Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 9 1. Semester ARBEITSBLATT 9 MULTIPLZIEREN MIT MEHRGLIEDRIGEN TERMEN

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1 Mathematik: Mag. Schmi Wolfgang Areitslatt 9 1. Semester ARBEITSBLATT 9 MULTIPLZIEREN MIT MEHRGLIEDRIGEN TERMEN Ein neues Prolem ergit sich, wenn wir mehrere mehrglierige Terme 3x+ 1 4 x = miteinaner multiplizieren sollen, z. B. Um uns ie Lösung klar zu machen, veranschaulichen wir uns as Prolem geometrisch: Zahlen miteinaner multipliziert, können wir als ie Fläche eines Rechtecks interpretieren. Als Beispiel hat ein Rechteck mit er Länge 5 un Breite 4 ie Fläche 54 = 0. Um as ganze allgemein urchzuführen, sagen wir as Rechteck hae eine Länge h un eine Breite k. k h Die Formel für ie Berechnung er Fläche lautet also: A = h k Wir können aer nun sowohl ie Länge als auch ie Breite in ie Summe h= a+ k = c+ zweier Werte zerlegen: Damit lautet ie Formel für ie Fläche: A= ( a+ ) ( c+ ) Damit haen wir also nun genau unser Prolem. Was eeutet iese Zerlegung nun aer geometrisch? I II IV III c k a h Durch as Zerlegen er Länge un Breite zerlegen wir as Rechteck in vier kleinere Rechtecke. Die Fläche es großen Rechtecks muss ie Summe er Fläche er vier kleinen Rechtecke sein. h k = a+ c+ = A + A + A + A I II III IV Nun setzen wir ie Flächen er kleinen Rechtecke ein: a+ c+ = a c+ a + c+ 1

2 Mathematik: Mag. Schmi Wolfgang Areitslatt 9 1. Semester Wenn wir as Ergenis etrachten fällt auf, ass jees Element es ersten Terms mit jeem Element es zweiten Terms multipliziert wir. ( a+ ) ( c+ ) = a c+ a + c+ Natürlich muss ein erartiger mehrglieriger Term nicht uneingt immer aus zwei Elementen estehen, sonern kann elieig viele Elemente haen. Satz: Zwei mehrglierige Terme weren multipliziert, inem man jees Element es ersten Terms mit jeem Element es zweiten Terms multipliziert. Beachte aei ie Vorzeichen. a+ c+ = a c+ a + c+ Zur Bestimmung er Vor- un Rechenzeichen fassen wir einfach as Rechenzeichen vor einem Element wie sein Vorzeichen auf, wenen ie entsprechene Regel an un schreien as entsprechene Vorzeichen gegeenenfalls als Rechenzeichen. Beispiel: ( x 5y x+ y ) = Jees Element es erste Terms muss mit jeem Element es zweiten multipliziert weren. x 5y x + y = x + 4xy 4x + 5xy 10 y + 10 y Nun können wir noch ie entsprechenen Potenzen zusammenfassen x + 4xy 4x+ 5xy 10y + 10y = x 4x+ 9xy+ 10y 10y Üungen: Üungslatt 9; Aufgaen Natürlich können ei zusammengesetzten Ausrücken neen Multiplikationen auch Aitionen vorkommen. Wie immer gilt: Punkt- vor Strichrechnung

