Kapitel 1 Mengen. Kapitel 1 Mengen. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 25

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1 Kapitel 1 Mengen Kapitel 1 Mengen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 25

2 Kapitel 1 Mengen Definition 1.1 (Menge) Unter einer Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen. Diese Objekte heißen dann Elemente der Menge. Beschreibung von Mengen durch Aufzählen aller Elemente mit Mengenklammern {...}.... Angabe einer Eigenschaft E, die die Elemente beschreibt: {x x hat die Eigenschaft E} Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 2 / 25

3 Kapitel 1 Mengen Beispiele: Die Menge der natürlichen Zahlen N := {1, 2, 3,...}. Die Menge der natürlichen Zahlen mit Null N 0 := {0, 1, 2, 3,...}. Für alle natürlichen Zahlen k > 0 definieren wir N k := {k, k + 1, k + 2,...}. Die Menge der ganzen Zahlen: Z := {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}. Die Menge der{ rationalen Zahlen als Menge der (gekürzten) a } Brüche: Q := a, b ganze Zahlen und b > 0. b Die Menge der reellen Zahlen: R. Die Menge der positiven bzw. nicht negativen reellen Zahlen: R + = {x R x > 0}, R 0 = {x R x 0} Die Menge der komplexen Zahlen: C. Die leere Menge ist die Menge, die kein Element enthält. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 3 / 25

4 Kapitel 1 Mengen Schreibweisen: Ist a ein Element der Menge M, so schreiben wir kurz a M. Ist a kein Element der Menge M, so schreiben wir kurz a M. Beispiel: 1 N, 2 Z aber 3 N. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 4 / 25

5 Kapitel 1 Mengen Definition 1.2 (Mengenoperationen) Es seien M und N Mengen. 1. Die Vereinigungsmenge M N ist die Menge der Elemente, die in M oder in N enthalten sind. Also M N = {x x M oder x N}. 2. Die Schnittmenge M N ist die Menge der Elemente, die in M und in N enthalten sind. Also M N = {x x M und x N}. 3. M heißt Teilmenge von N, wenn alle Elemente die in M enthalten sind auch in N enthalten sind. Wir schreiben dann M N oder N M. 4. Die Differenzmenge N \ M ist die Menge der Elemente, die in N enthalten sind, aber nicht in M, also N \ M := {x x N und x M}. 5. Ist M N so ist das Komplement von M (bezüglich N) durch M c := {x x N und x M} definiert. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 5 / 25

6 Kapitel 1 Mengen Bemerkung 1.3 Es gilt in jedem Fall M M. In 4. muss M keine Teilmenge von N sein. Ist zum Beispiel M N =, so ist N \ M = N und M \ N = M. Ist aber M N so ist N \ M = M c und M \ N =. Zwei Mengen M und N sind gleich, wenn die eine jeweils eine Teilmenge der anderen ist. Also M = N genau dann, wenn M N und N M. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 6 / 25

7 Operationen für Mengen M, N,...: Kapitel 1 Mengen Durchschnitt: M N := {x x M und x N} Vereinigung: M N := {x x M oder x N} Differenz: M \ N := {x x M und x/ N}. Graphisch kann man die Mengenoperationen gut mit Hilfe von Venn-Diagrammen darstellen: Ist M N, so heißt M \ N auch das Komplement von N (in M). Veranschaulichung durch sog. Venn-Diagramme: M N N M M N M N N N M M M N M \ N Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 7 / 25

8 Kapitel 1 Mengen Satz 1.4 (Rechenregeln für Mengenoperationen) 1 M N = N M und M N = N M. 2 (M N) P = M (N P ) und (M N) P = M (N P ). 3 M (N P ) = (M N) (M P ). 4 M (N P ) = (M N) (M P ). 5 (M c ) c = M. 6 (M N) c = M c N c und (M N) c = M c N c. 7 M N = ( M N ) \ ( (M \ N) (N \ M) ). 8 (M \ N) (N \ M) = (M N) \ (M N). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 8 / 25

