2. Mathematikschulaufgabe

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1 1.0 Lineare Funktionen: 1.1 Die Gerade g 1 hat die Steigung m 1 = - 0,5 und verläuft durch den Punkt P 1 (-1/-1,5). Bestimme die Gleichung der Geraden g Die Gerade g 2 steht auf der Geraden g 1 senkrecht und verläuft durch den Punkt P 2 (3/-1). Bestimme die Gleichung von g Die Gerade g 3 ist parallel zu g 1 und verläuft durch den Punkt P 3 (1/2,5). Bestimme die Gleichung von g Die Geraden g 1 und g 2 schneiden sich im Punkt S. Berechne die Koordinaten von S. 1.5 Zeichne die drei Geraden in ein Koordinatensystem ein. Für die Zeichnung: - 5 x 7; - 5 y 5; 1 LE = 1 cm 1.6 Gib die Gleichung der Parallelenschar an, zu der die Gerade g 2 gehört. 1.7 Wie lautet die Gleichung des Geradenbüschels mit dem Büschelpunkt P 2? 2.0 Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung y <, 2 x 5 ; G< x 2.1 Zeichne den Graphen dieser Funktion. Erstelle dazu eine Wertetabelle für x [- 8; - 2]; Χx = 1 Für die Zeichnung: - 9 x 2; - 6 y 6; 1 LE = 1 cm 2.2 Gib die Gleichung der beiden Asymptoten an. 2.3 Gib den Definitions- und den Wertebereich von f an. 3. Gegeben ist folgendes Gleichungssystem: x - 2y + 24 = 0 6y = 3x - 36G< x Ermittle rechnerisch die Lösungsmenge und deute das Ergebnis geometrisch. Verwende zur Lösung nicht die Determinantenmethode. 4. Bestimme rechnerisch die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems: (auf zwei Stellen nach dem Komma runden) G< x 6,54x - 12,65y - 36 = 0 2,95y - 5,04x = - 18,4 RM_A0028 **** Lösungen 4 Seiten (RM_L0028)

2 1.1 Die Gerade g 1 verläuft durch die Punkte P(-1/6) und Q(4/-4). Zeichne die Gerade g 1 in ein Koordinatensystem: 1LE 1cm; Platzbedarf: -2 x 8; -8 y Bestimme durch Rechnung die Gleichung der Geraden g 1 (Ergebnis: g 1 : y = -2x + 4) 1.3 Zeichne die Gerade g 2 mit y = -2 und berechne die Koordinaten des Punktes B für den gilt: {B} = g 1 g g y<, 2 1 gϒ1 (Spiegelung an y = - 2) Zeichne g 1 und bestimme die Gleichung der Geraden g Die Gerade g 3 steht senkrecht auf der Geraden g 1 und verläuft durch den Punkt R(5/4). Zeichne g 3 und bestimme durch Rechnung die Gleichung der Geraden g 3. (Ergebnis: g 3 : y = 0,5x+1,5) 1.6 Die Geraden g 1 und g 3 schneiden sich im Punkt A. Berechne die Koordinaten von A. 2.1 Gegeben ist eine Schar von Dreiecken AB n C n mit A(-2/-1). Die Eckpunkte C n (x/y) wandern auf der Geraden y = -0,5x + 4. Die Punkte B n wandern auf der x-achse. Dabei ist die x-koordinate der Eckpunkte B n stets um eins größer als die x-koordinate der Eckpunkte C n. 2.2 Zeichne die Dreiecke AB 1 C 1 mit x = -1 und AB 2 C 2 mit x = 5 in ein Koordinatensystem: (1LE 1cm ; -3 x 8; -2 y 6) 2.3 Berechne den Flächeninhalt A(x) aller Dreiecke AB n C n in Abhängigkeit von der x-koordinate der Punkte Cn. (Ergebnis: A (x) = -0,25x 2 + 1,25x + 6,5) 2.4 Untersuche den Flächeninhalt auf einen Extremwert. RM_A0041 **** Lösungen 3 Seiten (RM_L0041)

