1 Mengen und Mengenoperationen

Transkript

1 1 Mengen und Mengenoperationen Man kann verschiedene Objekte mit gemeinsamen Eigenschaften zu Mengen zusammenfassen. In der Mathematik kann man z.b. Zahlen zu Mengen zusammenfassen. Die Zahlen 0; 1; 2; 3;... bilden eine Menge. Mit diesen Zahlen zählt man. Die Menge N ={0;1;2;3;...} heißt die Menge der natürlichen Zahlen. (In einigen Lehrbüchern gehört das Element 0 nicht zur Menge N.) 1.1 Endliche und unendliche Mengen Folgende Zahlenmengen sollen untersucht werden: M 1 = {4;5;6} M 2 = {7;8;9;10} M 3 = {4;5;6;7;8} M 4 = {9;10} M 5 = {0;22;27} M 6 = {7;8;9;10} Die Menge M 1 besteht aus den Elementen 4; 5 und 6. 4; 5 und 6 sind die Elemente der Menge M 1. Für die Aussage "4 ist ein Element der Menge M 1 " schreibt man : 4 0 M 1. Die Menge M 1 besteht aus 3 Elementen. Das sind endlich viele Elemente. Deshalb ist die Menge M 1 eine endliche Menge. Die Menge N der natürlichen Zahlen ist keine endliche Menge, weil sie aus unendlich vielen Elementen besteht. Alle Elemente der Mengen M 1 bis M 6 sind natürliche Zahlen. 1.2 Relationen zwischen Mengen Die Mengen M 1 und M 6 bestehen aus den gleichen Elementen. Sie sind gleich. Definition: Zwei Mengen sind gleich genau dann, wenn sie aus den gleichen Elementen bestehen. Wir betrachten die Mengen M 1 und N. Alle Elemente der Menge M 1 sind auch Elemente der Menge N. Die Menge M 1 ist eine Teilmenge der Menge N. Man schreibt dafür: M 1 f N. Definition: Eine Menge A ist eine Teilmenge der Menge B genau dann, wenn alle Elemente von A auch Elemente von B sind. Die Menge M 6 ist keine Teilmenge von M 3 (M 6 é M 3 ), weil nicht alle Elemente von M 6 auch Elemente von M 3 sind. 9 ist z.b. kein Element von M 3 (9 ó M 3 ). Für die Mengen M 1, M 2, M 3, M 4 und M 6 gilt z.b.: M 1 f M 3, M 4 f M 2, M 1 é M 2 und M 2 f M 6. Die Mengen N g = {0;2;4;6;...} und N u = {1;3;5;7;...} sind unendliche Teilmengen der Menge N. Die Elemente der Menge N g heißen gerade Zahlen, die Elemente der Menge N u ungerade Zahlen. Die Zahl 2n ist für alle n 0 N eine gerade Zahl. Die Zahl 2n+1 mit n 0 N ist eine ungerade Zahl. Die Menge M 4 ist eine Teilmenge der Menge M 2, Aber die Menge M 4 ist ungleich der Menge M 2. Die Menge M 4 ist eine echte Teilmenge der Menge M 2 (M 4 d M 2 ). Definition: Eine Menge A ist eine echte Teilmenge der Menge B genau dann, wenn A eine Teilmenge von B ist und wenn A und B ungleich sind. 1

2 Mengen Weitere Beispiele für echte Teilmengen sind: M 1 d M 3 und M 1 d N. 1.3 Mengenoperationen Aus Mengen kann man neue Mengen bilden. Aus den Mengen M 2 ={7;8;9;10} und M 3 ={4;5;6;7} kann man die Menge M = {4;5;6;7;8;9;10} bilden. Für alle Elemente x aus M gilt, dass x ein Element aus M 2 oder ein Element aus M 3 ist. Die Menge M heißt die Vereinigungsmenge der Mengen M 2 und M 3 (M = M 2 c M 3 ). Definition: 2 Eine Menge V heißt Vereinigungsmenge der Mengen A und B genau dann, wenn alle Elemente dieser Menge V Elemente der Menge A oder der Menge B sind. Die gemeinsamen Elemente der Mengen M 2 und M 3 bilden eine neue Menge D. Man nennt diese Menge Durchschnittsmenge der Mengen M 2 und M 3 und schreibt dafür D = M 2 1 M 3 = {7;8}. Definition: Eine Menge D heißt Durchschnittsmenge der Mengen A und B genau dann, wenn alle Elemente dieser Menge D Elemente der Menge A und der Menge B sind. Die Mengen M 1 = {4;5;6} und M 4 = {9;10} haben keine gemeinsamen Elemente. Die Durchschnittsmenge der Mengen M 1 und M 4 hat also kein Element. Diese Menge heißt die leere Menge. Das Symbol für "die leere Menge" ist " i ". Die leere Menge hat kein Element. M 1 1 M 4 = i Eine andere Mengenoperation ist die Bildung der Differenzmenge von zwei Mengen. Ein Element x gehört zur Differenzmenge der Mengen M 2 und M 3, wenn x ein Element aus der Menge M 2 aber kein Element aus der Menge M 3 ist. Die Differenzmenge der Mengen M 2 und M 3 besteht aus den Elementen 9 und 10. M 2 \ M 3 = {9;10} Definition: Eine Menge D AB heißt Differenzmenge der Mengen A und B genau dann, wenn alle Elemente dieser Menge D AB Elemente der Menge A und keine Elemente der Menge B sind. Beispiele: Die Differenzmenge der Mengen M 3 und M 2 besteht aus den Elementen 4; 5 und M 3 \ M 2, weil 4 0 M 3 v 4 ó M 2 ist. ("4 ist ein Element aus M 3 \ M 2, weil 4 aus M 3 und nicht aus M 2 ist.") 7 ó M 3 \ M 2, weil 7 0 M 3 und 7 0 M 2 ist. ("7 ist kein Element aus M 3 \ M 2, weil 7 aus M 3 und aus M 2 ist.") 9 ó M 3 \ M 2, weil 9 ó M 3 ist. ("9 ist kein Element aus M 3 \ M 2, weil 9 nicht aus M 3 ist.")

3 Mengen und Mengenoperationen 1.4 Mengendiagramme Die folgenden Mengendiagramme sind Skizzen für Mengenoperationen. Beispiel: 1. Die Vereinigungsmenge A c B 1.1. A c B 1.2. A c B 1.3. A c B = A 2. Die Durchschnittsmenge A 1 B 2.1. A 1 B 2.2. A 1 B = i 2.3. A 1 B = B 3. Die Differenzmenge A \ B 3.1. A \ B 3.2. A \ B = A 3.3. A \ B 3.4. A \ B = i 1.5 Wichtige Symbole Im folgenden sollen H 1 und H 2 mathematische Ausdrücke sein. Oft haben Sätze in der Mathematik die Form: "Wenn H 1, so H 2.", in Symbolen: H 1 6 H 2. Viele Definitionen haben die Form: "H 1 genau dann, wenn H 2." ( H 1 : H 2 ) 3

