Affine (lineare) Funktionen

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1 Gymnasium / Realschule Affine (lineare) Funktionen f() m + t Klassen 9 -. Gib die Gleichung einer Geraden durch P mit der Steigung m an: a) P( ); m - b) P( ); m c) P(-4 ); m. Gegeben sind die Punkte P und Q. Gib die Gleichung der Geraden PQ an. Wie ist jeweils die Steigung? a) P(- 5); Q( 6) b) P(-4-5); Q( -8). Wie lautet die affine (lineare) Funktion, deren Graph parallel zur Geraden f(),6-4 verläuft und den Punkt A( -6) enthält? D f R 4. Gib die affine (lineare) Funktion an, deren Graph die Nullstelle,5 hat und die y-achse im Punkt P( -8) schneidet. D f R 5. Die Gerade g hat die Gleichung: y,75 +. a) Stelle die Gleichung derjenigen Geraden h auf, die parallel zu g und durch den Punkt P( 7) verläuft. b) Ermittle die Gleichung der orthogonalen Geraden k zu g durch den Ursprung. 6. Bestimme Schnittpunkt und Schnittwinkel der Graphen g : f() mit g : g() -, Gegeben ist die Funktion g: -,. D g R a) Zeichne den Graphen G g der Funktion. b) Der Punkt Q(- y Q ) liegt auf G g. Bestimme y Q. c) Durch Q soll eine Gerade h verlaufen, die mit G g einen Winkel von 4 bildet. Wie lautet die Geradengleichung? 8. Berechne den Schnittwinkel der beiden Diagonalen AC und BD des Vierecks ABCD mit A(6 ); B( 7); C(- -) und D(4 -). 9. Durch den Punkt P( y P ) mit P G f soll eine Gerade gelegt werden, die mit der Geraden f() - + einen Winkel von 45 bildet. Erstelle die Geradengleichung.. Gegeben sei die affine Funktion f: f() + mit D f R a) Fertige eine Zeichnung von f im Koordinatensystem an. b) Der Punkt P( P ) liegt auf dem Graphen zu f. Berechne p. c) Wie lautet die Funktion g() deren Graph mit dem Graphen von f einen Winkel von bildet und die durch P verläuft? GM_AU **** Lösungen 9 Seiten (GM_LU) ()

2 . Der Neigungswinkel einer Geraden zur -Achse beträgt. Die Gerade verläuft durch den Punkt R(- -5). D f R a) Wie lautet die Funktionsgleichung? b) Berechne die Schnittpunkte des Graphen mit den Achsen. c) Gib die Gleichung der Geraden an, die durch den Koordinatenursprung verläuft und auf der gegebenen Geraden senkrecht steht. d) Wie heißt die Umkehrfunktion zur gegebenen Geraden? Gib deren Steigungswinkel α an. GM_AU **** Lösungen 9 Seiten (GM_LU) ()

3 Gymnasium / Realschule Affine (lineare) Funktionen und Funktionenscharen Klassen 9 -. Erkläre folgende Begriffe: a) Ursprungsgerade b) Steigung bzw. Steigungsdreieck c) steigende u. fallende Gerade d) Geradenbüschel, Parallelenschar e) y-achsenabschnitt f) Lineare Funktion g) Normalform der linearen Funktion. Zeichne die durch folgende Gleichungen gegebenen Geraden in ein Koordinatensystem und gib zu jeder Geraden ihre Steigung an a) y c) y -4,5 e) y + 5 b) y - d) - - y f) y -. Prüfe durch Rechnung nach, ob folgende Punkte auf der jeweiligen Geraden liegen a) P ( l 5 ); P (-,6 l -,5); g : 5 - y b) A (6 l ); B (-5 l -); g : -5y + 4. Gib jeweils die Gleichung der Geraden an, die durch den Ursprung ( l ) und einen der folgenden Punkte verläuft a) A(,5 l -) b) B(-4,5 l ) c) C( l - 5 ) Anleitung: Gleichung einer Ursprungsgeraden hat die Form y m. Die Koordinaten der Punkte gehören zur Lösungsmenge. Setze die Koordinaten der Punkte für und y ein und ermittle damit m. 5. Prüfe durch Rechnung, ob folgende Punkte auf derselben Ursprungsgerade liegen a) A (, l,7) A (,6 l,54) b) B ( 5 l,8) B (,4 l 8 5 ) c) C (6 l ) C (-6 l -) 6. Gegeben sind die Funktionsgleichungen g : y -/4 und g : -5y +. Zeichne jeweils den Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem und dazu den Graph der entsprechenden Umkehrfunktion g - und g -. Gib die Funktionsgleichung der Umkehrfunktionen an. Hinweis: Die Umkehrfunktion erhält man durch Spiegelung der Funktion an der Geraden y. 7. Gegeben sind die Geraden g : y -,45 und g : 6 + y. Zeichne die gegebenen Geraden und die im Koordinatenursprung auf ihnen senkrecht stehenden Geraden. Ermittle deren Funktionsgleichung. 8. Zeichne die Graphen folgender Relationen und gib an, welche Relationen Funktionen sind. Begründe dies. a) R { (ly)l lyl + } b) R { (ly)l y + ll } c) R { (ly)l y ll } GM_AU **** Lösungen teilweise vorh. (7)

4 Gymnasium / Realschule Affine (lineare) Funktionen und Funktionenscharen Klassen 9-9. Die Gerade g mit y / wird nacheinander wie folgt abgebildet : (l); φ -9 y - Achse g g g g Zeichne die Abbildungen in ein Koordinatensystem. Wie lauten die Gleichungen der Geraden g, g, g? wmit y -. Gib zu folgenden Funktionen die Umkehrrelation an und zeichne die Graphen jeweils in ein Koordinatensystem a) f { (ly)l y - ll } b) f { (ly)l y - 4 ll }. Die Gerade g mit y - wird durch Parallelverschiebung mit dem Vektor Wie lautet die Gleichung der Bildgeraden? v abgebildet. Die Gerade g hat die Steigung m,5 und verläuft durch den Punkt S (- / -7). Wie lautet die Geradengleichung in der Normalform?. Ermittle durch Rechnung die Normalform der Geradengleichung bei der der y-achsenabschnitt - 4,5 beträgt und die durch den Punkt A( l 5 6 ) verläuft. 4. Gib die Gleichungen der jeweils durch die Punkte P (5 I ), P (- I 8) und P (- I -7) verlaufenden Parallelen zu den Koordinatenachsen an. 5. Wie lauten die Gleichungen der Koordinatenachsen? 6. Ermittle die Nullstellen der Umkehrfunktionen zu den durch folgende Gleichungen gegebenen Funktionen: y,5( - 4) + b) -4-5y Bestimme durch Zeichnung und Rechnung die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Achsen ( ; y ) a) 5 - y + b) y -( + ) + 6 c),75( + ) - - y 8. Bestimme die Gleichungen der Geraden durch folgende Punkte: a) A( l -) b) P(-6 l -7) B(,5 l 4) Q(- l,5) 9. Gegeben ist die Gerade g mit y +,5(-) + 5. Bestimme die auf der gegebenen Geraden senkrecht stehende Gerade g'. Der Schnittpunkt beider Geraden soll auf der -Achse liegen. Gib die Geradengleichung von g' an. GM_AU **** Lösungen teilweise vorh. (7)