3 1. x + y = 6,5 Löse das Gleichungssystem grafisch. 2x y = x - y + 8 = 6x Löse das Gleichungssystem rechnerisch. 2(x - 3) + 7 = 4(y + 1) 3. 2,23x - 0,155y = 7 Löse das Gleichungssystem nach der -1,54x + 0,19y = -5 Determinantenmethode. 4. Ein Parallelogramm ABCD mit 24 cm Umfang hat einen Flächeninhalt von 20cm 2. Die Seite b ist dabei 1,2 mal so lang wie die Seite a. Berechne die Seitenlängen und Höhen des Parallelogramms. 5. a) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A(-3/-3); B(7/-5); C(1/7) b) Das Dreieck wird zu einem Parallelogramm ABCD ergänzt. Berechne die Koordinaten des Punktes D. 6. Von einem Dreieck kennt man die Eckpunkte A(-3/0); B(4/-1) und den Flächeninhalt A ΧABC = 14 FE; Der dritte Eckpunkt C liegt auf der Geraden g mit y = -x + 4. Ermittle rechnerisch die Koordinaten des Eckpunktes C. RM_A0106 **** Lösungen 4 Seiten (RM_L0106)

4 1.0 Die Gleichung y = 0,5x - (a +3) mit a Q beschreibt bezüglich G = Q x Q die Parallelenschar g(a). 1.1 Ermittle rechnerisch die Gleichung der Scharparallelen g 1, die durch den Punkt P(8/1) verläuft. 1.2 Die Parallelen g 2 und g 3 erhält man, wenn man a einmal mit 2 belegt und dann mit 4. Ermittle die Gleichung der Mittelparallelen g 4 zu den Parallelen g 2 und g 3, und gib die zugehörige Zahl für a an. 1.3 Durch den Punkt P(8/1) gibt es eine Gerade g 5, die auf allen Geraden der Schar senkrecht steht. Gib ihre Gleichung an. 2.1 Die Strecke [AB] mit A(-4/2) und B(-2/-2) ist die Basis von gleichschenkligen Dreiecken ABC. Zeichne die geometrische Ortslinie der Punkte C sowie die Dreiecke ABC 1 mit C 1 (0,5 /?) und ABC 2 mit C 2 (3,5 /?) ins Koordinatensystem. 2.2 Zeige, dass die Mittelsenkrechte m [AB] zur Strecke [AB] die Gleichung y = 0,5x + 1,5 hat. 2.3 Berechne die Koordinaten der Punkte C 1 und C 2 in Aufgabe Berechne die Koordinaten des Punktes C* des gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks ABC*. 3.0 Gegeben ist das Gleichungssystem y < x 1 x 2y 7 < 0 mit G = Q x Q 3.1 Begründe und zeige, dass man durch Umformung der 2. Gleichung des Systems sofort erkennen kann, dass die Lösungsmenge genau ein Zahlenpaar enthält. 3.2 Bestimme rechnerisch die Lösungsmenge des Gleichungssystems in Gib zum Gleichungssystem y < x 1 y < mx t G = Q x Q m, t Q Belegungen für die Formvariablen m und t an, so daß das System a) unendlich viele Lösungen besitzt b) keine Lösung besitzt 4. Zeichne den Graph der Relation R mit der Gleichung y < 2x, 4 + 3; G = Q x Q RM_A0142 **** Lösungen 3 Seiten (RM_L0142)