4 Mengen Für die Verbindung von zwei mathematischen Ausdrücken durch "und" schreibt man das Symbol "v". Beispiele: 1. Wenn x eine ungerade Zahl ist, so ist x eine natürliche Zahl. Wenn x 0 N u ist, so ist x 0 N. x 0 N u 6 x 0 N 2. Die Mengen A und B sind gleich genau dann, wenn A eine Teilmenge von B ist und wenn B eine Teilmenge von A ist. A = B genau dann, wenn A f B und B f A ist. A = B : A f B v B f A Man benutzt auch folgende Symbole: " ": "Es gibt mindestens einen/eine/ein... " und "œ": "Für alle... " Beispiele: 1. Man schreibt: x 0 N: x ó N u Man liest: Es gibt mindestens ein Element x aus der Menge N, so dass x kein Element aus der Menge N u ist. 2. Man schreibt: œx 0 N u : x 0 N Man liest: Für alle Elemente x aus N u gilt, dass x ein Element aus der Menge N ist. 3. A f B : œx 0 A: x 0 B (A ist eine Teilmenge von B genau dann, wenn für alle x aus A gilt, dass x aus B ist.) 4. A d B : A f B v x 0 B: x ó A (A ist eine echte Teilmenge von B genau dann, wenn A eine Teilmenge von B ist und wenn es mindestens ein x aus B gibt, so dass x kein Element aus A ist.) Für die Verbindung von zwei mathematischen Ausdrücken durch "oder" schreibt man das Symbol " w ". Spezielle mathematische Ausdrücke heißen Aussagen, wenn sie entweder wahr oder falsch sind. Es gilt: "H 1 oder H 2 " ist eine wahre Aussage, wenn mindestens eine der Aussagen wahr ist. "H 1 oder H 2 " ist wahr für: Fall 1: H 1 ist wahr und H 2 ist falsch. Fall 2: H 1 ist falsch und H 2 ist wahr. Fall 3: H 1 ist wahr und H 2 ist wahr. Diese drei Fälle muss man z.b. bei der Bildung der Vereinigungsmenge beachten. Beispiele: M 2 = {7;8;9;10} M 3 = {4;5;6;7;8} 10 0 M 2 und 10 ó M 3 (Fall 1), deshalb gilt: 10 0 M 2 c M 3 4 ó M 2 und 4 0 M 3 (Fall 2), deshalb gilt: 4 0 M 2 c M M 2 und 7 0 M 3 (Fall 3), deshalb gilt: 7 0 M 2 c M 3 Aber: 2 ó M 2 und 2 ó M 3, deshalb gilt: 2 ó M 2 c M 3 Die Definitionen der Mengenoperationen kann man auch mit Symbolen schreiben: 4

5 Mengen und Mengenoperationen Beispiele: Definition der Vereinigungsmenge V der Mengen A und B: V = A c B : œx 0 V: (x 0 A w x 0 B) Definition der Durchschnittsmenge D der Mengen A und B: D = A 1 B : œx 0 D: (x 0 A v x 0 B) Definition der Differenzmenge D AB der Mengen A und B: D AB = A \ B : œx 0 D AB : (x 0 A v x ó B) Fragen zum Text 1. Wie viel Elemente hat die Menge B = {6;7;8;9}? 2. Aus wie viel Elementen besteht die Menge B? 3. Warum ist D = {8;9;10} eine endliche Menge? 4. Unter welcher Bedingung sind zwei Mengen gleich? 5. Was für eine Menge ist die Menge N der natürlichen Zahlen? 6. Was für Zahlen sind die Elemente der Mengen B und D aus den Fragen 1 und 3? 7. Unter welcher Bedingung ist die Menge G eine Teilmenge der Menge H? 8. Kann eine unendliche Menge eine unendliche Teilmenge haben? 9. Kann eine endliche Menge eine unendliche Teilmenge haben? 10. Unter welcher Bedingung ist die Menge G eine echte Teilmenge der Menge H? 11. Was für Zahlen sind 2n und 2n+1, wenn n 0 N ist? 12. Unter welcher Bedingung ist x ein Element der Vereinigungsmenge der Mengen K und P? 13. Unter welcher Bedingung ist die Vereinigungsmenge der Mengen K und P gleich der Menge K? 14. Definieren Sie die Vereinigungsmenge der Mengen K und P! 15. Unter welchen Bedingungen ist "x 0 K w x 0 P" wahr? 16. Unter welcher Bedingung ist x ein Element aus der Durchschnittsmenge der Mengen K und P? 17. Unter welcher Bedingung ist die Durchschnittsmenge der Mengen P und K gleich der Menge K? 18. Definieren Sie die Durchschnittsmenge der Mengen K und P! 19. Was versteht man unter der leeren Menge? 20. Aus welchen Elementen besteht die Differenzmenge der Mengen K und P? 21. Aus welchen Elementen besteht die Differenzmenge der Mengen P und K? 22. Definieren Sie die Differenzmenge der Mengen P und K! 23. Lesen Sie: "X 6 Y"! 24. Lesen Sie: "X : Y"! 25. Lesen Sie: " x 0 R:..."! 26. Lesen Sie: "œx 0 R:..."! 5

6 Mengen Übungen und Aufgaben 1. Lesen Sie! a 0 N v b,c ó M < a ist ein Element aus der Menge N, und b und c sind keine Elemente aus der Menge M. 1. r 0 N v p,q ó N 2. a,b,c ó N v s 0 N 3. m,n 0 N v p,q 0 M 4. r ó R v t 0 T 2. Die Mengen C = {4;5;6;7;8} und F = {7;8;9;10} sind gegeben. Was können Sie über die natürlichen Zahlen 4;5;6;7;8;9;10;3 sagen? < 4 0 C, aber 4 ó F 3. Lesen Sie! A = {2;3;4} < Die Menge A ist gleich der Menge der Elemente 2; 3 und 4. < Die Menge A ist die Menge der Elemente 2; 3 und 4. < Die Menge A ist die Menge mit den Elementen 2; 3 und B = {1;7;12;20} 2. E = {2;5;8;9} 3. C = {x;y;z} 4. F = {1;3} 5. D = {4;5;6;7} 6. G = {1} 4. Geben Sie zwei Antworten! N= {O;1;2;3;...;n;...} < Die Menge N hat unendlich viele Elemente. < Die Menge N besteht aus unendlich vielen Elementen. 1. N u = {1;3;5;...} 2. R = {1;4;9} 3. Q = {1;4;9;16;...;n 2 ;...} (n 2, man liest: "n hoch 2") 4. T = {1;3;5;7;9} 5. Lesen Sie! œx 0 N g : x 0 N < Für alle Elemente x aus N g gilt, dass x ein Element aus N ist. 1. œx 0 N u : x 0 N 2. œx 0 N u : x ó N g 3. œg 0 N u : (g 0 N v g ó N g ) 6. Stellen Sie die Aussagen aus der Übung 5 in Mengendiagrammen dar! 7. Lesen Sie! (A f B v B f C) 6 A f C < Wenn A eine Teilmenge von B ist und wenn B eine Teilmenge von C ist, so ist A eine Teilmenge von C. 6

7 Mengen und Mengenoperationen 1. (x 0 G v G f K) 6 x 0 K 2. K f R 6 (œx 0 K: x 0 R) 3. (P f Q v Q f P) 6 P = Q 4. (œx 0 A: x 0 B) 6 A f B 8. Lesen Sie! x 0 N: x 0 N g < Es gibt mindestens ein Element x aus N, so dass x ein Element aus N g ist. 1. x 0 N: x ó N g 2. t 0 N g : t 0 N 3. y 0 N u : (y 0 N v y ó N g ) 4. z 0 N g : (z 0 N v z ó N u ) 9. Lesen Sie! A f B : œx 0 A: x 0 B < A ist eine Teilmenge von B genau dann, wenn für alle x aus A gilt, dass x ein Element aus B ist. 1. A d B : A f B v A B 2. A = B : A f B v B f A 3. D BA = B \ A : œx 0 D BA : (x ó A v x 0 B) 4. D = A 1 B : œx 0 D: (x 0 A v x 0 B) 10. Welche Relationen bestehen zwischen den beiden Mengen? A = {1;2;3;4} B = {1;2;3} < Die Menge B ist eine echte Teilmenge der Menge A. B d A 1. P = {0;1} Q = {1} 2. M = {1;2} N = {1;2} 3. R = {1;2;3} S = {4;5;6} 4. T = {0} U = {O;1;2;3} 11. Warum ist M 1 = {a;b} eine Teilmenge von M 2 = {a;b;c}? < M 1 ist eine Teilmenge von M 2, weil alle Elemente von M 1 auch Elemente von M 2 sind. Unter welcher Bedingung ist die Menge A eine Teilmenge der Menge B? < Wenn alle Elemente von A auch Elemente von B sind, so ist A eine Teilmenge von B. oder A ist eine Teilmenge von B genau dann, wenn alle Elemente von A auch Elemente von B sind. Antworten Sie! 1. Warum ist M 2 keine Teilmenge von M 1? (im Text 1.1.) 2. Warum sind M 3 = {a;c} und M 4 = {a;c} gleich? 3. Unter welcher Bedingung ist eine Menge unendlich? 4. Unter welcher Bedingung sind zwei Mengen gleich? 7

