Infos: Buffons Nadel 05/2013

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1 Mathematik- Unterrichts- Einheiten- Datei e. V. Klasse 7; LK 05/013 Buffons Nael Infos: Im 18. Jahrhunert beteiligten sich eine Reihe von Aeligen an er Weiterentwicklung er Naturwissenschaften un Mathematik. So auch er französische Comte e Buffon. Seine vielen Werke sin inzwischen vergessen. Aber nach ihm ist bis heute ie Lösung eines berühmten mathematischen Experiments benannt (s. Überschrift): Auf einer horizontalen Fläche sin parallele Linien mit gleichem Abstan zu sehen (ein liniertes Blatt Papier, ein Dielenboen o. ä.). Eine Nael wir geworfen un lanet auf er Fläche. Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft sie eine Linie? Einige Bezeichnungen un Vorgaben Den Abstan er Linien nenne, ie Naellänge l. Es soll l < gelten, amit immer höchstens eine Linie getroffen wir. Georges-Louis Marie Leclerc, Comte e Buffon (* 7. September 1707 in Montbar; 16. April 1788 in Paris) aus: wikipeia, April 013 Buffons Ieen a) Beschreibung es Zufallsversuchs mit Variablen Zu jeem Naelwurf lässt sich er Abstan y zwischen er Naelmitte un er näher gelegenen Linie bestimmen; ebenso er (kleinere) Winkel, en ie Nael mit einer Parallelen zu en Linien urch en Naelmittelpunkt bilet. b y Skizze 1 Die beien Größen y un sin entscheien afür, ob ie Nael eine Linie trifft bei vorgegebenem l un. Der Fall tritt ein, sobal y b gilt. In em rechtwinkligen Dreieck mit er Kathete b ergibt sich b = sin. b) Anornung er relevanten Größen Alle hier infrage kommenen Datenpunkte ( y) liegen in einem Rechteck mit er Breite un er Länge. Arbeitsblatt es Monats Mai 013

2 Legt man ein Koorinatensystem mit em Ursprung in ie linke untere Ecke es Rechtecks, so kann man f() = sin skizzieren. Die Fläche unter er Kurve (innerhalb es Rechtecks) markiert ie "günstigen Fälle" für ein Treffen einer Linie urch ie Nael. Die gesamte Rechteckfläche zeigt alle "möglichen Fälle". 1. a) Zeichne as Rechteck passen zu en Daten er gegebenen Skizze. b) Markiere en Punkt im Rechteck, er zur Skizze 1 gehört.. Erläutere ie Berechnung von b. 3. Skizziere ie Funktion f() in as Koorinatensystem un schraffiere ie "günstige" Fläche. 4. Berechne ie Fläche unter er Kurve in en Rechteckgrenzen. 5. Berechne ie Rechteckfläche. 6. Bestimme P(ie geworfene Nael trifft eine Linie) in Abhängigkeit von l un. 7. Wie änert sich ie Wahrscheinlichkeit bei Vergrößerung von l, wie bei Vergrößerung von? Passt as plausibel zur Problematik? 8. Berechne ie Wahrscheinlichkeit für ie Situation in Skizze 1. Zusatz 1: Statistische Bestimmung er Wahrscheinlichkeit a) Passen zur Länge l er Stecknaeln (oer kleinen Holzpickern) in einer Packung hat ie Lehrperson Parallelen im Abstan auf ein A3-Blatt gezeichnet für jee/n Schüler/in; oer as Experiment nutzt en Parkettboen in er Aula. Jee/r lässt eine Nael aus einer abgesprochenen Höhe 100-mal auf as Blatt oer as Parkett hinunterfallen. Zähle mit, wie oft u wirfst, notiere in einer Strichliste, wie oft eine Linie getroffen wir. b) Die Werte weren z. B. an er Tafel gesammelt, aiert un es wir jeweils ie relative Häufigkeit berechnet. c) Vergleiche ie letzte berechnete relative Häufigkeit mit er Wahrscheinlichkeit, ie sich nach er Formel in 6 ergibt. Zusatz : Simulation Da man alle Werte für ( y) als gleichwahrscheinlich unterstellt, kann man as Problem auch iskret untersuchen. a) Lege Werte für l un fest. b) Erzeuge mit Excel Zufallszahlen zwischen 0 un für, ebenso für y zwischen 0 un. c) Berechne b. ) Zähle ie Zufallsversuche un ie Fälle mit y b. e) Berechne P nach 4000 Versuchen un vergleiche. Zusatz 3: Experimentelle -Bestimmung Mit er vorgegebenen Formel für ie Wahrscheinlichkeit lässt sich as Experiment in Zusatz 1 oer ie Simulation in Zusatz auch nutzen, um experimentell anzunähern. Arbeitsblatt es Monats Mai 013