5 Gymnasium / Realschule Affine (lineare) Funktionen und Funktionenscharen Klassen 9 -. a) Zeichne die Menge aller Punkte S( l -,5 + ) mit den angegebenen Koordinaten in ein Koordinatensystem ( ). Auf welcher Ortslinie liegen sie? b) Die Punkte S werden um den Vektor v parallel verschoben. Die Bildpunkte heißen T.,5 Zeichne die Ortslinie der Punkte T ein. Gib die Menge aller Punkte T in Koordinatenschreibweise an.. Die Gleichung y - (a + ) mit a beschreibt bezüglich G die Parallelenschar g(a). a) Gib die Gleichung der Scharparallelen g an, die durch den Punkt A(-6 l,5) verläuft. b) Belegt man a einmal mit und dann mit -8, erhält man zwei Geraden g und g. Ermittle die Gleichung der Mittelparallelen g 4 zu den Parallelen g und g. Gib die zugehörige Zahl a an.. Gegeben ist die Gleichung einer Parallelenschar g(t): y - + t. a) Prüfe rechnerisch, ob die Gerade g : - y + 5 der Parallelenschar angehört. b) Für welchen Wert von t erhält man jeweils die Gleichung der Schargeraden, die durch die Punkte A(- l ) und B(,5 l -8) verlaufen? c) Gibt es eine Schargerade die zugleich durch die Punkte P (-4 l 4) und P ( l -5) verläuft? Zeige dies rechnerisch. d) Wie lautet die Gleichung der Parallelenschar, deren Geraden auf denen der gegebenen Schar senkrecht stehen?. Geraden, die einen gemeinsamen Schnittpunkt haben, gehören einem Geradenbüschel an. a) Durch welchen Punkt Q verlaufen alle Geraden des Geradenbüschels g(m): y m + b) Für welche Werte von m erhält man die Gleichungen der Büschelgeraden, die durch die Punkte A(,4 l ), B(- l 4) und C(,5 l ) verlaufen? c) Zeige rechnerisch, ob es eine Büschelgerade gibt, die gleichzeitig durch die Punkte U( l 5) und V(- l ) verläuft. d) Ein zweites Geradenbüschel h(m) hat den Büschelpunkt R( l 4). Gib die Gleichung des Geradenbüschels an. e) Wie lautet die Gleichung der Geraden, die beiden Büscheln gleichzeitig angehört? f) Gib die Gleichungen der Geraden beider Büschel an, die auf der Geraden mit y / + senkrecht stehen. 4. Das Geradenbüschel g(m) mit y - m + m + 5 und die Parallelenschar g(t) mit y - - t sind gegeben. a) Bringe die Büschelgleichung auf die Form y m( - ) + y (Punktsteigungsform) und gib die Koordinaten des Büschelpunktes B an. b) Zeichne den Büschelpunkt, die Büschelgeraden für m { ; ±; ± } und die Schargeraden für t [-4; 4] in ein Koordinatensystem. c) Gib die Gleichung der Büschelgeraden an, die Ursprungsgerade ist. d) Welche Gerade der Parallelenschar ist gleichzeitig Büschelgerade? e) Welche Büschelgerade steht auf allen Schargeraden der Parallelenschar senkrecht? GM_AU **** Lösungen teilweise vorh. (7)

6 Gymnasium / Realschule Affine (lineare) Funktionen und Funktionenscharen Klassen 9-5. Gegeben seien die Punkte P( l ) und Q(k l -). a) Stelle in Abhängigkeit vom Parameter k die Funktionsgleichung der Schar f k () auf, die durch die Punkte P und Q bestimmt wird. Welche Werte darf hierbei der Parameter k annehmen? b) Bestimme die Schnittpunkte S und S y der Funktionenschar mit den Koordinatenachsen in Abhängigkeit vom Parameter k. c) Gebe diejenigen Geraden aus der Schar an, die parallel zur -Achse bzw. parallel zur Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten verlaufen. d) Welche Gerade aus der Schar steht senkrecht auf der Geraden h() -4 +? Gib die Gleichung dieser Geraden an. Bestimme außerdem den Schnittwinkel dieser Geraden mit der y-achse. e) Ermittle die Gleichung der Geraden g(), die denselben Abstand vom Ursprung hat wie h() und parallel zu dieser verläuft (keine Schargerade). f) Haben alle Geraden der Funktionenschar einen gemeinsamen Schnittpunkt? Wenn ja, gib diesen an. g) Zeichne die Geraden aus c), d) und e) in ein Koordinatensystem. 6. Eine Gerade g verläuft durch den Punkt P( I ) und hat eine Nullstelle bei 5. a) Erstelle die Funktionsgleichung. b) Berechne den Neigungswinkel α gegen die -Achse. c) Q( I q) soll unterhalb von g liegen. Welche Bedingungen muß q erfüllen? 7. Gegeben ist die Gerade g: f() -/ + a) Erstelle die Gleichung aller Geraden, die zu g parallel sind. b) Erstelle die Gleichung aller Geraden, die den gleichen Schnittpunkt mit der y-achse haben. 8. Gegeben ist der Punkt P(4 I ) und die Funktionenschar mit der Gleichung f m () (m - ) + m m a) Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden, die den Punkt P enthält. b) Bestimme die Gleichung der Geraden aus der Schar, die auf h() senkrecht steht. c) Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte S und S y mit den Koordinatenachsen. d) Gibt es einen gemeinsamen Schnittpunkt aller Geraden der Schar? e) Zeichne die in a) und b) ermittelten Geraden in ein Koordinatensystem ein. 9. Gegeben ist die Geradenschar g k : y (k - ) + k; k a) Für welches k verläuft die zugehörige Gerade der Schar durch den Punkt P( I -)? Gib die entsprechende Funktionsgleichung an. b) Bestimme k so, daß die Schargerade parallel zur Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten verläuft. c) Berechne die Nullstelle sowie den Schnittpunkt des Graphen mit der y-achse in Abhängigkeit von k. d) Gibt es einen gemeinsamen Schnittpunkt aller Geraden der Schar? e) Zeichne die ermittelten Ergebnisse in ein Koordinatensystem ein. GM_AU **** Lösungen teilweise vorh. 4 (7)