8 Mengen 12. Beantworten Sie die Fragen und begründen Sie Ihre Antwort! Ist A eine Teilmenge der Menge B, wenn A = B ist? < Ja, weil alle Elemente von A auch Elemente von B sind. 1. Ist A eine Teilmenge von A? 2. Ist A eine echte Teilmenge von A? 3. Ist die Teilmenge T einer Menge M immer eine echte Teilmenge? 13. Lesen Sie! x 0 A c B < x ist ein Element der Vereinigungsmenge der Mengen A und B. < x ist ein Element aus der Vereinigungsmenge von A und B. 1. x 0 A 1 B 2. y ó A \ B 3. x 1 ó A c B 4. x 2 0 A \ B 14. Bilden Sie zu den gegebenen Mengen die Vereinigungsmenge, die Durchschnittsmenge und die Differenzmengen! A = {1;2;3;4} B = {5;6;7} < A c B = {1;2;3;4;5;6;7} A 1 B = i A \ B = {1;2;3;4} B \ A = {5;6;7} 1. M = {3;4;7} N = {3;4;8} 2. R = {4;5;6} S = {4;5;6} 3. P = i T = {1;2;3} 4. K = {1;2;3;4;5} L = {3;4} 5. C = {4;5;6;7;8} F = {7;8;9;10} 15. Die Bedeutung des Wortes "oder" in der Mathematik A = {0,1;2;3} B = {2;3;4;5;6} Ist der Ausdruck wahr oder falsch? 1 0 A oder 1 0 B < 1 0 A oder 1 0 B ist wahr, weil 1 0 A ist A oder 0 0 B 2. 0 ó A oder 0 ó B A oder 5 0 B 4. 5 ó A oder 5 ó B A oder 7 0 B 6. 7 ó A oder 7 0 B A oder 2 0 B 8. 2 ó A oder 2 0 B A oder 3 0 B ó A oder 3 ó B 16. In einem Kurs mit X Studenten sprechen 21 Studenten Französisch (Menge F), 35 Studenten Arabisch (Menge A), 23 Studenten Englisch (Menge E), 7 Studenten Französisch und Arabisch, 6 Studenten Französisch und Englisch, 10 Studenten Arabisch und Englisch 4 Studenten Französisch, Arabisch und Englisch, 2 Studenten sprechen weder Französisch, noch Arabisch, noch Englisch. Beantworten Sie mit Hilfe eines Venn-Diagramms folgende Fragen: 1. Wie viel Studenten sind in diesem Kurs? 2. Wie viel Studenten sprechen nur Arabisch? 3. (A c F) \ E = Menge der Studenten, die... 8

9 Mengen und Mengenoperationen 17. Der Hersteller von 3 Kaffeesorten A, B, C stellt durch eine Umfrage bei 250 Haushalten folgendes fest: 15 Haushalte verwenden alle drei Kaffeesorten, 35 verwenden A und B, 20 verwenden B und C, 25 verwenden A und C, 40 Haushalte verwenden nur B, 10 nur C und 95 Haushalte verwenden weder A noch B noch C. Zeichnen Sie ein Venn-Diagramm, und stellen Sie fest: a) Wie viel Haushalte verwenden nur die Kaffeesorte A? b) In welchem Verhältnis sind aufgrund dieser Umfrage die drei Kaffeesorten künftig anzubieten? 18. Lesen Sie! 1. x 0 A c B : x 0 A w x 0 B 2. D = A 1 B : œx 0 D: x 0 A v x 0 B 3. x 0 A \ B : x 0 A v x ó B 4. D BA = B \ A : œx 0 D BA : x 0 B v x ó A 5. A d B 6 A c B = B 6. A d B 6 A 1 B = A 7. œx 0 A c B: x 0 A w x 0 B 19. Schreiben Sie mit Symbolen! 1. Die Menge der geraden Zahlen ist eine echte Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen ist eine ungerade Zahl. 3. Die Vereinigungsmenge der Mengen A und B ist die Menge A. 4. Die Durchschnittsmenge der Mengen M und K hat kein Element. 5. Die Differenzmenge der Mengen C und D ist die leere Menge. 6. Wenn x eine gerade Zahl ist, so ist x keine ungerade Zahl. 7. Alle ungeraden Zahlen sind natürliche Zahlen. 8. Die Menge A ist eine echte Teilmenge der Menge B genau dann, wenn A eine Teilmenge der Menge B ist und wenn es mindestens ein Element x aus der Menge B gibt, so daß x kein Element aus A ist. 9. Wenn x ein Element der Vereinigungsmenge der Mengen A und B ist, so ist x ein Element aus A oder x ist ein Element aus B. 20. Ú Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke in Worten! Prüfen Sie die Wahrheit der Aussage! (Verwenden Sie auch Mengendiagramme!) A 1 B = i 6 œx 0 A: x ó B < Wenn die Durchschnittsmenge von A und B die leere Menge ist, so gilt für alle Elemente x aus der Menge A, dass x kein Element aus der Menge B ist. (wahr) (œx 0 A: x 0 B) 6 A d B < Wenn für alle Elemente aus A gilt, dass x ein Element aus B ist, so ist A eine echte Teilmenge von B. (falsch) 1. A f B 6 A 1 B = A 2. x 0 A c B 6 x 0 A w x 0 B 9

10 Mengen 3. A f B 6 A 1 B = i 4. A c B = i 6 A = i v B = i 5. A 1 B = i 6 œx 0 A: x 0 B 6. A c B i 6 A i v B i 7. A d B 6 (œx 0 A: x 0 B v x 0 B: x ó A) 8. x 0 A c B 6 (x 0 B v x ó A) w (x ó B v x 0 A) 9. A = B 6 (œx 0 A: x 0 B v œx 0 B: x 0 A) 10. A c B = B 6 A 1 B = B 11. A f B 6 A \ B = A 12. A \ B = A 6 B = i 21. Ú Wenn die Aussagen der Übung 19 falsch sind, korrigieren Sie die rechten Seiten der Aussagen, so dass wahre Aussagen entstehen! (œx 0 A: x 0 B) 6 A d B (falsch) < (œx 0 A: x 0 B) 6 A f B (wahr) 10

11 2 Die Grundrechenoperationen in der Menge der natürlichen Zahlen 2.1 Die Addition Durch die Addition ordnet man z.b. zwei natürlichen Zahlen n und m eine Zahl s zu. Man schreibt n + m = s und liest: "n plus m ist gleich s". n und m heißen die Summanden. n + m ist die Summe aus n und m. Die Addition ist in der Menge N immer ausführbar. Das bedeutet: Wenn man eine natürliche Zahl zu einer natürlichen Zahl addiert, so erhält man wieder eine natürliche Zahl. œn, m 0 N: (n+m) 0 N 2.2 Die Multiplikation Die Addition von n gleichen Summanden führt zu einer weiteren Operation, zur Multiplikation. Man schreibt: m + m + m m = m = p (n Summanden) und liest: "n mal m ist gleich p". Man nennt m das Produkt aus n und m. n und m heißen Faktoren. Man multipliziert die Zahl n mit der Zahl m. Die Multiplikation ist in der Menge N immer ausführbar. In der Summe m + k kann man den gemeinsamen Faktor n ausklammern. Man erhält: (m + k). Man liest: "n mal Klammer auf m plus k Klammer zu" oder "n mal in Klammern m plus k". Wenn ein Faktor eines Produktes null ist, so ist das Produkt null. Aus der Gleichung m = 0 folgt: Fall 1: n = 0 und m 0 oder Fall 2: n 0 und m = 0 oder Fall 3: n = 0 und n = 0. Diese drei Aussagen kann man zusammenfassen: Satz: Aus m = 0 folgt: n = 0 oder m = 0, d.h. ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist. 2.3 Die Subtraktion m - n ("m minus n") heißt die Differenz aus m und n. m heißt der Minuend, n heißt der Subtrahend. Man subtrahiert n von m. Aus a + b = c folgt a = c - b und b = c - a. Deshalb ist die Subtraktion die Umkehrung der Addition. Die Subtraktion ist in der Menge N nicht immer ausführbar. Die Gleichung m - n = x ist für m < n in N nicht lösbar, weil (m - n) ó N ist. Aus n < m folgt m > n ("m ist größer als n"). n # m ("n ist kleiner oder gleich m") bedeutet: n < m oder n = m. M Die Negation von n # m ist n > m und die Negation von n < m ist n $ m. n m liest man: "n ist ungleich m" oder "n ungleich m". 2.4 Die Division Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation, denn aus b = c folgt a = c : b ("c durch b") und b = c : a. 11