3 BEARBEITUNG 1. a), b) x 1,57 cm = cm Punktkoorinaten (siehe x) passen zu Skizze 1: = 3 bzw. 3 = 180 0,56 un y = 1,3. In em rechtwinkligen Dreieck (in er Skizze 1 links unten) gilt: b sin = / b = sin 3. f() = sin (mit gestreckter -Achse) 4. Größe er Fläche unter er Kurve: sin cos Größe er Rechteckfläche: graue Fläche Gesamtfläche 6. P(ie geworfene Nael trifft eine Linie ) = 7. Qualitativ ist ie Formel plausibel: Die Wahrscheinlichkeit sollte größer weren, wenn l größer wir, un bei Vergrößerung er Dielenbreite sollte sie abnehmen. 8. l = 3 cm; = 4 cm 3 P = 4 47,7 % 4 Arbeitsblatt es Monats Mai 013

4 Zusatz 1: Statistische Bestimmung er Wahrscheinlichkeit Zum Beispiel an er Tafel wir auf Zuruf er Schüler/innen ie zweite Spalte er Tabelle gefüllt un zeilenweise ergänzt. Nach em Gesetz er großen Zahl stabilisiert sich ie relative Häufigkeit in er rechten Spalte mit zunehmener Wurfzahl bei er Wahrscheinlichkeit. Wurfzahl Trefferzahl relative Häufigkeit Summe Wurfzahl Summe Trefferzahl relative Häufigkeit % ,0 % % ,0 % % ,3 % % ,0 % Zusatz : Simulation Excel-Programm; nach Voreinstellung er Rekursionsmöglichkeit nutzbar 1 Naelwurf auf parallele Linien: Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft ie Nael eine Linie? 3 4 "Wert für en Abstan er Parallelen " 4 3 "Wert für ie Naellänge l" 5 0, "=Zufallszahl()*PI()/ Erzeugung eines Zufallswinkels alpha" 6 1, "=Zufallszahl()*/ Erzeugung eines Zufallsabstanes y zur nächsten Linie" 7 1 "Wert für en Startschalter 0; 1, wenn alle Summationen starten sollen" "=(A8+WENN(A6<=A4/*sin(A5);1;0))*A7 Summation er Trefferzahlen" "=(A9+1)*A7 Summation er Würfezahl" 10 0,471 "=Runen(A8/A9;4) Anteil gerunet auf 4 Nachkommastellen" ,4775 "=RUNDEN(*A4/(PI()*A3);4) er berechnete Wahrscheinlichkeitswert nach Buffon" Nach run 4000 Versuchen ergibt sich eine relative Häufigkeit von 47,1 % (für l = 3 un = 4). Die Formel oben erwartet run 47,7 %. Die relative Häufigkeit liegt nahe bei er Wahrscheinlichkeit. Zusatz : Experimentelle -Bestimmung Mit en Werten aus Zusatz ergibt sich ist schon eine gute Näherung für ,477 un araus 3,145. Das Arbeitsblatt es Monats Mai 013

5 ZUM ARBEITSBLATT DES MONATS MAI 013 Das Arbeitsblatt es Monats Mai heißt: Buffons Nael. Sollen Ihre Schüler-innen pi experimentell bestimmen? Wollen Sie Ihre Schüler-innen ie Wahrscheinlichkeit für as Schneien von Parkettlinien urch geworfene Naeln experimentell bestimmen un abei as Gesetz er Großen Zahl entecken lassen? Das geht mit Teilen es Arbeitsblattes ab Klasse 7. Oer wollen Sie ie genialen Mathematisierungsschritte Buffons von Ihrem Leistungskurs Mathematik nachentecken un abei eine tolle Schnittstelle zwischen Analysis un Stochastik nutzen lassen? Zuem kann man mit em Problem auch in ie Simulation stochastischer Prozesse mit Excel einführen unter Rückgriff auf iese Excel-Datei. Arbeitsblatt es Monats Mai 013