9 Kapitel 1 Mengen Definition 1.5 (Kartesisches Produkt) 1. Das kartesische Produkt zweier Mengen M und N wird mit M N bezeichnet und enthält als Elemente die geordneten Paare (m, n) mit m M und n N. Also: M N = {(m, n) m M und n N}. Ist M G 1 und N G 2 so kann man das kartesische Produkt wie folgt darstellen: G 2 N M x N M G 1 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 9 / 25

10 Kapitel 1 Mengen Definition 1.5 [cont.] 2. Das kartesische Produkt mehrerer Mengen M 1,..., M k wird analog mit Hilfe geordneter k-tupel definiert: M 1 M 2... M k = {(m 1, m 2,..., m k ) m 1 M 1 und m 2 M 2 und... und m k M k }. 3. Stimmen die Mengen überein, so schreiben wir auch M 2 = M M, M 3 = M M M, usw. Bemerkung 1.6 Als Mengen stimmen M N und N M i.a. nicht überein. Als Mengen stimmen (M N) P und M N P und M (N P ) i.a. nicht überein. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 10 / 25

11 Kapitel 1 Mengen Definition 1.7 (Quantoren) Ist A eine Eigenschaft, die für die Elemente einer Menge M sinnvoll ist, so schreiben wir x M : A(x), wenn jedes Element aus M die Eigenschaft A hat in Worten: für alle x M gilt A(x) und x M : A(x), wenn es mindestens ein Element aus M gibt, das die Eigenschaft A hat in Worten: es gibt ein x M mit A(x). Beispiel: Das kartesische Produkt von k Mengen lässt sich wie folgt schreiben: M 1... M k = { (m 1,..., m k ) i {1,..., k} : m i M i }. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 11 / 25

12 Kapitel 2 Zahlen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 12 / 25

13 Uns bisher bekannte Zahlenbereiche sind N Z Q R ( C). }{{} später Definition 2.1 (Rationale und irrationale Zahlen) 1 R ist die Menge der Dezimalbrüche. 2 Q ist die Menge der abbrechenden oder periodischen Dezimalbrüche. Dabei wird allerdings die Periode 9 ausgeschlossen, indem man die Zahl n, a 1 a 2... a k 1 a k 9 mit der Zahl n, a 1 a 2... a k 1 b k identifiziert mit b k = a k + 1. Dabei ist n N 0, a 1, a 2,..., a k 1 {0, 1,..., 9}, a k {0, 1,..., 8}. 3 Die Elemente der Menge R \ Q, also die nicht-abbrechenden und nicht-periodischen Dezimalbrüche, heißen irrationale Zahlen. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 13 / 25

14 Beispiele irrationaler Zahlen: Die Länge der Diagonale eines Quadrates der Seitenlänge 1 ist irrational. Diese Länge ist 2 = 1, Der Umfang eines Kreises mit Durchmesser 1 ist irrational. Diese Länge ist π = 3, Die Eulersche Zahl e = 2, ist irrational. Definition 2.2 (Rechenoperationen) Sind x, y R so sind die Rechenoperationen x + y, x y, xy und für y 0 auch x y erklärt. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 14 / 25

15 Satz 2.3 (Rechenregeln) 1. x + y = y + x und xy = yx (Kommutativgesetze) 2. x + (y + z) = (x + y) + z und x(yz) = (xy)z (Assoziativgesetze) 3. x(y + z) = xy + xz (Distributivgesetz) Als direkte Konsequenz erhalten wir die drei Binomischen Formeln 4. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 und (a + b)(a b) = a 2 b 2. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 15 / 25

16 Definition 2.4 (Kurzschreibweisen für Summen und Produkte) Sind m, n N 0 mit m n und a m, a m+1,..., a n R so schreiben wir n 1. a k = a m + a m a n und 2. n a k = a m a m+1... a n Dabei kann der Laufindex eine beliebige Variable sein, etwa n n a k = a j. j=m Es gelten die folgenden Vereinbarungen wenn m > n ist n a k = 0 und n a k = 1 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 16 / 25

17 Rechenregeln und Beispiele: a n a k = n a k + n a k n (a a k ) n b k = n b k = n (a k + b k ) und n (a k b k ). Indexverschiebung: n a k = Arithmetische Summenformel: geometrische Summenformel: Zahl q 1. n+t +t a k t. n k = k=1 n k=0 n(n + 1). 2 q k = 1 qn+1 1 q für eine reelle Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 17 / 25

