Staatsexamensklausur für die Lehrämter L 1 (Wahlfach) / L 2 / L 5 Herbst 2007 Mathematik

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Fabian Müller
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1 Staatsexamensklausur für die Lehrämter L 1 (Wahlfach) / L 2 / L 5 Herbst 2007 Mathematik Zugelassenes Hilfsmittel: Einfacher nicht programmierbarer Taschenrechner (ohne Lösemodule sowie sonstige Computeralgebrakomponenten und ohne Grafik) Mathematischer Teil Bearbeitungszeit: 2 Stunden Gewertet werden die drei besten Aufgaben. 1 Geometrie D C Gegeben ist ein Rechteck ABCD mit Seitenlängen AB = a und BC = b (vgl. Abbildung). Dabei ist M der Mittelpunkt der SeiteBC. b a) Zeigen Sie, dass gilt: PS = h = P 2 b) Zeigen Sie, dass gilt: AP = AM c) Zeigen Sie, dass gilt: 90 Wenn BS = h, A dann ist ABCD ein Quadrat. S a d) Es seien A = ( 0 0 ), B = ( 6 ). (1) Zeichnen Sie die Punkte in einem kartesischen Koordinatensystem. (2) Konstruieren Sie die Punkte C und D so, dass ABCD ein Quadrat ist. () Konstruieren Sie M, P und S entsprechend der obigen Zeichnung. (4) Geben Sie jeweils kurze Konstruktionsbeschreibungen an. e) Es seien A = ( 0 0 ), B = ( 6 ) und M = ( 4,5 6 ). Berechnen Sie die Koordinaten von P. M B b / 2 b 2 Algebra a) Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem in den Unbekannten x, y und z über R in Abhängigkeit des Parameters a. ( 2 - a)x + 2y + az = 22-6a (-2 + a)x + y = a ( 8-4a)x 2y + az = 50 24a Geben Sie jeweils die Lösungsmenge an. b) Berechnen Sie das inverse Element von [14] in Z 2007 bezüglich der Addition und dasjenige bezüglich der Multiplikation. c) Finden Sie ganze Zahlen a und b, so dass 14 a b = gilt. d) Geben Sie alle multiplikativ invertierbaren Elemente in Z 12 an (ohne Beweis!). 1

2 Analysis a) Funktionen Gegeben ist die Kurve G, welche die Gleichung y = 2 x 2 besitzt (in einem kartesischen Koordinatensystem). (1) Skizzieren Sie die Kurve G. (2) Bestimmen Sie Gleichungen aller Tangenten an G, die durch den Punkt P = (2 2) gehen. Fügen Sie die Tangenten in Ihre Zeichnung ein. () Bestimmen Sie den Flächeninhalt desjenigen Flächenstücks, das von der Kurve G und der Geraden mit der Gleichung x + y = 2 eingeschlossen wird. Schraffieren Sie die bewusste Fläche in Ihrer Zeichnung. (4) Seien A und B zwei (verschiedene) Punkte auf G. Gibt es einen Punkt Q, so dass die Geraden QA und QB Tangenten an G sind? Begründen Sie Ihre Antwort. b) Folgen Die Zahlenfolge (x n ) n 1 ist rekursiv definiert durch (a) x 1 = 1 und (b) x n+1 = x n + a, wobei a eine reelle Zahl ist. (1) Zeigen Sie: Für a > 0 hat die Folge (x n ) n 1 nur nicht negative Folgenglieder. (2) Geben Sie eine explizite Formel für die Folge (x n ) n 1 an. () Gibt es einen Wert für a, so dass die Folge (x n ) n 1 konvergiert? Begründen Sie Ihre Antwort. 2

3 4 Stochastik a) Zufallsversuche a1.) Die Universität will den Lehrstuhl für Zukunftsforschung neu besetzen. Unter den 50 Bewerbern sind 40 Mathematiker und je 5 Wirtschaftswissenschaftler und Soziologen (alle Bezeichnungen sind geschlechtsneutral zu verstehen). Von den Mathematikern unter den Bewerbern sind 0 hochqualifiziert, von den Wirtschaftswissenschaftlern und Soziologen nur je einer. (1) Es soll zunächst eine Auswahl von vier Bewerbern gebildet werden, die zum Gespräch eingeladen werden. Wie viele Möglichkeiten für eine derartige Auswahl von Bewerbern gibt es, wenn nur interessiert, wie viele Wissenschaftler welcher Fachrichtung in der Auswahl vertreten sind? (2) Wie wahrscheinlich wäre bei einer rein zufälligen Auswahl der Bewerber für die Auswahl gewesen, dass mindestens drei der Bewerber in der Auswahl hochqualifiziert sind? a2.) Nach den Vorstellungsgesprächen und langem Hin und Her wird schließlich Bewerber Z für den Lehrstuhl vorgeschlagen. (1) Wie wahrscheinlich ist aus rein statistischen Erwägungen (man stellt sich vor, die Wahl wäre rein zufällig getroffen worden), dass es sich bei Z um einen hochqualifizierten Bewerber handelt? (2) Nun ist Z Soziologe, und es handelt sich bei Z leider nicht um einen hochqualifizierten Bewerber. Wie wahrscheinlich ist (aus rein statistischen Erwägungen), dass ein für den Lehrstuhl vorgeschlagener Bewerber, der nicht hochqualifiziert ist, auch nicht Mathematiker ist? a.) Wie oft hätte man das Auswahlverfahren rein zufällig und jeweils mit allen 50 Bewerbern durchführen müssen, damit mit 95%-iger Sicherheit mindestens einmal ein hochqualifizierter Wirtschaftswissenschaftler ausgewählt worden wäre? b) Hypergeometrische Verteilung b1.) Beschreiben Sie ein konkretes Zufallsexperiment und eine dabei beobachtbare Zufallsgröße X, deren Verteilung hypergeometrisch ist. b2.) Berechnen Sie den Erwartungswert von X aus Ihrem Beispiel und interpretieren Sie diesen Wert umgangssprachlich.