5 1.0 Gegeben sind die Punkte A(-1/2), B(8/-3), C(4/7) und die Geraden g mit y = -3 und h mit x = Zeichne das Dreieck ABC sowie g und h in ein Koordinatensystem. Platzbedarf: -1 x 13-4 y Berechne den Flächeninhalt A des Dreiecks. 1.3 Der Punkt B wandert nun auf g um x cm in positiver x-richtung. C dagegen um 0,5x cm in negativer y-richtung. Die neuen Punkte heißen B und C. Zeichne für x = 4 das Dreieck AB C in die Zeichnung ein. 1.4 Gib die Koordinaten von B und C in Abhängigkeit von x an. 1.5 Berechne den Flächeninhalt der Dreiecke AB C in Abhängigkeit von x. Zwischenergebnis: A(x) = x² x + 35 ) 1.6 Berechne den maximalen Flächeninhalt der Dreiecke AB C sowie die zugehörige Belegung für x. 2.0 Gegeben ist das Trapez ABCD mit A(2/1), B(11/1), C(10/7) und D(3/7). 2.1 Fertige eine Zeichnung an. Platzbedarf: 0 x 16 0 y Berechne die Fläche des Trapezes ABCD. 2.3 Verlängert man [AB] über A hinaus um x cm sowie über B hinaus um 2x cm und verkürzt gleichzeitig die Höhe des Trapezes um x cm, so entstehen neue Trapeze A B C D. Zeichne das Trapez für x = 2 in die Zeichnung ein. 2.4 Gib die Koordinaten von A, B, C, und D in Abhängigkeit von x an. 2.5 Berechne den Flächeninhalt der Trapeze A B C D in Abhängigkeit von x. 2.6 Bringt man die Geraden A D und B C zum Schnitt, erhält man den Punkt S. Berechne seine Koordinaten. HINWEIS: Verwende für diese Berechnung die Figur aus der Zeichnung, setzte also x = 2. RM_A0143 **** Lösungen 3 Seiten (RM_L0143)

6 1.0 Gegeben ist die Gerade g = AB mit A(-2/-3) und B(6/7). 1.1 Bestimme durch Rechnung die Funktionsgleichung der Geraden g und zeichne sie in ein Koordinatensystem. Platzbedarf: - 5 x 10-4 y 8 (Ergebnis: y = 5 4 x - 0,5 ) 1.2 Berechne die Nullstelle x 0 der linearen Funktion. 1.3 Gegeben ist ferner der Punkt P(-1/5). Stelle die Gleichung des Geradenbüschels g(m) mit dem Büschelpunkt P auf. Für welchen Wert von m erhält man die Gleichung der Büschelgeraden, die durch den Punkt B verläuft? Gib die Gleichung dieser Büschelgeraden an. 1.4 Bestimme die Gleichung der Geraden h, für die gilt: h ] g P h 1.5 Gegeben ist die Gleichung einer weiteren Geraden k mit y = 1 2 x + 2,5. Zeichne k in das Koordinatensystem ein (mit Steigungsdreieck). Berechne jetzt die Koordinaten des Schnittpunktes S der Geraden k mit der Geraden g (Gleichungssystem). Überprüfe das Ergebnis grafisch. 2. Gegeben ist das Gleichungssystem 3x 2y 24 < 0 7,5x < 12, 5y Ermittle die Lösungsmenge und deute das Ergebnis geometrisch. RM_A0144 **** Lösungen 2 Seiten (RM_L0144)

7 1.0 Gegeben sind die Geraden g 1 : y = 5 4 x - 0,5 g 2 : y = 0,5x + 2,5 1.1 Zeichne beide Geraden in ein Koordinatensystem (mit Steigungsdreiecken). Platzbedarf: - 5 x 10-4 y Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes S von g 1 und g Bestimme die Gleichung der Geraden h, für die gilt: h ] g 1 P(-1/5) h 1.4 Berechne die Nullstelle x 0 der linearen Funktion g Gegeben sind die Geradenbüschel g(m): y = mx - 2 h(m): y = m(x - 3) + 2 Gib die Gleichung der Geraden g an, die beiden Büscheln gleichzeitig angehört. 2.0 Löse folgende lineare Gleichungssysteme für G = Q x Q 2.1 Mit der Determinantenmethode: 8,1x, 15y < 3,81 y 2,4x, 0,04 < Mit der Einsetzungsmethode:, 1,2x y <, 2, 4,2x 3,5y < 3,5 2.3 Mit der Additionsmethode: 4x, 2y < 33 5x 2y < 7,5 RM_A0145 **** Lösungen 3 Seiten (RM_L0145)