18 Definition 2.5 (Potenzen) Für a R und n N 0 setzen wir a n := n a. Insbesondere gilt also a 0 = 1 und 0 0 = 1 aber 0 n = 0 für n > 0. Für a R \ {0} und n N 0 setzen wir a n := 1 a n. a R heißt die Basis und n Z der Exponent der Potenz a n. Satz 2.6 (Potenzregeln) Für n, m Z gilt: k=1 1 a m a n = a n+m und a n b n = (ab) n sowie 2 (a m ) n = a mn falls die Ausdrücke definiert sind. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 18 / 25

19 Definition 2.7 (Quadratwurzel) Sind a, b R und b 2 = a so definieren wir {b falls b 0 a := b falls b < 0 Die stets nicht-negative Zahl a heißt Quadratwurzel von a. Satz 2.8 (Existenz der Quadratwurzel) Die Gleichung x 2 = a besitzt für a < 0 keine reelle Lösung,... für a = 0 die eindeutige (reelle) Lösung x = 0 und... für a > 0 die zwei (reellen) Lösungen x 1 = a und x 2 = a. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 19 / 25

20 Der Satz 2.8 lässt sich noch verallgemeinern: Satz 2.9 (Höhere Wurzeln) 1 Ist n eine natürliche ungerade Zahl, dann hat die Gleichung x n = a genau eine reelle Lösung und diese bezeichnen wir mit x = n a. 2 Ist n eine natürliche gerade Zahl mit n 0, dann hat die Gleichung x n = a für a < 0 keine reelle Lösung,... für a = 0 die eindeutige (reelle) Lösung x = 0 und... für a > 0 die zwei reellen Lösungen, die wir mit x 1 = n a und x 2 = n a bezeichnen. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 20 / 25

21 Bemerkung 2.10 Wir setzen nun a 1 n := n a für a 0 und n 0, und definieren(!) a m n := ( ) a 1 n m. Dann kann man zeigen, dass die Rechenregeln aus Satz 2.6 weiterhin gültig bleiben. Somit haben wir das Potenzieren von ganzen auf rationale Exponenten erweitert. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 21 / 25

22 Satz 2.11 (pq-formel) Es sei D := p 2 4q. Dann besitzt die quadratische Gleichung x 2 + px + q = die eindeutige (reelle) Lösung x = p falls D = 0, 2... die zwei (reellen) Lösungen x 1 = p + D und x 2 = p D 2 2 falls D > 0, und... keine reelle Lösung falls D < 0. Die Zahl D heißt Diskriminante der quadratischen Gleichung. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 22 / 25

23 Definition 2.12 (Fakultät und Binominalkoeffizient) 1 Für natürliche Zahlen n N 0 ist die Fakultät definiert als n! := n k. k=1 Also gilt insbesondere 0! = 1 und (n + 1)! = n! (n + 1). 2 Für zwei natürliche Zahlen k, n N 0 mit k n ist der Binomialkoeffizient definiert als ( ) n n! n(n 1) (n k + 1) := = k k!(n k)! k! Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 23 / 25

24 Satz 2.13 (Eigenschaften der Binomialkoeffizienten) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n = = 1 und =. 0 n k n k ( ) ( ) ( ) n n n = (Additionstheorem). k k + 1 k + 1 Begründung: Es ist = = ( ) ( ) n n + = k k + 1 n!(k + 1) (k + 1)!(n k)! + n!(n k) (k + 1)!(n k)! (n + 1)! (k + 1)!(n + 1 (k + 1))! = ( n + 1 k + 1 n! k!(n k)! + n! (k + 1)!(n k 1)! n!(k n k) = (k + 1)!(n k)! ) Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 24 / 25

25 Wegen des Additiontheorems lassen sich die Binomialkoeffizienten im Pascalschen Dreieck anordnen: ( n k) n Satz 2.14 (Binomischer Lehrsatz) Für x, y R und n N 0 gilt (x + y) n = n k=0 ( ) n x k y n k k Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 25 / 25