Mathematik 1 -Arbeitsblatt 1-8: Rechnen mit Potenzen. 1F Wintersemester 2012/2013 Unterlagen: LehrerInnenteam GFB. Potenzen mit negativer Basis

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1 Schule Thema Personen Bundesgymnasium für Berufstätige Salzburg Mathematik -Arbeitsblatt -8: Rechnen mit Potenzen F Wintersemester 0/0 Unterlagen: LehrerInnenteam GFB ) Potenzen mit negativer Basis Zur Erinnerung: 6 Der Exponent gibt also an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert werden muss. Die Basis muss natürlich nicht eine positive Zahl sein, sie kann auch negativ sein. Betrachten wir also folgendes ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +6 Wenn Sie das obige Beispiel fortsetzen, wird Ihnen Folgendes auffallen: Ist der Exponent ungerade, so erhalten wir eine negative Zahl, ist der Exponent gerade, so wird das Ergebnis positiv. Anmerkung: Steht bei einer Zahl oder Variablen kein Exponent, so können wir diese mit Exponenten interpretieren: x x ( ) Merke: Eine gerade Potenz einer negativen Zahl ergibt eine positive Zahl. Eine ungerade Potenz einer negativen Zahl ergibt eine negative Zahl. Wir können nun also das Vorzeichen schnell bestimmen. ( ) Da der Exponent gerade ist, muss das Ergebnis positiv werden: + Nun lässt sich der Zahlenwert berechnen: 8

2 Ein kleiner aber wichtiger Unterschied in der Schreibweise oben fällt auf. Wir schreiben einmal ( ) und einmal +. Wir verwenden einmal eine Klammer, einmal nicht. Beim ersten Beispiel bezieht sich der Exponent auf die gesamte Klammer, also auf -, beim zweiten Beispiel bezieht sich der Exponent nur auf die. + 6 ( ) 6 ) Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis x x Lösung: x bedeutet x x x. x bedeutet x x. Folglich gilt: x x x x x x x x Zum selben Resultat wären wir aber auch gekommen, wenn wir + einfach die Exponenten addiert hätten: x x x x Satz: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert. r s r+ s a a a r, s N Kommen verschiedene Basen vor, so kann ich natürlich nur jene Potenzen mit der gleichen Basis Außerdem darf ich natürlich keinesfalls diese Regeln bei einer Addition oder Subtraktion anwenden: x y x y + x x y Lösung: x y x y + x x y Wir können vor der Addition die x und die y jeweils zusammenfassen, nach der Addition die x. 7 x y + x y Weiters lässt sich nichts mehr ) Division von Potenzen mit gleicher Basis

3 x x Lösung: x x x x x x x x x x Nun kürzen wir einfach und erhalten: x x Zum selben Resultat wären wir aber auch gekommen, wenn wir die Exponenten subtrahiert hätten: x x x x Satz: Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert. r a r s a r, s N; r > s s a x y y x Lösung: 6 x y y x 6 x y 6 Da alle Werte im Nenner und alle Werte im Zähler mit Mal verbunden sind, können wir Potenzen mit gleicher Basis Y interpretieren wir dabei als y x y Der Malpunkt wird in der Kurzschreibweise auch gerne weggelassen. x y

4 ( x ) Satz: ) Potenzieren eines Produkts Hoch bedeutet, dass wir die Basis mal mit sich selbst multiplizieren müssen. ( x) ( x) ( x) ( x) x bedeutet in Wirklichkeit aber x. Da außerdem alle Werte mit Mal verbunden sind können wir die Klammern weglassen. x x x Nun können wir die er und die x wieder x Wenn wir Angabe und Ergebnis vergleichen, erkennen wir, dass wir mit dem Exponenten lediglich jeden Faktor (Element einer Multiplikation) potenzieren müssen. n n n a b a b n N x ) Potenzieren eines Quotienten Der Exponent bedeutet wieder, dass wir die Basis mal mit sich selbst multiplizieren müssen. x x x x x x x x Wenn wir Angabe und Ergebnis vergleichen, fällt auf, dass sich der Exponent auf den Zähler und den Nenner bezieht. Satz: n n a a n N n b b

5 Diese Rechenregeln können natürlich auch vermischt auftreten: a a Zunächst fassen wir den Zähler a zusammen. + a a Nun können wir noch die a a Division ausführen. a a a a Vorsicht: Der Exponent bezieht sich lediglich auf das a, nicht auf die. Wir führen also für a die Division durch. a a a ( a) a a a a a a Da eine Klammer gesetzt ist, bezieht sich der Exponent auf den gesamten Ausdruck a. Wir lösen zunächst die Klammer auf. Nun können wir Potenzen mit gleicher Basis dividieren. Anmerkung: Natürlich könnte man ausrechnen, aber dies ist hier uninteressant. 6) Addieren und Subtrahieren von Potenzen Vereinfache: x x + x + x Potenzen mit gleicher Basis können addiert bzw. subtrahiert werden. Fassen Sie dabei das Rechenzeichen vor dem Term wie ein Vorzeichen auf!! x + x + x x + Anmerkung: Diese Zeile dient nur der Erklärung und wird normalerweise nicht geschrieben. x 6x Beim Ergebnis werden die einzelnen Ausdrücke normalerweise nach fallender Potenz geordnet. Dies bedeutet, dass man die