7 Gymnasium / Realschule Affine (lineare) Funktionen und Funktionenscharen Klassen 9 -. Die Geraden einer Schar haben folgende Eigenschaft: Die Koordinatenachsen und eine Schargerade bestimmen jeweils ein rechtwinkliges Dreieck im ersten Quadranten mit dem Flächeninhalt 8 FE. (FE Flächeneinheiten) a) Bestimme die Scharfunktion f. b) Welche Nullstelle hat f?. Ein Zeichner will die Gerade mit der Gleichung 6 - y + 8 durch die Punkte P ( I 5 ) und P ( I ) ziehen. Liegen die Punkte auf der Geraden?. Gegeben ist das gleichschenklige Dreieck ABC mit A( l ). Die Dreieckshöhe h [AB] liegt auf der Geraden g: y - +,5. Berechne die Koordinaten des Höhenfußpunktes H. (siehe nebenstehende Skizze).. Gegeben sind die Gerade g mit y und der Punkt P ( l 5,5). Der Punkt P ist mit g als Spiegelachse mittels Achsenspiegelung auf P' abzubilden. Berechne die Koordinaten von P'. 4. Die Geraden g AB mit A(-,5 l ) und B( l ) sowie g CD mit C( l -) und D(6 l ) als auch g EF mit E(8 l ) und F( l 9) sind gegeben. Ermittle zeichnerisch und rechnerisch die Punkte S g und T g, deren Verbindungsstrecke [PQ] zu g parallel verläuft und 6 cm lang ist. (im Koordinatensystem: LE cm) 5. Der Neigungswinkel einer Geraden beträgt 6. Auf ihr liegt der Punkt P(-4 l,5). a) Stelle die Funktionsgleichung auf. b) Berechne die Schnittpunkte des Graphen mit den Achsen. c) Wie heißt die Funktion g mit derselben Nullstelle, deren Graph die Steigung m hat? 5 6. Gegeben ist die Funktion f() - + ; D f Durch den Punkt P( l y) von bildet. Wie lautet die Geradengleichung? Gf soll eine Gerade gelegt werden, die mit Gf einen Winkel von 7. Gegeben sind die Punkte A( l ); B(- l -); C(- l ). Gib die Menge aller affinen Funktionen f an, für die gilt Fertige eine Zeichnung an. A G und [ BC] G f θ. f 8. Gegeben sind ein Achsenschnittpunkt N(- I ) einer Geraden und die Entfernung der beiden Achsenschnittpunkte: NT 6. Stelle die Gleichung der Geraden auf und berechne die Koordinaten des zweiten Achsenschnittpunktes. GM_AU **** Lösungen teilweise vorh. 5 (7)

8 Gymnasium / Realschule Affine (lineare) Funktionen und Funktionenscharen Klassen 9 - Scharen affiner Funktionen 9. Gegeben ist die Scharfunktion f t () t I t I; t ; D f t a) Welche Nullstellen haben die Scharfunktionen? b) Für welche Werte von t schneiden sich zwei Schargeraden auf der y-achse? 4. Gegeben ist die Scharfunktion g a () IaI + a; a ; D g a a) Welche Nullstellen hat diese Schar? b) Für welche Werte von a sind zwei Geraden aus der Schar zueinander parallel? 4. Gegeben ist die Scharfunktion h t () - t + t; t ; D h t a) Zeige, dass alle Graphen der Schar eine gemeinsame Nullstelle haben. b) Bestimme den Inhalt der Dreiecksfläche, die von der y-achse und zwei zueinander senkrechten Schargeraden begrenzt ist. c) Für welches t schließt die Schargerade mit der y-achse einen Winkel von ein? 4. Die beiden Achsenschnittpunkte jeder Schargeraden haben die Entfernung. Bestimme die Gleichungen der Geraden. Zeichne einige dieser Geraden. 4. Gegeben ist die Scharfunktion f t+ t + D ; t t ( ) ; f t a) Für welches t ist der Graph parallel zur Winkelhalbierenden des.quadranten? Zeichne den Graphen! b) Für welches t ist der Graph senkrecht zu einer Geraden mit der Gleichung y +? c) Welche Graphen der Schar schließen mit der - Achse einen Winkel von 6 ein? d) Bei welchen t-werten sind die Nullstellen vom Ursprung entfernt? e) Welche Stellen der -Achse sind keine Nullstellen von Schargeraden? f) Bestimme die Entfernung d, die die beiden Achsenschnittpunkte der Geraden zum Parameterwert 5 haben. g) Bestimme die Entfernung der Achsenschnittpunkte einer Schargeraden allgemein. h) Für welches t beträgt die Entfernung der Achsenschnittpunkte genau 4? i) Zeichne die zu t { ; ±,5; ±,5; ± ; ± ; ± 4} gehörenden Graphen. 44. Gegeben sind: f ( ) m+ t ; g( ) a) Bestimme den Schnittpunkt von G f und Gleichung y? b) Vergleiche die Winkel, unter denen G f und c) Wie liegen G f und t ; m m m {; ; } Df D g G. Wo schneiden G f und G g die Gerade mit der g G g die Gerade mit der Gleichung y schneiden. G g und die Gerade mit der Gleichung y zueinander? GM_AU **** Lösungen teilweise vorh. 6 (7)

9 Gymnasium / Realschule Affine (lineare) Funktionen und Funktionenscharen Klassen Gegeben sind die Punkte A(-4 l -); B(4 l -); C(a l 5 a ) Die beiden festen Punkte A, B und der variable (von a abhängige) Punkt C bestimmen ein Dreieck. Ermittle den Winkel γ ACB bei C. 46. Gegeben sind: f( ),75 + ; P(-7 l ); h ( ),75 9,5; Df Dh a) Bestimme den Schnittwinkel von G f mit der -Achse. b) Bestimme die Gleichungen der Geraden, die durch die Achsenpunkte von G f gehen und auf G f senkrecht stehen. c) Bestimme die Gleichung der Geraden g, die durch P geht und auf G f senkrecht steht. d) Bestimme den Schnittpunkt S von G f und f) Welchen Abstand haben G f, Gg und g) Welchen Abstand haben G f und G h? G g. Welchen Abstand haben P und Gh vom Ursprung? h) Unter welchem Winkel schneiden sich die y-achse mit G f? G f? GM_AU **** Lösungen teilweise vorh. 7 (7)

