1.Rationale und irrationale Zahlen. Quadratwurzel.
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- Eva Hennie Gerstle
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1 1.Rationale und irrationale Zahlen 1.1Quadratwurzeln Die Quadratwurzel aus einer rationalen Zahl 5 = 5; denn 5 = 5 und 5 > 0 r > 0 (geschrieben r ) ist diejenige nichtnegative Zahl, deren Quadrat r ergibt. 0 = 0; denn 0 = 0 und 0 > 0 Die Quadratwurzel aus einer rationalen Zahl,4 = 1,8; denn 1,8 =,4 und r > 0 ist die nicht-negative 1,8 > 0 Lösung der Gleichungen x = r. r heißt Radikand der Wurzel. Der Radikand einer Wurzel darf nicht negativ sein. Es ist x = x. 8 = -8 = 8 Wenn die Gleichung x = r mit r > 0 in Q lösbar x = 4 x= 4 oder x= 4 ist, dann hat sie die beiden Lösungen r und r. also x = oder x = - Eine rationale Zahl besitzt genau dann eine rationale Quadratwurzel, = 7 5 = 5 7 = wenn in vollständig gekürzten Form im Nenner und im Zähler alle Primfaktoren mit geraden Für = Exponenten vorkommen. 5 = 5 6 gibt es keine rationale Quadratwurzel. Aufgaben: 1. Berechne. a) 9 b) 0,16 c) Rationale und irrationale Zahlen Seite 1 von 7
2 Lösungen 1. Berechne. a) 9 = b) 0,16 = 0,4 c) 4 = 4 1 = 8 7 = 14 Rationale und irrationale Zahlen Seite von 7
3 1. Irrationale Zahlen und die Menge der reellen Zahlen -1,11111 R Q 6, ,8 Z -4 N 18 Die Menge R der reellen Zahlen besteht aus der Menge der rationalen Zahlen und der Menge der irrationalen Zahlen. Die rationalen Zahlen sind die endlichen und unendlichen, periodischen Dezimalzahlen, die irrationalen Zahlen sind die unendlichen, nichtperiodischen Dezimalzahlen. Die Menge der reellen Zahlen R ist also die Menge aller Dezimalzahlen. Ist eine narürliche Zahl keine Quadratzahl, so ist ihre Quadratwurzel irrational. Irrationale Zahlen lassen sich durch endliche Dezimalzahlen beliebig genau annähern. Das Heron-Verfahren liefert mit einem Startwert x 0 > 0 mittels der Formel x n = (x n-1 + a x n 1 ) : schnell sehr gute Näherungswerte x n für a. In der folgenden Tabellenkalkulation braucht man noch die Werte für a und x 0 (gelbe Felder) einzugeben. A B C 1 Ermitteln von Wurzel aus a a = 11 4 n xn a/xn Rationale und irrationale Zahlen Seite von 7
4 Aufgaben: 1. Berechne durch systematisches Probieren für die folgenden reellen Zahlen jeweils Näherungswerte, die von den exakten Werten um weniger als 0,001 abweichen. a) 1 b) 15 c) Lösungen: 1. Berechne durch systematisches Probieren für die folgenden reellen Zahlen jeweils Näherungswerte, die von den exakten Werten um weniger als 0,001 abweichen. a) 1 =,605 b) 15 = 1,69 c) = 1,647 = 1, Umgang mit Wurzeltermen Summen, Produkte und Quotienten 16-4 = 4 = von reellen Zahlen, die nicht alle π/ =,14 : = 1,57 rational sind, lassen sich im Allgemeinen oder im TR: π 5 = 7, nur näherungsweise berechnen. Für das Produkt bzw. den Quotienten von Quadratwurzeln gilt: a b = a b (a,b 0) 4,5 = 9 = a b = a b (a 0, b > 0) 1,5 = 6,5 =,5 Summen und Differenzen von Quadrat =5 4 7 wurzeln kann man nur dann zusammenfassen, wenn die Radikanden gleich sind. Rationale und irrationale Zahlen Seite 4 von 7
