt durch den Wert auf der x und der y Achse. Wir können daher definieren: R 2 := {(x, y) x, y R}. 2 Der R 3 sei die Menge aller Punkte im Raum. Das zugehörige Koordinatensystem hat drei Achsen, und wir definieren: R 3 := {(x, y, z) x, y, z R}. 3 Allgemein definiert man R n := {(x 1,..., x n ) x 1,..., x n R}. (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 20. September / 15

3 Bemerkung Der R n ist identisch mit dem n fachen kartesischen Produkt von R mit sich selbst. Definition (Vektor im R n ) Ein Vektor im R n ist eine gerichtete Strecke im R n. Dabei verstehen wir unter einer gerichteten Strecke eine Strecke, die eine Orientierung besitzt. Sie beginnt an einem Anfangspunkt und endet an einem Endpunkt. Die Rolle der Punkte ist dabei nicht vertauschbar. (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 20. September / 15

4 Geometrische Interpretation: Ein Vektor ist definiert durch Richtung und Betrag. Richtung und Betrag bestimmen eine gerichtete Strecke eindeutig. Ausgehend von einem Punkt gibt die Richtung vor, wohin die Strecke geht, und der Betrag, wie weit sie geht. Dabei sollen Strecken, die von verschiedenen Punkten ausgehen, aber in Richtung und Betrag identisch sind, als gleich angesehen werden. Statt Richtung und Betrag gibt man normalerweise die Änderung der Koordinaten des Startpunktes an. Man schreibt den Vektor dann genau wie einen Punkt des R n als geordnetes Tupel, üblicherweise jedoch nicht zeilen- sondern spaltenweise. (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 20. September / 15

5 Beispiel 1 2 v := 1 0 ist ein Vektor im R 3. Die zugehörige Strecke erhöht die x Koordinate des Anfangspunktes um 2, vermindert die y Koordinate um 1 und lässt die z Koordinate gleich. 2 Gibt man sich Richtung und Betrag vor, so kann man einen Vektor in obiger Form bestimmen: Sei w der Vektor im R 2, der Betrag (= Länge der Strecke) 2 hat und im Koordinatensystem in Richtung Nordwest geht. Dann ist ( ) 1 w = 1. (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 20. September / 15

6 Wahlweise kann man einen Vektor auch durch Anfangs- und Endpunkt bestimmen. Da ein Vektor die Änderung der Koordinaten beschreibt, ergibt sich für zwei Punkte P, Q R 2, mit P = (p 1, p 2 ) und Q = (q 1, q 2 ): PQ = ( ) q1 p 1. q 2 p 2 Die Schreibweise PQ bedeutet, wir betrachten den Vektor, der P mit Q verbindet. Hier sieht man, dass die Richtung des Vektors wichtig ist, denn für den Vektor von Q nach P gilt: QP = PQ. Für Vektoren zwischen Punkten des R n erhalten wir analog einen Vektor mit n Komponenten/Koordinaten. (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 20. September / 15

7 Definition (Ortsvektor) Betrachtet man keinen beliebigen Anfangspunkt, sondern wählt den Nullpunkt als Anfangspunkt, so spricht man von einem Ortsvektor. Ist w der Vektor von 0 nach P, dann gilt: w = 0P. In diesem Fall stimmen die Komponenten des Vektors 0P mit den Koordinaten des Punktes P überein. Bemerkung: Manchmal ist es praktischer, einen Vektor als Zeilenvektor zu notieren. Um deutlich zu machen, dass man dies tut, erhält der Vektor ein T als Exponenten. D.h. v T (lies: v transponiert) ist der Zeilenvektor zum Spaltenvektor v. (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 20. September / 15

8 Definition (Rechenoperationen) v 1 w 1 w 2 v 2 Für Vektoren v =., w =. Rn und α R definieren wir eine v n w n Addition durch v 1 + w 1 v 2 + w 2 v + w :=. v n + w n und eine skalare Multiplikation durch αv 1 αv 2 α v :=.. αv n (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 20. September / 15