10 Gymnasium / Realschule Quadratische Funktionen Klassen 9 - Parabelgleichung ermitteln. Ermittle die Gleichung der nach oben geöffneten Normalparabel, die durch die Punkte A(-4 ) und B( -) verläuft.. Eine nach oben geöffnete Parabel p liegt symmetrisch zur y-achse und verläuft durch die Punkte P(-4 6) und Q( ). Ermittle ihre Funktionsgleichung.. Die Gleichung einer quadratischen Funktion y a + b + c hat den Scheitel S( 5) und die Formvariable b. Ermittle die Koeffizienten a und c. 4. Eine Parabel mit dem Scheitel S(- 9) enthält den Punkt P(-7 ). Bestimme die Funktionsgleichung. 5. Eine Parabel, deren Scheitelpunkt den -Wert hat, soll durch die Punkte A(- ) und B( -,5) gehen. Stelle die Gleichung dieser Parabel auf. 6. Stelle die Gleichung der quadratischen Funktion auf, deren Graph durch die Punkte P( -), Q( -), R(- ) verläuft. 7. Bestimme die Gleichung einer quadratischen Funktion so, daß deren Graph durch die Punkte A(-,5 ), B(-,5 8) und C(,5 ) verläuft. 8. Bestimme die Gleichung einer quadratischen Funktion, bei der ihr Scheitel S(,5 - ) und der Parabelpunkt P(- ) gegeben sind. 9. Eine Parabel besitzt die Nullstellen N (-7 ) und N ( ). Der Scheitel liegt auf der Geraden y 5. Bestimme die Parabelgleichung.. Eine Parabel mit der Symmetrieachse -5 enthält den Punkt P(-7 -) und Q(- ). Wie lautet die Funktionsgleichung der Parabel?. Eine Parabel der allgemeinen Form y a + b + c besitzt den Scheitelpunkt S(- 4) und eine Nullstelle bei -. a) Wo liegt die zweite Nullstelle der Parabel (Überlegung)? b) Bestimme die Koeffizienten a, b und c der Parabelgleichung.. Bestimme a und b so, daß die zugehörige Parabel y a + b a) den Punkt S(? 4) als Scheitel hat und durch den Punkt P( -) läuft; b) ihren Scheitel auf der Geraden y,5-4 hat und die -Achse bei 4 schneidet; GM_AU **** Lösungen Seiten (GM_LU) ()

11 Scheitelform / Scheitelpunkt ermitteln und Gleichung der Symmetrieachse. Bestimme den Scheitelpunkt S und gib an, ob der Scheitel jeweils der höchste oder der tiefste Punkt der Parabel ist. Wie lautet jeweils die Gleichung der Parabelachse? R a) y + 8 b) y -,5 + + c) y -,5 -, d) y e) +4y - 7 Zerlegung in Linearfaktoren 4. Zerlege, wenn möglich, in Linearfaktoren: a) y b) y c) y -,5 + d) y, ,5 Gespiegelte Parabel 5. Die Parabel y wird a) an der -Achse b) an der y-achse c) an der Geraden y d) an der Geraden e) an der Geraden y gespiegelt. Gib die Gleichung der gespiegelten Parabel an. Nullstellen (Lösungsmenge) ermitteln 6. Berechne die Nullstelle(n) folgender Funktionen: a) f() - b) f() ( - ) - ( -,5) c) f() ( -,75) ( -,75)+ ( -,75) ( -,5) d) f() GM_AU **** Lösungen Seiten (GM_LU) ()

12 Vermischte Aufgaben 7. Gegeben ist die Funktion f() mit D f R Bestimme die Menge aller -Werte, für die bei der Funktion f jeweils folgendes erfüllt ist: a) y b) y - 8. Gegeben ist die Funktion f() a mit D f R; a R Bestimme diejenigen Werte für a, für die die Funktion genau zwei Nullstellen besitzt. 9. Von einer Normalparabel sind die Nullstellen 5 und - gegeben. Weiterhin ist die Geradenschar g t () + t gegeben. a) Bestimme den Funktionsterm f() der Parabel b) Bestimme die Schnittpunkte von f() und g t () in Abhängigkeit vom Parameter t.. Von einer Quadratischen Funktionenschar f q () mit D f R sind der Scheitel ( q) mit q R \ {}, sowie der Punkt A( ) (A f q ()) gegeben. a) Bestimme den Funktionsterm der Schar b) Die Funktionenschar besitzt gemeinsame Punkte. Gib einen dieser Punkte an. c) Bestimme die Nullstellen der Funktionenschar in Abhängigkeit vom Parameter q. GM_AU **** Lösungen Seiten (GM_LU) ()

13 Gymnasium / Realschule Die Betragsfunktion (affine Funktion) Klasse Stelle folgende Funktionen ohne Betragsstriche dar und zeichne den Graph der Funktionen für [-4; 4]:. f() mit D f R. f() - mit D f R. f() - mit D f R 4. f(),5 + mit D f R 5. f() ( ) II + mit D f R \ {} 6. f() II mit D f R \ {} 7. f(),5 - mit D f R 8. f() mit D f R GM_AU6 **** Lösungen Seiten (GM_LU6) ()

14 Gymnasium / Realschule Nullstellen von Funktionen Klassen 9 - Bestimme die Nullstelle(n) folgender Funktionen:. f() ( - 4) mit R. f() mit R. f() 6 5 mit [; 5] 4. f() - 8 mit R 5. f() ( - )( - ) mit R 6. f() - 9 mit R 7. f() 5 7 mit [5; + ] 8. f() mit R Bestimme die Nullstellen und ihre Vielfachheit: 9. f() ( + ) mit R. f() ( + ) mit R. f() ( - )( + ) mit R. f() + - mit R. f() mit R 4. f() 6 ( ) mit R 5. f() mit R (eine Nullstelle durch Probieren ermitteln) 6. f() mit R (eine Nullstelle durch Probieren ermitteln) GM_AU7 **** Lösungen 4 Seiten (GM_LU7) ()

15 Gymnasium Rationale Funktionen Klasse Bestimme von folgenden Funktionen die maimale Definitionsmenge, die Nullstellen und Unendlichkeitsstellen (Pole), sowie Definitionslücken und Symmetrieeigenschaften (falls vorhanden). Skizziere den wesentlichen Verlauf der Graphen. ) ) ) + 4) 5) 6) 7) ( )( + ) + ( + 4)( ) 8) ( + ) 9) ( + 4)( ) ( + 5) 9 ) 4 4 ) ) + + ) 4) 5) + + 6) + 7) 8) 4 ( + ) 9) + 4 ) ) ) ) + + 4) + ( )( )( ) 5) ) + + 7) ) ) GM_AU **** Lösungen 5 Seiten (GM_LU)

16 Gymnasium Grenzwerte von Funktionen für ± Klasse Bestimme mit Hilfe der Grenzwertsätze die folgenden Grenzwerte; es liegt jeweils der Definitionsbereich des Terms zugrunde:. lim,5. lim. lim 4. lim 5. lim 6. lim ( ) 5 7. lim π 8. lim 5 9. lim. lim + +. lim lim 7 + GM_AU **** Lösungen 8 Seiten (GM_LU) (7)