12 Zahlenbereich Im Quotienten m : n heißt m der Dividend und n der Divisor. Man dividiert den Dividenden m durch den Divisor n. Die Division ist in der Menge N nicht immer ausführbar. Die Division durch null ist nicht definiert. Die Gleichung m : n = x ist in N nur dann lösbar, wenn n ein Teiler von m ist. Man schreibt n * m, man liest: "n ist ein Teiler von m." Definition: n und m sind natürliche Zahlen. n ist ein Teiler von m genau dann, wenn es eine Zahl z 0 N gibt, so dass z = m ist. n * m : z 0 N: z = m Beispiel: 7 ist ein Teiler von 35 (7 * 35), weil es die natürliche Zahl 5 gibt, so dass 7 = 35 ist, d.h. 5 erfüllt die Gleichung z = ist das Fünffache von ist kein Vielfaches von 7, weil 7 kein Teiler von 32 ist (7 ð 32). Es gibt keine natürliche Zahl z, so dass z = 32 ist. Die Division ist in der Menge N nicht ausführbar, wenn der Divisor kein Teiler des Dividenden ist. 2.5 Ú Die Primzahlen Definition: Eine natürliche Zahl p $ 2 heißt Primzahl genau dann, wenn p nur die Teiler 1 und p hat. Die Menge J = {2;3;5;7;11;13;17;19;...} ist die Menge der Primzahlen. Die Primzahlen bilden eine unendliche Menge. Die Menge der Primzahlen ist eine echte Teilmenge der Menge N. Es gibt genau eine gerade Primzahl, das ist die natürliche Zahl 2. Alle anderen Primzahlen sind ungerade. (Die natürliche Zahl 1 ist nach Definition keine Primzahl.) Eine natürliche Zahl größer als eins ist entweder eine Primzahl oder man kann sie eindeutig als ein Produkt aus Primzahlen darstellen, d.h., man kann sie in Primfaktoren zerlegen. Beispiel: 660 = 11 Fragen zum Text 1. Aus wie vielen Elementen besteht die Menge der natürlichen Zahlen? 2. Welche Relationen gelten für zwei gegebene natürliche Zahlen m und n? 3. Was bedeutet: Die Addition ist in N stets ausführbar? 4. Was bedeutet: Die Multiplikation ist in N stets ausführbar? 5. Welchen Faktor kann man aus 14a + 42b ausklammern? 6. Auf welche Aussagen kann man von der Gleichung b = 0 schließen? 12

13 Grundrechenoperationen in der Menge N 7. Wie heißt die Umkehrung der Addition? 8. Unter welcher Bedingung ist in der Menge N die Subtraktion nicht ausführbar? 9. Zu welcher Operation ist die Subtraktion die Umkehroperation? 10. Wie heißt die Umkehroperation der Multiplikation? 11. Unter welcher Bedingung ist die Division in der Menge N nicht ausführbar? 12. Welchen Teiler hat eine gerade Zahl? 13. Ú Unter welcher Bedingung ist eine Zahl eine Primzahl? 14. Ú Warum sind 0; 1 und 6 keine Primzahlen? 15. Ú Wie heißen die Primzahlen zwischen 60 und 70? 16. Ú In welche Primfaktoren kann man die Zahl 6 zerlegen? 17. Ú Wie viel gerade Primzahlen gibt es? Übungen und Aufgaben 1. Lesen und rechnen Sie! 2b + b < Die Summe 2b + b besteht aus den Summanden 2b und b. 2b plus b ist gleich 3b x + 3x 6. m + 3m 7. 4a + 3a 8. 2a + 7a 2. Lesen und rechnen Sie! b < Das Produkt b besteht aus den Faktoren a und b. b ist (gleich) ab (a + c (2x + (4a + 3b) 3. y 7. (x + 2y) 4. c Lesen und rechnen Sie! < Die Differenz von 25 und 11 ist 14. < Die Differenz aus 25 und 11 ist z - 57z 2. 34a - 18a 6. 3a - a 3. 7x - 4x 7. 29y - 14y xy - 46xy 13

14 Zahlenbereich 4. Lesen und rechnen Sie! 2b : b < In dem Quotienten 2b : b ist 2b der Dividend und b der Divisor. 2b durch b ist (gleich) : : : : : : 7 4. ab : b 8. 3xy : xy 5. Welchen gemeinsamen Faktor kann man ausklammern? 13x + 91y < Aus dem Term 13x + 91y kann man den gemeinsamen Faktor 13 ausklammern und erhält 13(x + 7y). ("13 mal Klammer auf x plus 7y Klammer zu" oder "13 mal in Klammern x plus 7y".) 7a + 7b; 18a - 24b; 5-5y; 9xy - 12xz; ab + b; 6xy -2y; 4ab - 6bc; 3a - 3b + 3c - 3d; a(x - 1) + b(x - 1); (a - b)z - (a + b)z; a(x - y) - (x - y); ax + ay - bx - by; 18a - ma + 18c - mc; 10ac - 15ad - 2bc + 3bd; (a - b)(3x - 2y) + (a - b)(4x + 7y) 6. Lesen bzw. ergänzen Sie! 3*15 < 3 ist ein Teiler von 15. 3*12; 2*12; 17*357; 4*12; 13*39; a*ab;...*14;...*10;...*22;...*6;...*21;...*33;...*35;...*65;...*39; 7*...; 5*... Lesen bzw. ergänzen Sie! 4ð15 < 4 ist kein Teiler von 15. 7ð12; 17ð25; 13ð40;...ð22; 8ð...; 12ð Bilden Sie Sätze der Form: Es gilt entweder A oder -A. (Man liest: "nicht A".) a < b / a $ b < Es gilt entweder a < b oder a $ b. 1. x $ 4 / x < 4 2. z 0 / z = 0 3. R d Z / R ç Z Ergänzen Sie selbst! c < y /...; a 0 N /...; x*3 /...; y = 0 /...; zðy /...; b 0 N /...; c $ 0 /...; N f K / Geben Sie zu den Verben die richtigen Substantive an! definieren < die Definition 1. addieren 2. multiplizieren 3. dividieren 4. subtrahieren 5. negieren 14

15 Grundrechenoperationen in der Menge N 9. Bilden Sie zu den Verben Adjektive auf '-bar' und formulieren Sie die Sätze mit diesen Adjektiven um! Man kann die Addition in der Menge N immer ausführen. < Die Addition ist in der Menge N immer ausführbar. 1. Die Gleichung m - n = x kann man für m < n in der Menge N nicht lösen. 2. Man kann bei einer Multiplikation die Faktoren vertauschen. 3. Die Zahl 27 kann man in Primfaktoren zerlegen. 4. Man kann die natürlichen Zahlen auf einer Geraden darstellen. 10. Bilden Sie die Negation zu folgenden Ausdrücken! a < b / a $ b < Die Negation zu a < b ist a $ b. Verwenden Sie die Beispiele von Übung 7! 11. Lösen Sie die folgenden Gleichungen! x + 7 = 10 < x = 3 ist die Lösung der Gleichung x + 7 = 10, weil x = 3 die Gleichung erfüllt x = x = x - 2 = 0 5. x + 8 = x - 2 = 2 6. a + x = a 13. Lesen Sie! a < b / a + c < b + c mit c 0 N < Aus a < b folgt a + c < b + c mit c 0 N 1. x 0 N / x N 2. a - x = a / x = a $ b und b > c / a # b und b # c / a + b = c mit a > O und b > O / a < c und Ú Primzahlen Stellen Sie die folgenden natürlichen Zahlen als Produkte aus Primzahlen dar! (Zerlegen Sie dazu die folgenden natürlichen Zahlen in Primfaktoren!) 24 < 24 =