8 + III 1.0 Eine Gerade g ist durch die beiden Punkte A( - 0,5 /3) und B( 7 /-3), eine Gerade h durch den Punkt P( - 3 /-6) und die Steigung m < 2 gegeben Überprüfe rechnerisch, ob gilt: g] h. 1.2 Bestimme die Gleichungen der beiden Geraden. 1.3 Ermittle die Gleichung der zu h parallelen Geraden p, die durch den Punkt Q(-1/-1) verläuft. 1.4 Zeichne die Graphen zu g, h und p in ein Koordinatensystem. Platzbedarf:, 4 x 8;, 7 y Trage in das Koordinatensystem auch die Graphen der folgenden Gleichungen ein: x 3 < 0 und 2y, 4 < Gegeben ist eine Parallelenschar mit der Gleichung g a ( :y <, 2x 2a 3, a. 2.1 Überprüfe durch Rechnung, ob die Gerade g 1 2 : y x 4 < 0 zur Parallelenschar 2 gehört. 2.2 Für welchen Wert von a erhält man die Ursprungsgerade g 0 der Schar? 2.3 Wie lautet die Gleichung der Geraden g 1 der Parallelenschar, die durch den Punkt P( 3 /1) verläuft? 3.0 Gegeben ist das Fünfeck ABCDE mit A( - 1 /- 3 ), B( 4 /2), C(3/5), D(-1/4) und E(-3/1). 3.1 Berechne den Flächeninhalt des Fünfecks. 3.2 Ein Drachenviereck mit der Diagonalenlänge e = 10 LE besitzt denselben Flächeninhalt. Wie lang ist die andere Diagonale? 4.0 In einem Parallelogramm PQRS gilt für die Seitenlängen: PQ < 1,5 QR. Von dem Parallelogramm ist außerdem der Umfang u = 30 cm und der Flächeninhalt A = 36 cm² bekannt. 4.1 Berechne die Seitenlängen und die Höhen h 1 und h 2 des Parallelogramms. RM_A0168 **** Lösungen 5 Seiten (RM_L0168)

9 1. Eine Raute ABCD hat die Diagonallängen e < AC < 9 cm und f < BD < 6 cm. Es entstehen neue Rauten ABCD n n n n, wenn man die Strecke ΖAC von A und C aus um jeweils x cm verkürzt und die Strecke ΖBD über B und D hinaus um jeweils x cm verlängert. a) Zeichne die Raute ABCD und eine neue Raute A1BCD für x < 2 cm. b) Berechne den Flächeninhalt der beiden Rauten. c) Bestimme den Flächeninhalt der Rauten ABCD n n n n in Abhängigkeit von x. [Zwischenergebnis: ( 2 2, 2x 3x 27 cm ] d) Für welche Belegung von x wird der Flächeninhalt maximal? 2. Die Grundlinie eines Dreiecks hat die Länge c < 6 cm. Sein Flächeninhalt soll nicht übersteigen. Wie groß darf die Höhe h c des Dreiecks höchstens sein? 2 25,5 cm 3. Gegeben ist die Parallelenschar g t ( :y <, 3,5x t. a) Gib die Ursprungsgerade g 1 an, die zur Parallelenschar gt ( gehört. b) Die Gerade g 2, die zur Parallelenschar gt ( gehört, verläuft durch den Punkt A 4 5,5 (. Bestimme die Gleichung von g 2 in Normalform durch Rechnung. g verläuft durch die Punkte B12 ( und ( c) Eine Gerade 3 C 2 0. Gehört diese Gerade zur Parallelenschar g t ( :y <, 3,5x t? Zeige dies durch Rechnung. 4. Gegeben ist das Geradenbüschel g m ( :y < m x, 2(, 6. g, die zum Geradenbüschel ( ( a) Die Gerade 1 g m :y < m x, 2, 6 gehört, hat die Steigung, 4. Bestimme die Gleichung von g 1 in Normalform. b) Berechne die Gleichung der Ursprungsgeraden g 2, die zum Geradenbüschel g m ( :y < m x, 2(, 6 gehört und gib sie in Normalform an. 5. Ermittle die zur Geraden 3 die durch den Punkt A? 4 ( geht. g mit ( g 3 :y <, 6 x, 2, 8 orthogonale Gerade g 4, RM_A0301 **** Lösungen 3 Seiten (RM_L0301)