17 Gymnasium Grenzwerte von Funktionen für ± Klasse +. lim 4. lim ( + )( 7 6 ) lim lim lim lim + 9. lim +. lim lim GM_AU **** Lösungen 8 Seiten (GM_LU) (7)

18 Gymnasium Grenzwerte von Funktionen für ± Klasse. lim lim. lim,8 lim,8,6. lim 8,6 4. lim 5. lim 6. lim lim + 8. lim lim GM_AU **** Lösungen 8 Seiten (GM_LU) (7)

19 Gymnasium Grenzwerte von Funktionen für ± Klasse. + lim +. lim. lim lim 4. lim lim lim cos( π) 7. lim sin lim + sin GM_AU **** Lösungen 8 Seiten (GM_LU) 4 (7)

20 9. lim ( sin + cos ) Gymnasium Grenzwerte von Funktionen für ± Klasse sin 4. lim 4. cos lim sin 4. lim 4. lim sin cos 44. lim 45. lim + sin + sin 46. lim 47. lim + sin GM_AU **** Lösungen 8 Seiten (GM_LU) 5 (7)

21 Gymnasium Grenzwerte von Funktionen für ± Klasse 48. lim cos lim + cos 5. lim cos 4 + (sin ) 5. lim 5 5. lim + sin cos 5. lim 54. lim + GM_AU **** Lösungen 8 Seiten (GM_LU) 6 (7)

22 Gymnasium Grenzwerte von Funktionen für ± Klasse Nicht eistierende Grenzwerte (unbestimmte Divergenz) 6. lim sin ± 6. lim cos ± 6. lim sin ± 6. lim ( sin ) ± 64. lim ( sin) 65. lim ( sin) 66. ( cos ) lim 67. lim + sin 68. lim + cos lim cos 7. lim 4 cos 4 7. sin lim sin + GM_AU **** Lösungen 8 Seiten (GM_LU) 7 (7)

23 Grenzwerte f () (h-methode); Ableitung f (a) Bestimme f () durch Grenzwertrechnung nach der h-methode :. f(). f() -. f() a 4. f() m + t 5. f() 5 6. f() -,5 7. f() + 8. f() a + b 9. f() +. f() 4. f() f() a + b + c. f() 4. f() - 5. f() f() + f ( + h) f( ) f '( ) lim h h 7. f() 8. f() a 9. f(). f() sin + Berechne f ():. f() f(),5 5. f() - sin + cos Berechne f (): 4. f() 5. 4 f() 6. f() + + GM_AU9 **** Lösungen 6 Seiten (GM_LU9) ()

24 Gymnasium Funktionen, vermischte Aufgaben Klasse. Berechne die Scheitelkoordinaten und skizziere jeweils die Parabel mit der Gleichung a) f() b) f() - + c) f(),5 + + d) f() -, Zeige: Die Parabel mit der Gleichung y a + b + c hat die Scheitelkoordinaten b b S ; ys c ( a ) a 4a. Wie lautet die Gleichung der Tangente im Punkt P des Graphen von a) f : y + ( ) ; R, P(/?) b) f : y ; R /{}, P( /?) c) f : y ; R +, P(/?) 4. a) Wie lautet die Gleichung der Normalen im Punkt P(/?) des Graphen der Funktion f : y,? b) Gegeben ist die Funktion f : y ; R. Welchen Flächeninhalt hat das Dreieck, das die Normale im Punkt P(/?) des Graphen mit beiden Koordinatenachsen einschließt? LE cm 5. Zeichne den Graphen der Funktion f : y + cos in [ ; π ]! In welchen Kurvenpunkten ergeben sich waagerechte Tangenten? In welchen Punkten ist der Graph relativ zur Umgebung am steilsten? Die Antworten sind mit Hilfe der Ableitungsfunktion f, deren Graph ebenfalls gezeichnet werden soll, zu begründen. 6. In welchen Punkten des Graphen von f : y + + ; Df R schließt die Tangente mit der -Achse einen Winkel von 45 ein? Wie kann man ohne Zeichnung erkennen, dass es keine Tangenten gibt, die mit der -Achse einen negativen Winkel einschließen? 7. Man bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f : y + durch den Kurvenpunkt P(/?). Hat die Tangente mit G f noch einen Schnittpunkt gemeinsam? Entscheide die Frage durch probierendes Einsetzen! Zeichne sodann Graph und Tangente in einem geeigneten Intervall, das den Ursprung enthält! GM_AU4 **** Lösungen Seiten (GM_LU4) ()

25 Gymnasium Funktionen, vermischte Aufgaben Klasse 8. a) Wo und unter welchem Winkel schneiden sich die Kurven mit den Gleichungen y und y + 7? Wie lauten die Tangentengleichungen in den Schnittpunkten? b) Welchen Punkt haben die Graphen von f : y cos+ sin und g: y sin cos in [ ; π ] gemeinsam? Man berechne den Schnittwinkel in diesem Punkt! 9. Durch die Gleichung y a + ; R mit dem Parameter a ist eine a Parabelschar gegeben. Wie lautet die Gleichung des geometrischen Ortes für die Scheitel aller Parabeln?. Zur Schar der Funktionen fk ( ) k+ 4k 4k mit k R als Scharparameter gehört eine Schar von Graphen G f. Wie lautet die Gleichung des geometrischen k Ortes aller Punkte B k, in denen die Graphen die Steigung haben? Zeige, dass diese Kurve zur Graphenschar G gehört! fk k. Betrachtet wird die Schar der Funktionen fk ( ) + mit k > als Scharparameter und D f k R /{ }. a) Ermittle den Ableitungsterm f k () durch Grenzwertrechnung! b) Wie lautet die Gleichung des geometrischen Ortes aller Punkte der Graphenschar mit waagerechter Tangente?. Welcher Bedingung müssen die Koeffizienten des Terms f() a + b + c + d genügen, damit der Graph der Funktion f( ), Df R keine waagerechten Tangenten hat?. Zeige, dass sich die Graphen der Funktionen f : y + + ; R und g: y a,5+ ; R im Punkt S(;?) für jeden Wert a orthogonal (rechtwinklig) schneiden. Deute insbesondere den Fall a! 4. Gegeben ist die Schar von Funktionen fa : y a +, wobei der Scharparameter a eine beliebige reelle Zahl vertritt. a) Für welche Belegung von a geht die Tangente in P(;?) G durch den Ursprung f a des Koordinatensystems? b) Wie lautet die Gleichung der Normalen durch P für beliebige Werte von a? GM_AU4 **** Lösungen Seiten (GM_LU4) ()