6 höchsten Exponenten ganz vorne stehen. Hier also dann reine Zahlenwerte. x dann x und Auch hier müssen natürlich Rechengesetze oft vermischt angewandt werden: s s Wir lösen zunächst die Klammer s auf. von s s Dies beiden Terme können wir nun subtrahieren. s Für Klammern gelten dieselben Regeln wie bisher: Steht vor einer Klammer ein +, so kann man die Klammer einfach weglassen. Steht vor einer Klammer ein -, so ändern sich alle Vor- und Rechenzeichen beim Auflösen der Klammer. { a [ + + a ( + ) ]} Wir lösen die Klammern von innen nach außen auf. Vor der runden Klammer steht ein Minus, also ändern wir die entsprechenden Vor- und a { a [ + + a a ] } Rechenzeichen. In der eckigen Klammer können wir die a zusammenfassen a { a [ + ] } (Heben sich auf) Nun lösen wir die eckige Klammer auf. Da ein Plus davor steht können wir diese einfach weglassen. a { a a + a } In der geschwungenen Klammer können wir die a a { a } Nun lösen wir die geschwungene Klammer auf. a a + Nun können wir noch die a 6

7 ( x ) 7) Potenzieren von Potenzen Der Exponent bedeutet, dass die Basis mal mit sich selbst multipliziert werden muß. x x x Dies kennen wir aber bereits: Wir müssen die Exponenten addieren. + 8 x x x x Wenn wir Angabe und Ergebnis betrachten, sehen wir aber, dass wir zum selben Resultat kommen, wenn wir die Exponenten multiplizieren. x x x 8 Satz: Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert. r s r s a a r, s N 7

8 Auch hier müssen natürlich öfters mehrere Regeln angewandt werden. ( x y ) Lösung: ( x y ) Nach dem Gesetz ( x ) ( y ) n n n a b a b bezieht sich der Exponent auf x und y. Nun können wir die Potenzen jeweils potenzieren. 6 x y MULTIPLIZIEREN MIT EINGLIEDRIGEN TERMEN Ein eingliedriger Term ist ein Rechenausdruck, der aus nur einem Element, also ohne Addition und Subtraktion, besteht. x ; x,, x Ein mehrgliedriger Term besteht aus mehreren Elementen, durch Plus und Minus getrennt. x x+ y y x + x Bisher haben wir immer gelernt, dass Klammern zuerst gerechnet werden + rechnen wollen, so addieren wir zunächst + und müssen. Wenn wir multiplizieren das Ergebnis mit. Verwenden wir allerdings Variable, so können wir die Klammer nicht ausrechnen: x + Wir müssen uns also etwas Neues einfallen lassen. Für unsere Überlegungen +. verwenden wir wieder unser obiges Beispiel Wir hätten hier ja auch die mit und die mit multiplizieren können und dann diese Ergebnisse addieren können Wir können also einen mehrgliedrigen Term mit einem eingliedrigen multiplizieren, indem wir jedes Element des mehrgliedrigen Terms mit dem eingliedrigen multiplizieren. Satz: Multipliziere jedes Element des mehrgliedrigen Terms mit dem eingliedrigen. 8

9 a ( b + c) a b + a c x + y 8x + y Die Vorzeichenregeln müssen beim ausmultiplizieren eingehalten werden. Benütze dabei die Rechenzeichen im mehrgliedrigen Term wie Vorzeichen: x y + 6x + y 9 6x + y 9 Derartige Multiplikationen können in einer natürlich mit Additionen und Subtraktionen vermischt auftreten: [ ] e f ( f e ) Lösung: 9 + [ 9e f + ( f e ) ] In der eckigen Klammer müssen wir zunächst die Punktrechnungen ausführen. Wir multiplizieren also zunächst mit in die runde Klammer. 9e f + f e Runde Klammer auflösen [ ] [ ] 9e f + f e Terme in der eckigen Klammer [ 6e f ] Mit in die eckige Klammer multiplizieren. e f Auch das Rechnen mit Potenzen muss dabei angewendet werden: a ( a b) + ab( a + b) b ( a b) In die Klammern hinein multiplizieren. a a b + a b + ab ab b Klammern auflösen. 9

10 a a b + a b + ab ab + b Entsprechende Elemente a + b 0