4 Mathematikdidaktischer Teil Bearbeitungszeit: 2 Stunden!!! Beide Aufgaben sind zu bearbeiten.!!! 5 Handeln, Konstruieren und Beweisen im Geometrieunterricht D W C Problemaufgabe für den Geometrieunterricht in der 8. Jahrgangsstufe (Realschule, Gymnasium): Gegeben ist die nebenstehende geometrische Figur mit den Eigenschaften: X P S Q R V (1) ABCD ist ein Quadrat. (2) U, V, W, X sind die Mitten der Quadratseiten. () P, Q, R, S sind die Schnittpunkte der Geraden AW und CU mit BX, usw.. Aufträge: (a) Untersuche die Form und die Größe des Vierecks PQRS. (b) Beweise die in (a) erhaltenen Erkenntnisse. A U B a) Beurteilen Sie die folgende Schülerlösung: Ich zeichne die geometrische Figur auf mein Zeichenblatt. Ich schneide die Teildreiecke und Teilvierecke der Zeichnung aus. Ich lege die ausgeschnittenen Teile geeignet zusammen: Ich erhalte 5 gleich große Quadrate. Ergebnisse: Das Viereck PQRS ist ein Quadrat. Das Quadrat ABCD ist 5-mal so groß wie das Quadrat PQRS. b) Erläutern Sie am Beispiel der Problemaufgabe den Zusammenhang von Dingen des Alltags und geometrischen Konzepten (Begriffen, Sätzen, Verfahren). c) Beschreiben Sie am Beispiel des Herstellens der Zeichnung für die Problemaufgabe, was eine Konstruktionsaufgabe in der Geometrie ist. d) Nennen Sie anhand des Beispiels der Problemaufgabe Gründe (Motive), weshalb man in der Geometrie die Richtigkeit von Aussagen beweist. e) Skizzieren Sie, wie man den Auftrag (2) der Problemaufgabe mit der euklidischen Methode durchführen kann. Wodurch unterscheidet sich diese Methode von der Abbildungsmethode? 4

5 6 Funktionen und Anwendungen Aufgabe Der Wasserstand eines Tümpels werde nur durch die Verdunstung und die Niederschläge reguliert. Im Sommer kann mit einer täglichen Verdunstung von 4 % des Morgens vorhandenen Wassers gerechnet werden. (a) Ein solcher Tümpel fasst 20 m Wasser. Wie viel Wasser enthält der Tümpel nach 7 regenlosen Tagen? Wie lange muss das schöne Wetter dauern, damit nur noch ein Viertel des Wassers vorhanden ist? (b) Bei einer Wassermenge von 240 m beginnt es zu regnen. Der Regen ist zunächst so stark, dass der Wasserstand unverändert bleibt. Wie viele Liter Regenwasser fließen dann täglich in den Tümpel? Der Regen wird nun stärker und liefert 12 m Wasser pro Tag. Berechnen Sie die Wassermenge im Tümpel für die nächsten zwei Tage. (aus den Bildungsstandards für Mathematik Gymnasium Klasse 10 des Landes Hessen) a) Welche Grundvorstellungen sollen Schüler im Mathematikunterricht (der Realschule und des Gymnasiums) zu linearen Funktionen und zu exponentiellen Wachstumsfunktionen erwerben? Erklären Sie schülergerecht, was eine lineare Funktion ist. Erklären Sie schülergerecht, was eine exponentielle Wachstumsfunktion ist. b) Skizzieren Sie zwei verschiedene Verfahren, wie man die Aufgabe bearbeiten kann. Notieren Sie jeweils, welche Kompetenzen zur Bearbeitung der Aufgabe erforderlich sind. c) Welchen Beitrag kann die Aufgabe zum Lehren und Lernen des Modellierens und Mathematisierens leisten? d) Beurteilen Sie die Aufgabe bezüglich ihrer Eignung zum operativen Üben des Umgehens mit Funktionen. 5

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