26 Gymnasium Funktionen, vermischte Aufgaben Klasse 5. Gegeben ist die Schar von Funktionen zugehörigen Graphen G k, k R. f f k mit R und den k : k( ) a) Zeichne G und G mit LE cm! b) Zeige rechnerisch, dass sich alle Graphen G k in genau einem Punkt schneiden! c) Berechne allgemein die Abszissen der Schnittpunkte der Graphen G k mit dem Graphen G p der Funktion p: y ; R und trage G p in das bereits vorliegende Koordinatensystem ein! d) Zeige, dass alle Graphen G k den Graphen G p rechtwinklig schneiden! 6. Zu untersuchen ist die Schar von Funktionen fk : fk( ) k mit k R und den zugehörigen Graphen G k. a) Bestimme die Nullstellen von f k (Fallunterscheidung!) und zeichne die zu k und k - gehörigen Graphen G und G -! LE cm b) Wie muss k gewählt werden, damit der Graph G k an der Stelle einen Knick um 9 erfährt? c) Bestimme rechnerisch in Abhängigkeit von k die Anzahl der Punkte, die der Graph G k mit der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten gemeinsam hat! GM_AU4 **** Lösungen Seiten (GM_LU4) ()

27 Gymnasium Tangenten an Funktionsgraphen (Differenzialrechnung) Klasse / Aufgaben ab Seite 4 Grundlagen und Begriffe der Differenzialrechnung Die Zeichnungen und Erklärungen sind etwas ausführlicher als notwendig um verschiedene Schreibweisen und Darstellungen aufzuzeigen. Steigung einer Geraden: Es seien P( y ) und ( ) P y zwei Punkte der Geraden g mit. y y Dann gilt für die Steigung m: m Der Steigungswinkel ist: m tanα Differenzenquotient: Ist der Funktionsgraph eine Gerade, so ist ihre Steigung in jedem beliebigen Punkt P( y ) durch den Faktor m festgelegt. Der Quotient aus der Differenz der y - Werte und der - Werte bezüglich der Stelle nennt man Differenzenquotient: y y y f() f( ) m y Der Begriff des Differenzenquotienten ist nicht nur bei Geraden definiert, sondern wird auch bei gekrümmten Graphen angewendet. Diese Verallgemeinerung des Steigungsbegriffs ist in nebenstehender Skizze dargestellt. Die Sekante durch P und P ist die bereits bekannte Gerade. Die Steigung aller Sekanten durch P( y ) entspricht jeweils dem Differenzenquotienten bezüglich der Stelle. GM_AU6 **** Lösungen 6 Seiten (GM_LU6) (5)

28 Gymnasium Tangenten an Funktionsgraphen (Differenzialrechnung) Klasse / Die Gleichung des Differenzenquotienten läßt sich auch wie folgt schreiben: Differenzenquotient: y y y f( + ) f( ) Nebenbei bemerkt: Die Sekantensteigung ist identisch mit der Geradensteigung: m S y tanα Differenzialquotient oder. Ableitung oder Steigung der Tangente Wird für den Abstand zur Vereinfachung die Variable h eingesetzt, dann hat der Differenzenquotient folgende Form: y f( + h) f( ) h Verringert man nun - gedanklich - den Abstand h( ) so daß dieser den Wert Null annimmt (man schreibt auch ), so erhält man den Grenzwert des Differenzenquotienten. Dieser Grenzwert heißt Differenzialquotient oder f( + h) f( ) h f '( ) lim mit h > h f() f( ) f'( ) lim mit Der Differenzialquotient ist zugleich die Steigung P y der Tangente im Punkt ( ) f( + h) f( ) α h m T f '( ) lim tan h GM_AU6 **** Lösungen 6 Seiten (GM_LU6) (5)

29 Gymnasium Tangenten an Funktionsgraphen (Differenzialrechnung) Klasse / Definitionen: Der Grenzwert des Differenzenquotienten heißt Differentialquotient oder. Ableitung der Funktion f an der Stelle und wird mit f '( ) bezeichnet. Sonstiges: Die Ableitung f '( ) der Funktion f an der Stelle ist die Steigung des Graphen im Punkt P( y ). Für den Neigungswinkel α der Tangente in diesem Punkt gilt: tanα f '( ) G f Es könnte sein, daß es in P keine eindeutige Tangente an den Graphen gib. Ein Beispiel ist in der Skizze rechts dargestellt. In diesem Fall eistiert auch kein Grenzwert. Für den Fall, daß die Tangente senkrecht verläuft (siehe nebenstehende Skizze), ist die Steigung der Tangente nicht definiert. Auch in diesem Fall eistiert kein Grenzwert. Formeln: Nachfolgende Formeln sind hier nur der Vollständigkeit angegeben. In den Lösungen zu den Aufgaben werden sie nicht verwendet. Gleichung der Tangente von y f'()( ) + f() G f an der Stelle : G f Gleichung der Normale von G f an der Stelle : y ( ) + f( ) falls f '( ) f'( ) GM_AU6 **** Lösungen 6 Seiten (GM_LU6) (5)

30 Gymnasium Tangenten an Funktionsgraphen (Differenzialrechnung) Klasse / Aufgaben. Bestimme jeweils den Neigungswinkel der Tangente an die Parabel folgenden Kurvenpunkten ( Dezimalstellen): a) R,8? ( ) b) S(?) c) T? ( ) y 4 in den. Gegeben ist die Parabel y,5. Berechne die Koordinaten der Berührpunkte von Tangenten die folgende Neigungswinkel haben ( Dezimalstellen): a) 6 b) 54, c),. Bestimme die Gleichung der Tangente an die Parabel a) parallel ist zur Geraden g: + y. y, die b) zur Geraden h: y + 6 orthogonal angeordnet ist. 4. Gegeben sei die Funktion f durch die Gleichung f() + 6 5, a) Bestimme die Gleichung der Tangente t an den Graphen von f im Punkt P ( 4. ) b) Bestimme die Gleichung der Tangente t und der Normalen an den Graphen von f im Punkt Q ( ). c) Bestimme den Schnittwinkel der Tangenten t und t. 5. Bestimme die Tangenten an die Parabel schneiden., die sich im Punkt S ( 4,5) y 6. Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion A. im Berührpunkt ( ) f: Die Tangente bildet mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Berechne die Fläche des Dreiecks. 7. Die Tangente an den Graphen der Funktion f: R schneidet den Graphen im Punkt Q. Berechne die Gleichung der Tangente sowie die Koordinaten das Schnittpunktes Q. im Berührpunkt ( ) 8. Bestimme für den Graphen der Funktion f: +, a) den Neigungswinkel der Tangente im Punkt ( ) B 4?. b) die Koordinaten jenes Kurvenpunktes P, für den die Tangente an f unter 6 gegen die - Achse geneigt ist. GM_AU6 **** Lösungen 6 Seiten (GM_LU6) 4 (5)