5 Lässt sich der Radikand so faktorisieren, dass ein Faktor eine Quadratzahl ist, dann 108 = 6 = 6 kann die Wurzel teilweise radiziert werden. a b = a b (b 0) Umgekehrt lässt sich ein positiver Faktor vor einer Quadratwurzel durch Quadrieren unter 6 = 6 = 4 die Wurzel ziehen. 6 Quadratwurzeln im Nenner eines Bruchs = 6 können durch geeignetes Erweitern beseitigt werden (Rational machen des Nenners). = 6 = Aufgaben: 1. Vereinfache soweit wie möglich. a) b) 7 7 c) Richtig oder Falsch? Korrigiere die falschen Lösungen! a) 48 = 4 b) = 8 c) 80 = = 5 8 = 6 Lösungen: 1. Vereinfache soweit wie möglich. a) = 14 6 b) 7 7 = 7 Rationale und irrationale Zahlen Seite 5 von 7
6 c) 8 = = 0 1 = 6. Richtig oder Falsch? Korrigiere die falschen Lösungen! a) 48 = 4 Falsch: 48 = 4 b) = 8 Falsch: = 8 c) 80 = 4 5 Richtig 00 = 5 8 Falsch: 00 = 10 = 6 Falsch: = 1.4 Potenzen mit rationalen Exponenten Die n-te Wurzel (n ε N ) aus einer reellen Zahl a 0 ist diejenige nicht-negative Zahl, deren n-te Potenz a ergibt. ( Die n-te Wurzel (n ε N ) aus einer reellen Zahl a 0 ist die nicht-negative Lösung der Gleichung x n = a. n Schreibweise: a oder a 1/n ; a heißt Radikand der n-ten Wurzel. Zum Beispiel: 7 1/ = 7 = 8 =, denn = 8 und > = 1 10, denn )4 = und 1 10 > 0 Potenzen mit ratinalen Exponenten sind so definiert, dass die von Potenzen mit ganzzahligen Exponenten bekannten Rechengesetzen weiterhin gelten. Für a, b ε R und x, y ε Q gilt: (1) a x a x = a x + y Bsp.: 8 1/ 8 5/ = 8 1/ + 5/ = 8 () a x : a y = a x y Bsp.: 0,16 : 0,16 1,5 = 0,16 1,5 = 0,16 0,5 = 0,16 0,4 Rationale und irrationale Zahlen Seite 6 von 7
7 () (a x ) y = a x y Bsp.: (8 1/ ) 6 = 8 1/ 6 = 8 6/ = 8 (4) a x b x = (a b) x Bsp.: 1,6 0,5 10 0,5 = (1,6 10) 0,5 = 16 0,5 = 16 = 4 (5) a x : b x =(a : b) x Bsp.: 1,6 0,5 : 10 0,5 = (1,6 : 10) 0,5 = 0,16 0,5 = 16 = 0,4 Die Wurzelschreibweise lässt sich bei der Verwendung rationaler Exponenten komplett durch die Potenzschreibweise ersetzen: n a m = (a m ) 1/n = a m 1/n = a m/n ; für alle reellen Zahlen a 0. Aufgaben: 1. Berechne den Wert ohne Taschenrechner. a) b) ,008 c) 80-0,5 80-0,5 ( 0, ) 4 (11 ) 0,5 Lösungen: 1. Berechne den Wert ohne Taschenrechner. a) b) 4 65 = 65 1/4 = 5 0,008 = 0,008 1/ = 0, c) 80-0,5 80-0,5 = 80-1 = 1 80 = 0,015 ( 0, ) 4 = 0, 4 = 16 (11 ) 0,5 = 11 0,5 = 11 Rationale und irrationale Zahlen Seite 7 von 7
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