16 Zahlenbereich 16

17 3 Die Grundrechenoperationen in der Menge der ganzen Zahlen Die Subtraktion ist in der Menge N nicht immer ausführbar. Damit die Subtraktion immer ausgeführt werden kann, ordnet man den Differenzen m - n mit n > m und n,m 0 N die negativen Zahlen zu. Damit hat man die Menge N der natürlichen Zahlen zur Menge G der ganzen Zahlen erweitert. Alle Zahlen g < 0 heißen negative Zahlen. Sie bilden die Menge G -. Alle Zahlen g > 0 heißen positive Zahlen. Sie bilden die Menge G +. Es gelten z.b. folgende Relationen: G = G + c {0} c G - G + = N \ {0} G = N c G - G + d N d G Alle Zahlen g $ 0 heißen nichtnegative Zahlen. Alle Zahlen g # 0 heißen nichtpositive Zahlen. - Die Menge G der ganzen Zahlen ist eine unendliche Menge. Die Addition, Multiplikation und Subtraktion sind in der Menge G immer ausführbar. Die Division ist in der Menge G nicht immer ausführbar. Die Gleichung a : b = x ist in G nicht lösbar, wenn es keine ganze Zahl g mit b = a gibt, d.h., wenn b 0 G kein Teiler von a ist. Bei der Multiplikation muss man die Vorzeichenregeln beachten: - Wenn ein Produkt zwei Faktoren hat und wenn die Faktoren gleiche Vorzeichen haben, so ist das Produkt positiv. (a > 0 v b > 0) w (a < 0 v b < 0) 6 b > 0 - Wenn die beiden Faktoren des Produktes verschiedene Vorzeichen haben, so ist dieses Produkt negativ. Für die Division gelten entsprechende Vorzeichenregeln. Fragen zum Text 1. Warum erweitert man die Menge N der natürlichen Zahlen zur Menge G der ganzen Zahlen? 2. Wie heißen alle Zahlen größer als 0? 3. Wie heißen Zahlen kleiner als 0? 4. Welche Operationen sind in der Menge G immer ausführbar? 5. Welche Operationen sind in der Menge G nicht immer ausführbar? 6. Unter welcher Bedingung ist das Produkt aus zwei ganzen Zahlen negativ? 7. Unter welcher Bedingung ist das Produkt aus zwei ganzen Zahlen positiv? 8. Zu welcher Zahlenmenge gehört das Produkt aus zwei ganzen Zahlen? 9. b ist ein Teiler von a. Unter welcher Bedingung ist der Quotient a : b positiv? 10. b ist ein Teiler von a. Unter welcher Bedingung ist der Quotient a : b negativ? Übungen und Aufgaben 1. Was für Zahlen sind die folgenden ganzen Zahlen? +2 < +2 ist eine positive ganze Zahl. 17

18 Zahlenbereiche a 0 G + < a ist ein Element aus der Menge der positiven ganzen Zahlen. < a ist eine positive ganze Zahl. 9 0 G + ; -5 0 G - ; G - ; +4 0 G + ; +8 0 G + ; -8 0 G - ; 15 0 N ; n 0 N ; g 0 G ; a 0 N ; x 0 G + ; y 0 G - 3. Welche Relation besteht zwischen den folgenden Mengen? G und G + < Die Menge G + ist eine echte Teilmenge der Menge G. 1. G und G - 2. N und G 3. G und {0} 4. Bilden Sie die Durchschnittsmenge von folgenden Mengen! G und G - < G 1 G - = G -. Die Durchschnittsmenge der Mengen G und G - ist die Menge G N und G + 2. G + und G - 3. G und {O} 4. N und G - 5. Bilden Sie folgende Differenzmengen! G \ G - < G \ G - = N. Die Differenzmenge von G und G - ist die Menge N. 1. G \ N 2. G + \ N 3. N \ G + 4. G + \ G 5. G + \ G - 6. N \ {O} 6. Welche Sätze sind wahr, welche sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! 1. Die Gleichung 5 - x = 7 hat in der Menge G genau eine Lösung. 2. Die Gleichung 8x = 66 hat in der Menge G genau eine Lösung. 3. x = 12 erfüllt die Gleichung 7x = Eine nichtpositive ganze Zahl ist immer negativ. 5. Eine positive ganze Zahl ist immer größer als Unter welcher Bedingung ist: 1. a ein Teiler von b? a,b 0 G 2. b = 0? 3. a : b definiert? 4. a : b = 0? 5. a : b positiv? 6. a : b 0 G? 7. b negativ? 18

19 4 Die Grundrechenoperationen in der Menge der rationalen Zahlen 4.1 Einführung Die Division ist in der Menge G nicht immer ausführbar. Damit die Division immer ausgeführt werden kann, erweitert man die Menge G der ganzen Zahlen zur Menge Q der rationalen Zahlen. Die Menge Q der rationalen Zahlen ist eine unendliche Menge. - Eine rationale Zahl z kann man als Quotienten aus zwei ganzen Zahlen darstellen. z 0 Q 6 a, b 0 G: = z; b Die vier Grundrechenarten - In der Menge Q sind die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division (mit Ausnahme der Division durch null) immer eindeutig ausführbar. Das bedeutet: Wenn man diese Operation ausführt, so erhält man genau eine rationale Zahl als Ergebnis. - Die Addition und die Multiplikation sind assoziativ. Das bedeutet: Bei Summen (Produkten) aus mehr als zwei Summanden (Faktoren) darf man beliebig Klammern setzen oder weglassen. Für die Addition gilt z.b.: œn, m, k 0 Q: n + m + k = (n + m) + k = n + (m + k) - Die Addition und Multiplikation sind kommutativ. Das bedeutet: Bei der Addition (Multiplikation) darf man die Summanden (Faktoren) miteinander vertauschen. Für die Multiplikation gilt z.b.: œn, m 0 Q: m = n - Für die Verbindung von Addition und Multiplikation gilt das Distributivgesetz: œn, m, k 0 Q: (m + k) = m + k - Die Subtraktion und die Division sind weder assoziativ noch kommutativ. 4.3 Die Darstellung der rationalen Zahlen Die Menge G der ganzen Zahlen ist eine echte Teilmenge der Menge Q der rationalen Zahlen, weil man jede ganze Zahl p als Quotienten darstellen kann. Rationale Zahlen p : q kann man in der Form schreiben. Man nennt einen Bruch. Über dem Bruchstrich steht der Zähler p, unter dem Bruchstrich steht der Nenner q des Bruches. Bei den Brüchen liest man den Nenner "Ordnungszahl + 'l'". Beispiele: - "drei Siebentel" - "zwei Fünftel" - "zwei Drittel" - "vierzehn Siebenunddreißigstel" Ausnahmen sind: - "ein halb" - "drei halbe" 19

20 Zahlenbereiche Brüche kann man erweitern. Wenn man einen Bruch mit einer Zahl c 0 erweitert, so multipliziert man den Zähler a und den Nenner b mit c. Wenn man z.b. den Bruch mit dem Faktor 5 erweitert, so erhält man den Bruch. Brüche kann man kürzen, wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben. Wenn man einen Bruch kürzt, so dividiert man den Zähler a und den Nenner b durch einen gemeinsamen Teiler von a und b. Man kann z.b. den Bruch mit 2; 3 oder 6 kürzen. Beim Erweitern und Kürzen eines Bruches ändert sich der Wert dieses Bruches nicht. Alle Brüche mit dem gleichen Wert stellen die gleiche rationale Zahl dar. Es gilt: = : d = c mit b, d 0. Ein Bruch hat den Wert null, wenn sein Zähler gleich null und sein Nenner ungleich null ist. Wenn eine von null verschiedene rationale Zahl ist, so nennt man das Reziproke der rationalen Zahl. So ist z.b. das Reziproke von. Rationale Zahlen kann man auch als Dezimalzahlen (Dezimalbrüche) schreiben. Wenn man eine ganze Zahl a durch eine andere ganze Zahl b 0 dividiert, so entsteht entweder eine ganze Zahl, eine unendliche periodische oder eine endliche Dezimalzahl. Man erhält z.b. für den Bruch die endliche Dezimalzahl 1,25 ("eins Komma zwei fünf") und für die unendliche periodische Dezimalzahl 0, = 0,47'6'. (Man liest: "null Komma vier sieben sechs, Periode sieben sechs".) Man kann auch jede endliche oder unendliche periodische Dezimalzahl als Bruch aus zwei ganzen Zahlen darstellen. Beispiel: 1. endliche Dezimalzahl: 0,75 = = 2. unendliche periodische Dezimalzahl: 6,42'7' = aus 6,42'7' = x folgt: 1000 x = 6427,27-10 x = 64, x = 6363 x = 20