31 Gymnasium Tangenten an Funktionsgraphen (Differenzialrechnung) Klasse / 9. In welchen Punkten des Graphen mit der Gleichung parallel zur Geraden g :,5 y? f: y sind die Tangenten +. Bestimme im Schnittpunkt der beiden Graphen mit den Gleichungen y ; und y die Tangenten t und t (an den jeweiligen Graph).. Berechne den Neigungswinkel ϕ gegen die - Achse der Tangente im Punkt P? ( ) an die Sinuskurve mit der Gleichung y sin.. Die Graphen der Funktionen f: sin; [,5;] und g: cos; [,5; ] schneiden sich im Punkt S. Bestimme jeweils den spitzen Winkel den die beiden Tangenten im Punkt S mit der der - Achse bilden.. Bestimme die beiden waagerechten Tangenten am Graph der Funktion h: + sin; D ; π f [ ] 4. Wie lautet die Gleichung der Tangente im Punkt P(?) des Graphen von ( ) f:,5 +? 5. An den Parabelbogen ( ) y,4,5 soll vom Punkt ( ) R 5 ausgehend eine Tangente so gelegt werden, daß ihre Steigung einen negativen Wert einnimmt. Bestimme die Gleichung der Tangente und die Koordinaten des Berührpunktes B. 6. In welchen Punkten des Graphen von f: + + ; Df schließt die Tangente mit der - Achse einen Winkel von 45 ein? Wie ist ohne Zeichnung erkennbar, daß es keine Tangenten gibt, die mit der - Achse einen negativen Winkel einschließen? 7. Berechne den Schnittwinkel der Graphen folgender Funktionen: + f: 8 ; und g:,5 ; + GM_AU6 **** Lösungen 6 Seiten (GM_LU6) 5 (5)

32 Gymnasium Analysis - Übungen Klasse / Teil Autor: Dr. Georg Elsting. Geben Sie ein Beispiel von einer gebrochen - rationalen Funktion mit als einfache Nullstelle und - 4,, als einfache Polstellen. Skizzieren Sie den Graphen.. Nennen Sie ein Beispiel von einer gebrochen- rationalen Funktion mit - als einfache Nullstelle, - als doppelte Polstelle und mit der - Achse als eine Asymptote. Skizzieren Sie den Graphen.. Untersuchen Sie mithilfe der Ableitungsfunktionen folgende Funktionen auf Monotonie und Etrema: a) f(), ( ) -e b) e f() e - e 4. Beweisen Sie, dass die Funktion differenzierbar ist. f() - 4 an der Stelle nicht 5. Berechnen Sie mit dem Newton-Verfahren annähernd den Wert als Nullstelle der Funktion Untersuchen Sie die Funktion Intervall Ø - p ; pø Œº œß. cos - cos + f() e -,5 auf globale Etrema im 7. Geben Sie ein Beispiel für eine ganzrationale Funktion f(), die an den Stellen, lokale Minima und an den Stellen, 4 lokale Maima hat. 8. Untersuchen Sie den Graphen der Funktion f() + + a auf Terrassenpunkte. GM_AU6 **** Lösungen siehe (GM_LU6_, _, _, _4) (4)

33 Gymnasium Analysis - Übungen Klasse / Teil 9. Geben Sie ein Beispiel von einer gebrochen - rationalen Funktion mit als Nullstelle, mit -,5 als Polstelle ohne Vorzeichenwechsel und mit,5, als Polstellen mit Vorzeichenwechsel. Skizzieren Sie den Graphen.. Geben Sie ein Beispiel von einer gebrochen - rationalen Funktion mit y - + als eine schräge Asymptote und mit der y- Achse und den Geraden -, als senkrechte Asymptoten. Skizzieren Sie den Graphen.. Untersuchen Sie mithilfe der Ableitungsfunktionen folgende Funktionen auf Monotonie und Etrema: a) b) f(),5 + cos f() e. Beweisen Sie, dass die Funktion f() sin an der Stelle nicht differenzierbar ist.. Berechnen Sie mit dem Newton-Verfahren annähernd den Wert 4 als Nullstelle der Funktion Untersuchen Sie die Funktion Intervall [ ; ] f() auf globale Etrema im Finden Sie Stammfunktionen für den Sinus hyperbolikus - f() e + e Cosinus hyperbolikus. f() e -e - und für den 6. Beweisen Sie, dass die Funktion Nullstellen hat. 5 f(), - + a für keine reelle a fünf GM_AU6 **** Lösungen siehe (GM_LU6_, _, _, _4) (4)

34 Gymnasium Analysis - Übungen Klasse / Teil 7. Geben Sie ein Beispiel von einer Funktion die als Nullstelle,,5 als Polstellen mit Vorzeichenwechsel und keine weiteren Null- und Polstellen hat und dabei keine gebrochen - rationale Funktion ist. Skizzieren Sie den Graphen. 8. Geben Sie ein Beispiel von einer im Intervall [; [ definierten Funktion, deren Term eine tan() Funktion enthält, und deren Graph die Gerade y als eine schräge Asymptote hat. Skizzieren Sie den Graphen. 9. Untersuchen Sie mithilfe der Ableitungsfunktionen folgende Funktionen auf Monotonie und Etrema: f() - ln + 64, >-,5 a) ( ) b) f() Gegeben ist, dass die überall differenzierbare Funktion y f () auf der ganzen Zahlengeraden gerade ist, d. h., dass f( - ) f() für ein beliebiges. Beweisen Sie, dass die für die Ableitung f'() gilt f '(- ) - f '() für ein beliebiges. (D. h., dass die Ableitung y f '() eine ungerade Funktion ist.) -. Beweisen Sie, dass die Gleichung e -, eine einzige Nullstelle hat und berechnen Sie diese mit dem Newton - Verfahren und mit dem Startwert.. Untersuchen Sie die Funktion Intervall Ø ; pø Œº œß. f() cos + Ł ł auf globale Etrema im. Beweisen Sie mithilfe des Monotonieverhaltens, dass beliebiges. 4 cos für ein 4. Beweisen Sie, dass für die Funktion f '() - cos f() + sin. - sin f() e sin + - gilt: GM_AU6 **** Lösungen siehe (GM_LU6_, _, _, _4) (4)