9 Geometrische Interpretation: 1 Die Addition von v und w ist identisch mit dem Ortsvektor, den man erhält, wenn man von 0 ausgehend zuerst die Strecke, die dem Vektor v entspricht, abträgt und danach von dem erhaltenen Endpunkt die Strecke w. Verbindet man dann den Nullpunkt mit diesem Endpunkt, erhält man den Vektor v + w. 2 Die skalare Multiplikation verändert die Länge des Vektors und damit die Länge der gerichteten Strecke. Die Strecke αv hat genau die α fache Länge der Strecke v. Ein negatives α kehrt die Richtung des Vektors um. (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 20. September / 15

10 Satz (Eigenschaften der Rechenoperationen) Seien v, w, u R n Vektoren und α, β R (genannt Skalare). Dann gilt: 1 (v + w) + u = v + (w + u), 2 v + w = w + v, 3 es gibt einen Nullvektor 0 mit v + 0 = v, 4 zu v gibt es einen Vektor v mit v + ( v) = 0, 5 α(βv) = (αβ)v, 6 1v = v, 7 (α + β)v = αv + βv, 8 α(v + w) = αv + αw. (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 20. September / 15

11 Definition (Reeller Vektorraum) Sei allgemein eine Menge V gegeben, für die gilt: 1 Es gibt eine Addition +, so dass v + w definiert ist, 2 es gibt eine skalare Multiplikation, so dass α v definiert ist, 3 es gelten alle Eigenschaften wie im vorigen Satz. Dann heißt V zusammen mit der Addition und der skalaren Multiplikation ein reeller Vektorraum oder R Vektorraum. Beispiel 1 Für jedes n N ist R n ein reeller Vektorraum. 2 Für jedes n N ist die Menge aller Polynome vom Grad n ein reeller Vektorraum. Wie sehen Addition und skalare Multiplikation aus? (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 20. September / 15

12 Definition (Linearkombination, linear unabhängig) Sei V ein R Vektorraum und v 1,..., v k V. 1 Seien λ 1,..., λ k R. Dann heißt die Summe λ 1 v λ k v k eine Linearkombination der Vektoren v 1,..., v k. Die Skalare λ 1,..., λ k heißen auch Koeffizienten. 2 Vektoren v 1 bis v k heißen linear abhängig, wenn es Koeffizienten λ 1 bis λ k gibt, so dass gilt: λ 1 v λ k v k = 0, und mindestens ein Koeffizient ist ungleich 0. 3 Sind v 1 bis v k nicht linear abhängig, so heißen sie linear unabhängig. (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 20. September / 15

13 Definition (Basis) Sei V ein R Vektorraum und v 1,..., v k V. Ist jeder Vektor v V in eindeutiger Weise (also mit eindeutigen Koeffizienten) als Linearkombination der Vektoren v 1 bis v k darstellbar, so heißen v 1 bis v k eine Basis von V und man bezeichnet k als die Länge dieser Basis. Satz 1 Die Vektoren einer Basis sind linear unabhängig. 2 Jede Basis eines Vektorraums hat die gleiche Länge. 3 Im R n hat jede Basis die Länge n. Definition Als Dimension eines Vektorraumes V definieren wir die Länge einer Basis. (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 20. September / 15

14 Beispiel 1 Die Vektoren e 1 := (1, 0, 0) T, e 2 := (0, 1, 0) T und e 3 := (0, 0, 1) T bilden eine Basis des R 3. Eine Basis des R n dieser Form heißt Standardbasis. 2 Die Vektoren v = (1, 2) T und = ( 1, 3) T bilden eine Basis des R 2. 3 Die Vektoren v = (1, 1, 1) T, w = (2, 1, 2) T und u = (1, 7, 1) T bilden keine Basis des R 3. 4 Die Vektoren v = (1, 1) T, w = (1, 1) T und u = (2, 3) T bilden keine Basis des R 2. Wie kann man in den letzten beiden Beispielen eine Basis erhalten? (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 20. September / 15

15 Wir haben bisher immer von der Länge bzw. dem Betrag der gerichteten Strecke gesprochen. Diesen können wir am Vektor ablesen. Für v = (v 1, v 2 ) R 2 beträgt die Länge der gerichteten Strecke genau v v 2 2. Allgemein definieren wir: Definition Für v = (v 1,..., v n ) T R n definieren wir v := v1 2 + v v n 2. v heißt der Betrag von v. (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 20. September / 15