Zahlen 25 = = 0.08

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1 2. Zahlen Uns bisher bekannte Zahlenbereiche: N Z Q R ( C). }{{} später Schreibweisen von rationalen/reellen Zahlen als unendliche Dezimalbrüche = Dezimalentwicklungen. Beispiel (Rationale Zahlen) 1 10 = 0.1, 11 5 = = 2.2, 2 25 = = 0.08 Merke: Enthält Nenner des gekürzten Bruches nur Primfaktoren 2 und 5, so ist die Dezimalentwicklung abbrechend bzw. hat die Periode 0: 1 5 = 2 10 = 0.2 = 0.2 0, Andere Situation: 2 3 = 0. 6 = = G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematischer Vorkurs September / 287

2 Sprechweisen: Zahlen x hat die unendliche Dezimalbruchdarstellung oder einfach Dezimalentwicklung ±n, a 1 a 2... mit n N und den Ziffern a i {0, 1, 2,..., 9}, wenn x = ±n + a a Periodisch heißt die Dezimalentwicklung, wenn die Ziffernfolge ab einen gewissen a k+1 durch Hintereinanderkopieren eines gewissen Abschnittes entsteht: ±n, a 1 a 2... a k a k+1... a k+l a k+1... a k+l... Wir schreiben stattdessen ±n, a 1 a 2... a k a k+1... a k+l Abbrechend heißt eine Dezimalentwickung mit Periode 0. G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematischer Vorkurs September / 287

3 Wie wandelt man um? Zahlen Bruch Dezimalentwicklung: Schriftliches Dividieren liefert periodischen Dezimalbruch! Dezimalentwicklung Bruch: Nutze Tricks wie = und = Es gibt aber auch reell vorkommende nicht rationale Zahlen. Prominentes Beispiel: 2 (vgl. Vorl.) Diese irrationalen Zahlen lassen ebenfalls - nun aber nicht mehr periodische - Dezimalentwicklungen zu. Beispiel (Irrationale Zahlen) 2 = (Diagonallänge des Einheitsquadrats) e = (Eulersche Zahl) π = (Fläche des Einheitskreises) G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematischer Vorkurs September / 287

4 Definition 2.1 (Reelle Zahlen) R := { x x ist unendlicher Dezimalbruch}. Als Teilmengen liegen darin die Menge der rationalen Zahlen Q = { x x ist unendlicher periodischer Dezimalbruch} und der irrationalen Zahlen R\Q = { x x ist unendlicher nichtperiodischer Dezimalbruch} Man kann zeigen, dass die Dezimalentwicklung einer reellen Zahl eindeutig ist, wenn man auf Dezimalentwicklungen verzichtet, die auf Periode 9 enden. G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematischer Vorkurs September / 287

5 zur Darstellung der reellen Zahlen dient die Zahlengerade Mathematik ist für viele Arithmetik, d.h. die Erfassung von Quantitäten durch Zahlen (i.d.r. der reellen Zahlen) und das Rechnen mit diesen. Auf den reellen Zahlen sind die Rechenoperationen der Addition und Multiplikation erklärt und als Folge hiervon die Operationen der Subtraktion und Division: Definition 2.2 (Die Körperaxiome der reellen Zahlen) Sind a, b R, so liefern die Rechenoperationen a + b (Addition) und a b =: ab (Multiplikation) von a und b wiederum reelle Zahlen. Dabei gelten folgende Regeln ( a, b, c R): G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematischer Vorkurs September / 287

6 1. (a + b) + c = a + (b + c), (Assoziativität der Addition) 2. a + b = b + a, (Kommutativität der Addition) 3. Es gibt genau ein Element in R, nämlich 0, so dass für alle a R gilt: a + 0 = a (Neutrales Element) 4. Für jedes a R gibt es genau ein Element, genannt a, mit a + ( a) = 0. Wir schreiben a b := a + ( b). (Subtraktion). 5. (a b) c = a (b c) (Assoziativität der Multiplikation) 6. a b = b a, (Kommutativität der Addition) 7. Es gibt genau ein Element in R, nämlich 1, so dass für alle a R gilt: a 1 = a (Neutrales Element) 8. Für jedes a R\{ 0} gibt es genau ein Element, genannt a 1, mit a a 1 = 1. Wir schreiben a b := a b := a b 1. (Division). 9. a(b + c) = ab + ac (Distributivgesetz) G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematischer Vorkurs September / 287

7 Hieraus ergeben sich viele Folgerungen. Eine kleine Auswahl: Satz a 0 = 0, 2. ab = 0 a = 0 oder b = 0, (Nullteilerfreiheit) 3. (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2, (1./2. Binomische Formel) 4. (a + b)(a b) = a 2 b 2. (3. Binomische Formel) Definition 2.4 (Summen- und Produktzeichen) Sind m, n N 0 mit m n und a m, a m+1,..., a n R, so schreiben wir 1. a k := a m + a m a n und n 2. a k := a m a m+1... a n. Für m > n vereinbart man a k := 0 n und a k := 1. G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematischer Vorkurs September / 287

