Dr. Günter Rothmeier Kein Anspruch auf Vollständigkeit Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit. Wertemenge: \W =IR

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1 WS 8/9 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit. Funktionen.. Die quadratische Funktion... Die quadratische Grundfunktion Wir betrachten die Gleichung = als Funktionsgleichung und bezeichnen die dadurch festgelegte Paarmenge {( ) = } als quadratische Grundfunktion. Definitionsmenge D = IR Wertemenge: \W =IR I +... Graph der quadratischen Grundfunktion Wir zeichnen den Graphen der Grundfunktion mit Hilfe der Wertetabelle punktweise in G I = Z QI. + Durch Erweiterung auf G I = IR IR erhalten wir nebenstehendes Bild. Den Graphen der quadratischen Funktion mit der Gleichung = nennen wir Grundparabel p. Der Punkt, in dem die Funktion ihr Minimum annimmt, heißt Scheitel(punkt). Die -Achse ist Smmetrieachse: f ( ) = f(). Die Grundparabel ist nach oben geöffnet. Sie ist nach links und rechts unbegrenzt. Man kann immer nur einen Ausschnitt zeichnen. Allgemein gilt: P ( ) ist für jedes IR ein Punkt der Grundparabel. 4 3 a) Parabel als Kegelschnitt Der Schnitt eines Kegels (Doppelkegels) mit einer Ebene E ist genau dann eine Parabel, wenn die zur E- E E bene E parallele Ebene E durch die Spitze des Kegels eine Erzeugende mit dem Kegel gemeinsam hat. b) Parabel als geometrischer Ort eine Parabel ist die Menge aller Punkte P, für welche die Entfernung von einem festen Punkt F (Brennpunkt) ebenso groß ist wie ihr Abstand von einer festen Geraden g (Leitlinie). c) Gleichung der Parabel Es gilt: PF = PQ und OB = OF = f Für einen beliebigen Punkt P ( ) gilt nach Pthagoras im FHP: ( + f) = + ( f) = 4f H..3. Scheitelgleichung Wir verschieben die Grundparabel p mit der Gleichung = S mit dem Vektor v = OS=. S Eine solche verschobene Grundparabel bezeichnen wir als nach oben geöffnete Normalparabel. Die Parallele zur - Achse durch ihren Scheitelpunkt ist Smmetrieachse. v P ( ) P ( ) v p p Wir finden zu einem beliebigen Punkt P p den zugehörigen Bildpunkt P p folgendermaßen: p P P = P v P S S p P S

2 + S + S Universität Regensburg WS 8/9 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit Verschiebung von P: Wegen P p gilt = : OP' = OP v S OP' = S ' + S = ' + S In Koordinatenschreibweise erhält man das Gleichungssstem: I = + S II = + S Dies ist die Parameterdarstellung der Bildparabel p. Durch Elimination des Parameters erhält man die parameterfreie Gleichung der Bildparabel. Aus I folgt: = s In II eingesetzt: = ( s ) + S Diese Überlegungen gelten für beliebige Paare (Urpunkt Bildpunkt). Demnach erfüllen die Koordinaten aller Punkte P der Bildparabel p auch die Gleichung = ( s ) + s. Sie heißt Scheitelpunktsgleichung der Normalparabel...4. Funktionen mit der Gleichung = a Der Faktor a bestimmt die Form der Parabel. a > : Die Parabel ist nach oben geöffnet. a =,5 a = a = 3 a = a < : Die Parabel ist nach unten geöffnet. a =,5 a > : Streckung der Grundparabel in -Richtung a < : Stauchung der Grundparabel in -Richtung Nimmt man eine Verschiebung der Parabel hinzu, so erhält man die allgemeine Form der Gleichung einer Parabel: a =,5 = a + b + c a =,5 Um Parabeln mit der Gleichung = a zu skizzieren, kann man zuerst mit einer Parabelschablone den Graph der Grundfunktion zeichnen. Man findet Punkte der gesuchten Parabel, indem man die -Werte von Punkten der Grundparabel entsprechend dem Faktor a staucht oder streckt. a = a = 3 p p* a = = S