21 Grundrechenoperationen in der Menge Q 4.4 Der absolute Betrag einer rationalen Zahl Für die rationalen Zahlen k 0 Q definiert man den absoluten Betrag * k* (gelesen: "k absolut" oder "absoluter Betrag von k" oder "Betrag von k"): Definition: k für k $ 0 *k*= ; < -k für k < 0 Beispiel: *12* = 12 *14,9* = 14,9 *-7* = -(-7) = 7 * * = * 0* = 0 * * = -( ) = Fragen zum Text 1. Warum erweitert man die Menge G der ganzen Zahlen zur Menge Q der rationalen Zahlen? 2. In welcher Form kann man eine rationale Zahl darstellen? 3. Welche Eigenschaften hat die Addition in der Menge Q? 4. Welche Eigenschaften hat die Division in der Menge Q? 5. Was für eine Zahl ist p:q, wenn p und q verschiedene Vorzeichen haben? 6. Was für eine Zahl ist p:q, wenn p und q gleiche Vorzeichen haben? 7. Wie nennt man? 8. Wie nennt man a und wie nennt man b in dem Bruch? 9. Mit welcher Zahl muss man den Bruch erweitern, wenn man das Ergebnis erhalten soll? 10. Mit welchen Zahlen kann man den Bruch kürzen? 11. Welchen Wert hat der Bruch mit b 0? 12. Unter welcher Bedingung ist = mit b, d 0? 13. Unter welcher Bedingung ist ein Bruch null? 14. Was folgt aus der Gleichung a : b = 0? 15. Unter welcher Bedingung für g ist der Quotient p:g nicht definiert? 16. Was ist das Reziproke von? 17. Unter welcher Bedingung ist das Produkt aus zwei rationalen Zahlen gleich 1? 21

22 Zahlenbereiche Übungen und Aufgaben 1. Lesen Sie! Formulieren Sie wahre Aussagen! jede rationale Zahl / Quotient aus zwei... < Jede rationale Zahl kann als Quotient aus zwei ganzen Zahlen dargestellt werden. 1. jede ganze Zahl / Bruch mit dem Nenner ein Bruch / Quotient aus zwei jeder Quotient aus zwei ganzen Zahlen / unendliche periodische oder endliche Dezimalbrüche / jede endlich Dezimalzahl / Was darf man in... (nicht) miteinander vertauschen? Subtraktion < Die Subtraktion ist nicht kommutativ. Deshalb darf man in einer Differenz den Minuenden und den Subtrahenden nicht miteinander vertauschen. 1. Addition 2. Multiplikation 3. Division 4. Bilden Sie das Reziproke der rationalen Zahlen! < Das Reziproke von ist

23 5. Berechnen Sie den Hauptnenner! Hinweis: Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner. Grundrechenoperationen in der Menge Q < Der Hauptnenner der Brüche ist Addieren Sie die Brüche aus Übung 5.! 7. Kürzen Sie die Brüche! Die Nenner der Brüche sollen verschieden von null sein Zeichnen Sie ein Mengendiagramm für die Relationen zwischen den Mengen N, G +, G -, G und Q! 9. Berechnen Sie y! 1. y = *x* + x mit x = -3; -2; -1; 0; +1; +2; y = *x + 3* mit x = -6; -5; -4; -3; -2; -1; Berechnen Sie! 1. *7-4* - *5 + 6* + *-7-8* = 2. *3-5* + *-6 + 2* - *7-9* = 3. *-1 + 3* - *-3* + *4-8* + *-3* = 4. * * - *17-7* + *-8-4* = 11. Beantworten Sie folgende Fragen! 1. Kann y in y = *x + b* negativ werden? Begründen Sie Ihre Antwort! 2. Kann y in y = x + *x* negativ werden? Begründen Sie Ihre Antwort! 3. Unter welcher Bedingung ist *x* = x? 4. Unter welcher Bedingung ist y = 0; 2; 5; 7, wenn y = *x + 3* mit x 0 Q gilt? 5. Was folgt aus *x* = 2? 23

24 Zahlenbereiche 12. Welche rationalen Zahlen erfüllen die Ungleichung? *x* > +3 < Alle rationalen Zahlen größer als +3 und kleiner als -3 erfüllen die Ungleichung *x* > *x* < *x* > *x* < In welchen Intervallen liegt x? x > 3 < x > 3 liegt in dem links und rechts offenen Intervall von 3 bis +4. D.h.: x 0 ]3; +4[ x $ 3 < x $ 3 liegt in dem links abgeschlossenen und rechts offenen Intervall von 3 bis +4. D.h.: x 0 [3; +4[ 1. x < *x* < 4 3. x # *x* $ Welche Ungleichungen gelten für x, wenn x in den folgenden Intervallen liegt? x 0 [-5; 7[ < x 0 [-5; 7[ entspricht der Ungleichung -5 # x < 7. x 0 Q \ {0} < x 0 Q \ {0} entspricht der Ungleichung x < 0 und x > 0 oder der Ungleichung x x 0 ]-4; 0] 2. x 0 Q \ {2; 5} 3. x 0 ]7; 100[ 4. x 0 [0; +4[ 15. Begründen Sie, daß die Menge G der ganzen Zahlen eine echte Teilmenge der Menge Q der rationalen Zahlen ist! 16. Ú Vergleichen Sie die beiden Brüche, indem Sie den Nenner gleichnamig machen! < ist größer als, weil größer als ist Für welche Werte der Variablen sind die folgenden Brüche nicht definiert? Begründen Sie Ihre Antwort! < Der Bruch ist für a = nicht definiert, weil für a = der Nenner null wird. 24

25 Grundrechenoperationen in der Menge Q Bereiten Sie einen Vortrag über die Ausführbarkeit der Grundrechenarten in den Mengen N, G und Q vor! Erläutern Sie dabei die Eindeutigkeit der Operationen und die Gesetze für diese Operationen! 25

26 Zahlenbereiche 26

27 5 Das Potenzieren 5.1 Der Begriff der Potenz Für ein Produkt aus n gleichen Faktoren a 0 Q schreibt man a n (gelesen: "a hoch n"). a n = a@a@a@...@a (a 0 Q; n 0 N \ {0;1}) n Faktoren a heißt die Basis und n heißt der Exponent. a n ist die n-te Potenz von a. a n = b Wenn man die Basis a mit dem Exponenten n potenziert, erhält man den Potenzwert b. Z.B. ist die dritte Potenz von 10 gleich 1000, d.h = Potenzgesetze Für die Verbindung des Potenzierens mit der Multiplikation und mit der Division und für das Potenzieren von Potenzen gelten die Potenzgesetze: a a m = a n+m Man multipliziert Potenzen mit gleichen Basen, indem man ihre gemeinsame Basis mit der Summe aus ihren Exponenten potenziert. a n : a m = a n-m Man dividiert Potenzen mit gleichen Basen, indem man die gemeinsame Basis mit der Differenz aus den Exponenten von Dividend und Divisor potenziert. a b n = (a@b) n Man multipliziert Potenzen mit gleichen Exponenten, indem man das Produkt aus ihren Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert. a n : b n = (a:b) n Man dividiert Potenzen mit gleichen Exponenten, indem man den Quotienten aus den Basen des Dividenden und des Divisors mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert. (a n ) m = a n@m Man potenziert eine Potenz, indem man ihre Basis mit dem Produkt aus den Exponenten potenziert. Mathematische Sätze (Gesetze) muß man beweisen. Ein mathematischer Beweis besteht aus : - der Voraussetzung, - der Behauptung und - dem Beweis(gang). Beweis des Potenzgesetzes a a m = a n+m : Voraussetzung: 1. a 0 Q; n,m 0 N\{0;1} 2. a n = a@a@a@...@a n Faktoren a m = a@a@a@...@a m Faktoren Behauptung: a a m = a n+m Beweis(gang): a a m = (a@a@a@...@a) / nach Voraussetzung n Faktoren m Faktoren = a@a@a@...@a / wegen der Assoziativität der Multiplikation n + m Faktoren = a n+m / nach der Definition der Potenz w.z.b.w. Die Abkürzung w.z.b.w. am Ende des Beweises bedeutet: "was zu beweisen war" (lateinisch: q. e. d.) Bei diesem direkten Beweis formt man die linke Seite der Behauptung (a m ) so um, daß man die rechte Seite der Behauptung (a n+m ) erhält. Dabei benutzt man die Voraussetzungen (hier besonders 2.). 27