8 In solchen Schreibweisen kann der Laufindex (oben jeweils k) eine beliebige freie Variable sein, z.b. a k = a j. Rechenregeln j=m a a k = (a a k ) n a k + a k a k = b k = n b k = (a k + b k ) und n+t +t a k t. n (a k b k ). (Indexverschiebung) G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematischer Vorkurs September / 287

9 Beispiel (Anwendung) Arithmetische Summenformel: k = k=1 n(n + 1). 2 Geometrische Summenformel: für eine reelle Zahl q 1. k=0 q k = 1 qn+1 1 q G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematischer Vorkurs September / 287

10 Definition 2.5 (Potenzen) Für a R und n N 0 setzen wir a n := n a. Insbesondere gilt also a 0 = 1 und so 0 0 = 1, aber 0 n = 0 für n > 0. Für a R \ {0} und n N 0 setzen wir a n := 1 a n. a R heißt die Basis und n Z der Exponent der Potenz a n. k=1 Satz 2.6 (Potenzregeln) Für m, n Z gilt: 1. a m a n = a n+m und a n b n = (ab) n sowie 2. (a m ) n = a mn falls die Ausdrücke definiert sind. G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematischer Vorkurs September / 287

11 Definition 2.7 (Quadratwurzel) Sind a, b R und b 2 = a, so definieren wir {b falls b 0 a := b falls b < 0 a ist also die nicht negative Zahl, deren Quadrat a ist und heißt Quadratwurzel von a. Gibt es zu jeder reellen Zahl eine Quadratwurzel? Satz 2.8 (Existenz der Quadratwurzel) 1. Genau die reellen Zahlen a 0 besitzen Quadratwurzeln. 2. Die Gleichung x 2 = a besitzt für a < 0 keine reelle Lösung,... für a = 0 die eindeutige Lösung x = 0 und... für a > 0 genau zwei Lösungen x1 = a und x 2 = a. G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematischer Vorkurs September / 287

12 Satz 2.9 (Quadratische Gleichung: pq-formel) Zu der quadratischen Gleichung x 2 + px + q = 0 definiert man die Diskriminante D := p 2 4q. Dann besitzt die Gleichung x 2 + px + q = für D = 0 die eindeutige Lösung x = p 2,... für D > 0 die zwei Lösungen x 1 = p + D 2 x 2 = p D und 2... für D < 0 keine reelle Lösung. und Der Beweis ist hier selbst konstruktive Lösungsmethode für quadratische Gleichungen (sog. quadratische Ergänzung, vgl. Vorlesung) und erlaubt eigentlich auch gleich wieder, die Formeln zu vergessen. G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematischer Vorkurs September / 287

13 Definition Für n N 0 ist die Fakultät definiert als n! := n k. k=1 Also gilt insbesondere 0! = 1 und (n + 1)! = n! (n + 1). 2. Für k, n N 0 mit k n ist der Binomialkoeffizient ( n k), gesprochen n über k, definiert als ( ) n n! n(n 1) (n k + 1) := = k k!(n k)! k! Satz 2.11 (Eigenschaften) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n 1. = = 1 und =. 0 n k n k ( ) ( ) ( ) n n n =, 1 k n (Additionstheorem). k 1 k k G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematischer Vorkurs September / 287

14 Das Additionstheorem ist wie eine Rekursionsformel. Kennt man alle ( ) n k für ein gewisses n, so kann man damit alle ( ) n+1 k berechnen. Das Vorgehen entspricht dabei dem im Pascalschen Dreieck. Dieses liefert daher die Binomialkoeffizienten, die insbesondere natürliche Zahlen sind! ( n k) n k=0 k=1 k=2... Beispiel (Anzahl von k-elementigen Teilmengen n-elementiger Mengen) Die Anzahl A(n, k) der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge hat ebenfalls die in 1.13 formulierten Eigenschaften und kann daher auch aus dem gleichen Pascalschen Dreieck gewonnen werden. Daher: Eine n-elementige Menge hat genau ( n k) Teilmengen mit k Elementen. G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematischer Vorkurs September / 287

15 Satz 2.12 (Binomischer Lehrsatz) Für a, b R und n N 0 gilt (a + b) n = k=0 ( ) n a k b n k k Einen Beweis gelingt einfach mittels vollständiger Induktion (vgl. später). Hier verwenden wir stattdessen die Aussage des letzten Beispiels um die die Formel zu erhellen. Beispiel (Wieviel Teilmengen besitzt eine n-elementige Menge?) Eine einfache Folgerung des Binomischen Lehrsatzes ist: eine n-elementige Menge besitzt 2 n unterschiedliche Teilmengen. Setze dort a = b = 1... G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematischer Vorkurs September / 287