35 Gymnasium Analysis - Übungen Klasse / Teil 4 5. a) Geben Sie ein Beispiel von einer gebrochen-rationalen Funktion mit Polstellen mit Vorzeichenwechsel bei k+ und mit Polstellen ohne Vorzeichenwechsel bei k, k,,,..., n. Skizzieren Sie den Graphen für n. b) Geben Sie ein Beispiel von einer (nicht gebrochen- rationalen) Funktion mit Polstellen ohne Vorzeichenwechsel bei k,k. 6. Für welches a und b gibt es einen Punkt P, wo die Graphen der Funktionen f() cos und ( -a) g() + + b eine gemeinsame Tangente haben? 7. Untersuchen Sie mithilfe der Ableitungsfunktionen folgende Funktionen auf Monotonie und Etrema: a) ( -) f() + 4( -) 4, b) f() tan- 4, p + kp, k 8. Bei welchem a hat die Funktion Terrassenpunkte? f() cos+ a Etremstellen? Deren Graph 9. Beweisen Sie, dass die Gleichung eine einzige Nullstelle im Intervall ; hat und berechnen Sie die mit dem Newton-Verfahren mit dem Startwert. [ ]. Untersuchen Sie die Funktion Intervall [ ;p ]. f() cos - sin + auf globale Etrema im. Beweisen Sie mithilfe des Monotonieverhaltens, dass die ganzrationale Funktion 9 8 f() + -,8 -, genau eine positive Nullstelle hat.. Beweisen Sie, dass für die Funktion f() gilt: ( ) f'() + 4 f() 6,. GM_AU6 **** Lösungen siehe (GM_LU6_, _, _, _4) 4 (4)

36 Realschule Parabeln - Grundlagenaufgaben Klasse 9 oder. Die Parabel y wird durch die angegebenen Vektoren parallel verschoben. Wie lautet die Gleichung der verschobenen Parabel? a) 5 b) c) 7 d) ; ; 4 5. Gib die Koordinaten der Scheitel folgender Parabel an. Bringe dazu die Funktionsgleichung auf die Scheitelform. Gib auch die Gleichung der Symmetrieachse an. a) d) y + b) y 8 e) y c) y + 5 +,5 y + 4. Bestimme die Gleichung der Normalparabel mit den folgenden Scheitelpunktskoordinaten und Öffnung der Parabel nach oben bzw. unten. Gib die Funktionsgleichung jeweils in Normalform an. a) S ( 6) b) S ( 4 5), Graph nach unten geöffnet,, Graph nach oben geöffnet, c) S 5 6, Graph nach unten geöffnet, 4. Eine nach oben geöffnete Normalparabel hat ihren Scheitel auf der y - Achse und verläuft durch den angegebenen Punkt P. Bestimme jeweils die Gleichung der Parabel. a) P (,5) b) P ( 4 6 ) c) P ( 5) 5. Parabeln der Form y a verlaufen durch die angegebenen Punkte. Gib den Wert der Variablen a an. a) P(,5,5 ) b) Q( 9) c) R Ermittle die Scheitelkoordinaten folgender Parabeln durch quadratische Ergänzung. a) y b) y + 4 c) y 4 5 d) y 9 e) y a b + c 7. Gib die Definitions- und die Wertemenge folgender Funktionen an. Bestimme jeweils die Gleichung der Symmetrieachse des Graphen. a) b) c) y, ,5 y y,5,5 +,75 RM_AU48 **** Lösungen Seiten (RM_LU48) (4)

37 Realschule Parabeln - Grundlagenaufgaben Klasse 9 oder 8. Die Parabeln mit den folgenden Gleichungen sollen mit dem angegebenen Vektor parallel verschoben werden. Gib jeweils die Gleichung der Bildparabel an. a) b) c) 5 p : y,8 ; 6 4 p : y ;,5 p : y ; 9. Parabeln der Form y a + b + c verlaufen durch die Punkte A und B und haben den Scheitel S. Bestimme die Werte der Variablen a, b und c. a) a ; S( 4 ) b) a ; b c; A ( 4 ) c) a ; A ( 6 ); B( ). Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte A, B und C auf dem Graphen der Parabel y +,5 liegen. a) A ( ) b) B,5 c) C, 5. Überprüfe, ob gilt A p. a) p : y,5 4 4; A ( ) b) p : y + + 5; A ( ) c) p : y,5 5; A ( 7 75) RM_AU48 **** Lösungen Seiten (RM_LU48) (4)

38 Realschule Parabeln - Grundlagenaufgaben Klasse 9 oder. Gegeben ist die Parabel p mit der Gleichung y a) Bestimme rechnerisch den Scheitel, die Wertemenge und die Gleichung der Symmetrieachse. b) Zeichne die Parabel in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: 7 ; y c) Die Punkte A ( 4) und B( 6 9) Eckpunkte von Dreiecken sind zusammen mit den Punkten Cn ABC n. Zeichne das Dreieck ABC für 5. d) Entnimm der Zeichnung, für welche Werte von Dreiecke ABC n entstehen können und gib diese Werte (Intervall) an. e) Berechne den Flächeninhalt A() der Dreiecke ABC n in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte C n. f) Für welchen - Wert ist der Flächeninhalt maimal? Gib diesen Wert A ma an. p. Die Parabel p hat die Gleichung y mit G R R. a) Berechne die Koordinaten des Scheitelpunktes S von der Parabel p und zeichne sodann den Graph von p in ein Koordinatensystem. b) Die Punkte C ( n ) Punkten A ( ) auf der Parabel p bilden zusammen mit den Dreiecke ABC n. Zeichne die Dreiecke ABC für und ABC für in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: 5; 5 y 4. und B( 4) c) Zeige durch Rechnung, dass sich der Flächeninhalt A() der Dreiecke ABC n in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte C n wie folgt darstellen lässt: ( ) A(),5 + FE d) Das Dreieck ABC hat den kleinsten Flächeninhalt möglichen Flächeninhalt der Dreiecke A min. Berechne den kleinst- C. ABC n und die Koordinaten von RM_AU48 **** Lösungen Seiten (RM_LU48) (4)

39 Realschule Parabeln - Grundlagenaufgaben Klasse 9 oder 4. Gegeben ist die Normalparabel p. Die Symmetrieachse s dieser Parabel hat die Gleichung 4 P liegt auf der Normalparabel p.. Der Punkt ( ) a) Bestimme rechnerisch die Scheitelform der Parabel p und zeige anschließend, dass sich die Parabel durch die Gleichung y darstellen lässt. b) Die Punkte R ( n 8 4) Punkten P( ) + + auf der Parabel p bilden zusammen mit den und Q( 7 7) Dreiecke PQR n. Zeichne die Parabel p und das Dreieck PQR für 5 in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: 8 ; y 8 c) Entnimm der Zeichnung, für welche Werte von Dreiecke PQR n entstehen können und gib diesen Bereich an. d) Zeige durch Rechnung, dass sich der Flächeninhalt A() der Dreiecke PQR n in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte R n wie folgt darstellen lässt: ( ) A(),5,5 5 FE e) Das Dreieck PQR hat den größten Flächeninhalt möglichen Flächeninhalt der Dreiecke A ma. Berechne den größt- R. RQR n und die Koordinaten von RM_AU48 **** Lösungen Seiten (RM_LU48) 4 (4)