3 Mathematik: Mag. Schmi Wolfgang Areitslatt 9 1. Semester Beispiel: Stelle en Term ohne Klammer ar un vereinfache: 3p+ 4q 5r 8s p 3q r+ 7s )= ( Rechnung Anmerkungen ( 3p+ 4q)( 5r 8s) ( p 3q)( r+ 7s )= Die eien Multiplikationen müssen vor er Sutraktion ausgeführt weren. ( 3pr + 4ps + 0qr 3qs) ( pr + 14ps 3qr 1qs ) = Klammern auflösen 3pr + 4ps + 0qr 3qs pr 14ps + 3qr + 1qs = Entsprechene Elemente zusammenfassen = 5pr 10ps + 3qr 11qs Üungen: Üungslatt 9; Aufgae 14 QUADRIEREN VON BINOMEN Manche Rechenausrücke kommen nun esoners häufig vor, wie z.b. 3x 3x 3x y 3 y 3 = y 3 oer ( + ) ( + ) = ( + ) oer ( x y) ( x+ y). Jeen ieser Ausrücke könnten wir nach oiger Rechenweise natürlich ausmultiplizieren un zusammenfassen. Da iese aer so häufig vorkommen wollen wir iese Ausrücke extra untersuchen un schauen, o es nicht ein einfacheres Rechengesetz afür git. Betrachten wir en ersten Ausruck: ( x+ ) ( x+ ) = ( x+ ) In einer Klammer stehen also zwei Ausrücke, welche urch + verunen sin. Die zwei Klammern, welche urch Multiplikation verunen sin, sin ientisch. Wir schreien also einfach für en ersten Teil a un für en zweiten : a+ a+ = a+ Nun multiplizieren wir ie eien Terme aus: a+ a+ = a + a+ a+ = a + a+ Es gilt also folgener Zusammenhang: a+ = a + a+ Wenen wir ies nun an unserem Beispiel an: ( 3x + ) = 3

4 Mathematik: Mag. Schmi Wolfgang Areitslatt 9 1. Semester Dem a un em er Formel entsprechen folgene Teile: ( 3 ) x + = a Setzen wir nun für a un ie entsprechenen Terme ein: a + = a + a + ( x ) ( x) ( x) 3 + = Wenn wir ies nun ausmultiplizieren un potenzieren, erhalten wir: 3x+ = 9x + 1x+4 Betrachten wir en nächsten Ausruck: ( y ) ( y ) = ( y ) Es gilt also: a = a a Nun haen wir statt em + ein -. Wir leiten zunächst unsere Formel her: ( a ) = a a = a a a+ = a a+ Auf unser Beispiel angewant erhalten wir folgenes: y 3 = y y 3+ 3 = y 6y+ 9 Üungen: Üungslatt 9; Aufgaen Betrachten wir en nächsten Ausruck: ( x y) ( x+ y) Wir leiten wieer allgemein unsere Formel her: a+ a = a a+ a = a Es gilt also allgemein: 4

5 Mathematik: Mag. Schmi Wolfgang Areitslatt 9 1. Semester a+ a = a Auf unser Beispiel angewant erhalten wir folgenes: x y x+ y = x y = 4x y Üungen: Üungslatt 9; Aufgaen Besoners sei etont, ass wir Ausrücke er Form a können. + nicht zerlegen Auch ie Rechenregeln für as Potenzieren müssen natürlich eachtet weren: Beispiel: 3x y = 3x ( x ) Rechnung y = 3 y y 3x + 3 = Anmerkungen Wir wenen zunächst ie Formel a = a a+ an. Für en ersten Ausruck gilt: n n n a = a 3 y y Für en ersten Ausruck gilt: x x = r s rs ( a ) = a 4 y y 9x 3x + 3 = 4 y 9x x y+ = 4 = 9x x y+ y 9 Den zweiten Ausruck fassen wir urch Multiplikation zusammen. Interpretieren Sie aei 3x als 3x 1 Für en ritten Ausruck gilt: n n a a = n Üungen: Üungslatt 9; Aufgae 15 Das Potenzieren von Binomen kann natürlich auch gemeinsam mit Strichrechnungen un Punktrechnungen auftreten: Hier gilt: 5

6 Mathematik: Mag. Schmi Wolfgang Areitslatt 9 1. Semester Potenzieren ist wichtiger als Punkt- oer Strichrechnung. Beispiel: REICHEL 3; Seite 109; Nr. 486i Rechnung Anmerkungen ( 3 ) p+ q 33 ( p+ q) = Potenzieren ist am wichtigsten. Wir wenen also ie inomischen Formeln an. p + 1pq+ 9q p + 1 ie 4 39 ( pq+ 4q ) = Nun müssen wir Multiplikationen urchführen. In ie erste Klammer multiplizieren wir mit, in ie zweite Klammer mit (-3). 8p + 4pq+ 18q 7p 36pq 1q = Nun können wir noch gleiche Terme zusammenfassen. = 19p 1pq+ 6q Üungen: Üungslatt 9; Aufgaen Zum Aschluss noch einmal zusammengefaßt: Binomische Formeln: a+ = a + a+ a = a a+ a+ a = a 6