28 Zahlenbereiche Anmerkung: Die Addition und Subtraktion von Potenzen ist nur bei Potenzen mit gleichen Basen und mit gleichen Exponenten möglich. 4x 3-5y 3 +17x 2-4y 2 + 8x 3-10y 2 = 12x 3-5y x 2-14y Erweiterung des Potenzbegriffes Auf der Grundlage der Potenzgesetze erweitert man durch folgende Definitionen den Potenzbegriff auf Potenzen mit Exponenten aus der Menge G der ganzen Zahlen. Definition: a 1 = a a 0 = 1 (a 0) a -n = (n 0 G + v a 0) Diese Definitionen sind sinnvoll. Nur mit diesen Definitionen gelten die Potenzgesetze auch für Exponenten aus der Menge G. Wir zeigen das am Beispiel a 0 = 1: - œz 0 Q \ {0} : = 1 ; deshalb gilt auch (mit a n 0) - Nach dem zweiten Potenzgesetz (S. 27) ist = a n-n = a 0. - Weil das Potenzieren eindeutig sein soll, muß man a 0 = 1 definieren. 5.4 Eigenschaften des Potenzierens Das Potenzieren mit ganzzahligen Exponenten und mit der Basis a 0 Q \ {0} hat folgende Eigenschaften: 1. Das Potenzieren ist in der Menge Q immer eindeutig ausführbar. 2. Das Potenzieren ist nicht assoziativ, denn im allgemeinen gilt: (a n ) m. 3. Das Potenzieren ist nicht kommutativ, denn im allgemeinen gilt: a n n a. 5.5 Potenzen eines Binoms Oft braucht man für mathematische Berechnungen die Potenzen eines Binoms (einer zweigliedrigen Summe). Die n-te Potenz eines Binoms a+b kann man für n 0 N als eine Summe darstellen: Diese Beziehung nennt man Binomialsatz. 28

29 Das Potenzieren Man erkennt: 1. Die Summe besteht aus n+1 Summanden. 2. Die Summe aus den Exponenten von a und b ist in jedem Glied gleich n. 3. Die Potenzen von a fallen von n bis 0. Die Potenzen von b steigen von 0 bis n. Die Koeffizienten ("n über k") heißen Binomialkoeffizienten. Sie sind für n $ k positive ganze Zahlen. Man berechnet sie nach der Formel: Das Symbol k! liest man "k Fakultät" und es gilt: k! = @ k. Außerdem definiert man: 0! = 1 und = 1. Beispiel: Anmerkung: Man kann die Koeffizienten der Summanden auch im "Pascalschen Dreieck" ablesen: (a + b) n n = 0 1 n = n = n = n = @ Den Zusammenhang zwischen dem Pascalschen Dreieck und den Binomialkoeffizienten erkennt man aus folgender Tabelle: k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 n = 0 1 n = n = n = n = @ Im Sonderfall n = 2 ergeben sich aus dem Binomialsatz die "binomischen Formeln": L (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 Wichtig für Umformungen ist auch die Identität: L a 2 - b 2 = (a + b)(a - b) 29

30 Zahlenbereiche Fragen zum Text 1. Definieren Sie die Potenz a n mit a 0 Q und n 0 N \ {0;1}! 2. Wie nennt man a n? 3. Wie heißen a und n in a n? 4. Die wievielte Potenz von 3 ist 81? 5. Durch welche Definitionen erweitert man den Potenzbegriff auf Potenzen mit Exponenten aus der Menge G? 6. Was versteht man unter einem Binom? 7. Was für Zahlen sind die Binomialkoeffizienten für k # n und k, n 0 N? 8. Was bedeutet k!? 9. Welche Gleichungen nennt man binomische Formeln? Übungen und Aufgaben 1. Lesen und berechnen Sie die Potenzen! Nennen Sie Basis, Exponent und Potenzwert! 2 3 < 2 hoch 3 ist gleich 8. Die Basis ist 2, der Exponent ist 3 und der Potenzwert ist , (-2) 4 5. (-4) Antworten Sie! Wie multipliziert man Potenzen mit gleichen Basen? < Man multipliziert Potenzen mit gleichen Basen, indem man die gemeinsame Basis mit der Summe aus ihren Exponenten potenziert. 1. Wie multipliziert man Potenzen mit gleichen Exponenten? 2. Wie dividiert man Potenzen mit gleichen Basen? 3. Wie dividiert man Potenzen mit gleichen Exponenten? 4. Wie potenziert man eine Potenz? 3. Lesen und lösen Sie folgende Aufgaben! a a 2y < a a 2y = a x + 2y a hoch x mal a hoch 2y ist gleich a hoch x plus 2y. b b 4 ; a a 5k ; m n 3 ; 4 5 n ; h h; a 4 : b 4 ; c 7 : c 2 ; a 3y : a 2y ; x 4m : x -4n ; 8 x : 4 x ; (3n) 2 : n 2 ; m 2 : m 5 ; x x 3k ; (4a) a -2 ; 4. Multiplizieren Sie! 1. (4a + 3b)(a - 4b) 2. (a 2 - b 2 + 2c)(4b 2 - c 2 ) 3. (a -1 + b)(a - b -1 ) 4. (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) 5. (p q+2 - p q+1 + p q - p q-1 + p q-2 )(p 8-q + p 7-q ) 30

31 Das Potenzieren 5. Dividieren Sie! (1 + x 3 + 3x 2 ) : (x 2 + 1) - Ordnen Sie die Summanden des Dividenden und des Divisors nach fallenden Exponenten der Variablen! < (x 3 + 3x 2 + 1) : (x 2 + 1) - Dividieren, multiplizieren und subtrahieren Sie schrittweise! < (x 3 + 3x 2 + 1) : (x 2 + 1) = x (x 3 + x) 3x 2 - x + 1 -(3x 2 + 3) -x Überprüfen Sie das Ergebnis! < (x )(x 2 + 1) = x 3 + 3x 2 + x (-x - 2) 1. (x 5-3x 4-3x 3 + 6x + x 2 ) : (x x) 2. (3x 2 + 4x - 7) : (x - 2) 3. (3x x x) : (1 + 3x) 4. (a n+4 - a n ) : (a 3 + a) 5. (22x - 11x x 3 ) : (4x - 1) = x 3 + 3x Berechnen Sie die Binomialkoeffizienten! Berechnen Sie mit den binomischen Formeln folgende Binome! 1. (2a + 3b) 2 2. (2r 2 + s) 2 3. (1 - x 2 ) 2 4. (5x - 7y) 2 5. (2u + 3v)(2u - 3v) Addieren bzw. subtrahieren Sie!

32 Zahlenbereiche 9. Kürzen Sie die Brüche! Die Nenner der Brüche sollen verschieden von null sein Berechnen Sie! 1. (a + b) 5 2. (u - v) 3 3. (x 3 y - 3a) 4 4. (2x + 3y) Nennen Sie die Eigenschaften des Potenzierens mit ganzzahligen Exponenten und Basen a 0 Q \ {0}! 12. Bereiten Sie einen Kurzvortrag über das Potenzieren vor! Beachten Sie dabei folgende Schwerpunkte: - Definition von a n mit a 0 Q und n 0 N \ {0;1} - Erweiterung des Potenzbegriffes auf Potenzen mit ganzzahligen Exponenten - Potenzgesetze - Eigenschaften der Potenzen in der Menge Q 32

33 6 Das Radizieren und der Begriff der reellen Zahl 6.1 Das Radizieren Weil die Basis und der Exponent einer Potenz nicht miteinander vertauschbar sind, gibt es zwei Umkehroperationen des Potenzierens, das Radizieren und das Logarithmieren. Hier soll zuerst das Radizieren betrachtet werden. Wenn man a n = b nach a auflöst, erhält man a =. ( Man liest: "a ist gleich die n-te Wurzel aus b." ) Die Zahl b unter dem Wurzelzeichen heißt der Radikand, die natürliche Zahl n $ 2 heißt der Wurzelexponent. a ist der Wurzelwert. Weil auch das Radizieren in einem bestimmten Zahlenbereich immer ausführbar sein soll, definiert man nur für b $ 0. Außerdem legt man $ 0 fest, da diese Operation, wie alle bisher behandelten, eindeutig sein soll. Das heißt, Radikand und Wurzelwert müssen nichtnegative Zahlen sein. Man definiert mit folgender Gleichung: Definition: 0 N \ {0;1} n Aus erkennt man auch, daß Radizieren und Potenzieren Umkehroperationen sind. Es gilt: : a n = b mit a,b $ 0; n 0 N \{0;1} Eine Wurzel mit dem Wurzelexponenten 2 nennt man eine Quadratwurzel. Bei Quadratwurzeln schreibt man das Wurzelzeichen ohne Wurzelexponenten. Man kann jede Wurzel auch als Potenz mit einem Bruch p 0 Q \ G als Quotienten schreiben: n 0 N \ {0;1} v b $ 0. Dadurch führt man den Begriff der Wurzel auf den Potenzbegriff zurück. mit 6.2 Wurzelgesetze Aus der Darstellung der Wurzel als Potenz und aus den Potenzgesetzen ergeben sich die Wurzelgesetze: Auf dem ersten und zweiten Wurzelgesetz beruht die Methode des partiellen Radizierens. Dazu schreibt man diese Gesetze in der Form: und Beispiele für die Anwendung der Methode des partiellen Radizierens sind: Beispiel: 33

34 Zahlenbereiche 6.3 Begriff der reellen Zahl und Eigenschaften der Menge R der reellen Zahlen Das Radizieren ist in der Menge Q der rationalen Zahlen nicht immer ausführbar. Die meisten Wurzelwerte sind keine rationalen Zahlen, denn man kann sie nicht als Quotienten aus zwei ganzen Zahlen bzw. als unendliche periodische oder endliche Dezimalzahlen darstellen. Das gilt z.b. für. Dass existiert und einen eindeutigen Wert besitzt, erkennt man z.b. daran, dass der Zahlenwert der Diagonalen eines Quadrates mit der Seitenlänge 1 ist. Dieses Quadrat kann man konstruieren, und nach dem Lehrsatz des Pythagoras kann man die Länge seiner Diagonalen berechnen. Deshalb kann man der Zahl zuordnen. genau einen Punkt auf der Zahlengeraden 2 2 Abb Der Bildpunkt von auf der Zahlengeraden ist eine irrationale Zahl. Auch sind Beispiele für irrationale Zahlen. Irrationale Zahlen sind unendliche nichtperiodische Dezimalzahlen. Mit unendlichen Dezimalzahlen kann man nicht rechnen. Man nähert deshalb irrationale Zahlen durch rationale Zahlen an und benutzt diese rationalen Näherungswerte für die Berechnungen. Beispielsweise kann man die irrationale Zahl durch die rationalen Zahlen 1,4; 1,41; 1,414;... ; 1, usw. annähern. Selbstverständlich erhält man dabei keine genauen Resultate. Für praktische Probleme kann man den Fehler so klein machen, dass er keine Bedeutung hat. Dazu muss man entsprechende Näherungswerte benutzen. Alle irrationalen Zahlen bilden die unendliche Menge U. Definition: Die Vereinigungsmenge der Menge Q der rationalen Zahlen mit der Menge U der irrationalen Zahlen heißt die Menge R der reellen Zahlen. Q c U = R Auf der Zahlengeraden liegen die Bildpunkte der irrationalen Zahlen zwischen den Bildpunkten der rationalen Zahlen. Man ordnet dadurch jeder reellen Zahl genau einen Punkt auf der Zahlengeraden zu. Umgekehrt kann man auch jedem Punkt der Zahlengeraden genau eine reelle Zahl zuordnen, d.h.: Zwischen den reellen Zahlen und den Punkten der Zahlengeraden besteht eine umkehrbar eindeutige Zuordnung. Die Menge R der reellen Zahlen ist eine unendliche Menge. Fragen zum Text 1. Warum gibt es zum Potenzieren zwei Umkehroperationen? 2. Mit welcher Gleichung definiert man? 3. Warum legt man fest? 4. Für welche Zahlen b definiert man? 34

35 Das Radizieren und der Begriff der reellen Zahl 5. Durch welche Gleichung führt man den Begriff der n-ten Wurzel auf den Potenzbegriff zurück? 6. Geben Sie als Potenz an! 7. Wie nennt man eine Wurzel mit dem Wurzelexponenten 2? 8. Auf welchen Wurzelgesetzen beruht die Methode des partiellen Radizierens? 9. Was für Zahlen sind viele Wurzeln? 10. Welche Dezimalzahlen sind irrationale Zahlen? 11. Wie rechnet man mit irrationalen Zahlen? 12. Welche Zahlen gehören zu den reellen Zahlen? 13. Was für eine Zuordnung besteht zwischen den reellen Zahlen und den Punkten der Zahlengeraden? Übungen und Aufgaben 1. Lesen Sie, rechnen Sie und nennen Sie den Radikanden und den Wurzelexponenten! < Die Quadratwurzel aus 4 ist gleich 2. Der Radikand ist 4 und der Wurzelexponent ist Wie löst man die folgenden Gleichungen nach... auf? Welches Resultat erhält man? y = x n / nach x < Man löst y = x n nach x auf, indem man beide Seiten der Gleichung mit n radiziert. Man erhält. 1. c 4 = 16 / nach c 2. y v = x q / nach y 3. / nach c 4. / nach a 5. / nach c 3. Bilden Sie wahre Aussagen! natürliche Zahl / Punkt auf der Zahlengeraden < Man kann jeder natürlichen Zahl genau einen Punkt auf der Zahlengeraden zuordnen. Man kann aber nicht jedem Punkt auf der Zahlengeraden eine natürliche Zahl zuordnen. Die Zuordnung von natürlichen Zahlen und Punkten auf der Zahlengeraden ist eindeutig, aber nicht umkehrbar eindeutig. 1. ganze Zahl / Punkt auf der Zahlengeraden 2. rationale Zahl / Punkt auf der Zahlengeraden 3. reelle Zahl / Punkt auf der Zahlengeraden 4. Radizieren Sie partiell! (Beachten Sie: ) <

36 Zahlenbereiche Machen sie den Nenner rational! < Berechnen Sie! Wozu erweitert man die Zahlenbereiche? Menge N der natürlichen Zahlen / Menge G der ganzen Zahlen < Man erweitert die Menge N der natürlichen Zahlen zur Menge G der ganzen Zahlen, damit die Subtraktion immer ausgeführt werden kann. 1. Menge G der ganzen Zahlen / Menge Q der rationalen Zahlen 2. Menge Q der rationalen Zahlen / Menge R der reellen Zahlen 8. Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! Wenn a eine natürliche Zahl ist, so ist a eine ganze Zahl. < Die Aussage ist wahr, weil N d G ist Wenn x 1 > x 2 ist, so ist x 1 > x Wenn x > 5 ist, so ist 3. Wenn x > 0 ist, so ist 9. Formulieren Sie die Wurzelgesetze! Hinweis: Orientieren Sie sich an der Formulierung der Potenzgesetze! 36