3 WS 8/9 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit..5. Berechnen der Scheitelpunktskoordinaten Aus der allgemeinen Form der Gleichung einer quadratischen Funktion kann die Scheitelpunktsform ermittelt werden. Wir klammern dazu den Faktor a aus und ergänzen quadratisch. = a + b + c = a [ + b a ] + c = a [ + b a + b b a ] + c a = a [( + b a ) b 4a ] + c = a ( + b a ) + c Parabelgleichung: = a + b + c Scheitelpunkt S ( b a c b 4a )..6. Etremwerte quadratischer Terme Quadratische Terme der Form T() = a + b + c besitzen für a immer einen Scheitelpunkt. Den Funktionswert eines Scheitelpunktes nennt man auch Etremwert. b 4a Für a > ist der zum Term T() gehörende Graph eine nach oben geöffnete Parabel. Ihr Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt, seine -Koordinate also das Minimum von T(). Für a < ist der zum Term T() gehörende Graph eine nach unten geöffnete Parabel. Ihr Scheitelpunkt ist der höchste Punkt, seine -Koordinate also das Maimum von T(). Mai- Minimum..7. Trägergraph von Punkten mit besonderen Eigenschaften Bewegt sich ein Punkt P ( ) auf der Parabel p mit der Gleichung =,5 ( ) + 3, so bewegt sich der Mittelpunkt M ( M M ) der Verbindungsstrecke [OP] auch auf einer Kurve p, dem Trägergraphen der Punkte M. Wir bestimmen seine Gleichung. Vektorgleichung: OM MP = OP OM OM = OP = M M M M,5 ( ) + 3 Koordinatengleichungen I M + M = II M + M =,5 ( ) + 3 Aus I: = M Eingesetzt in II: M =,5 ( M ) + 3 M =,5 4 ( M ) + 3 M = ( M ) +,5 Gleichung des Trägergraphen: = ( ) +,5 p P 3 M 3 M P M p P

4 WS 8/9 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit..8. Quadratwurzelfunktion Wir betrachten in der Definitionsmenge DI = IR den Graphen der quadratischen Grundfunktion mit =. Man erkennt, dass die Funktion umkehrbar ist, da zu jedem -Wert nur ein -Wert gehört. Die Umkehrfunktion bezeichnet man als Quadratwurzelfunktion. + P (3 9) f w ;3 Durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden w ;3 des I. und III. Quadranten erhält man ihren Graphen. Dies entspricht algebraisch einer Vertauschung der Variablen und. Durch Umformung von = erhalten wir die Gleichung von f : f P (9 3) f: = mit = > Vertauschen der Variablen: f : = mit = > Auflösen nach : = = wegen = > = mit DI f = + IR

5 WS 8/9 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit..9. Übung: Die quadratische Funktion Aufgabe. Die Punkte P (3 ) und Q ( 3) liegen auf einer nach unten geöffneten Normalparabel p.. Bestimme die Gleichung von p, berechne die Koordinaten des Scheitelpunkts S und zeichne p.. Auf der Parabel p bewegen sich Punkte B n ( + + 3) und C n. Sie sind Eckpunkte von Parallelogrammen AB n C n D n mit A ( ). Die Abszisse der Punkte C n ist jeweils um kleiner als die der Punkte B n. Zeichne die Parallelogramme AB C D für = und AB C D für =,5 ein. Gib die Koordinaten der Punkte B, C, D und B, C D an..3 Bestimme die Koordinaten der Punkte C n in Abhängigkeit von. [Ergebnis: C n ( + 6 5)].4 Berechne den Flächeninhalt der Parallelogramme AB n C n D n in Abhängigkeit von. [Ergebnis: A() = ( + 4) FE].5 Ermittle so, dass das zugehörige Parallelogramm AB C D einen möglichst kleinen Flächeninhalt hat. Wie lauten die Koordinaten der Punkte B, C und D? Zeichne..6 Weise nach, dass alle Punkte D n auf der -Achse liegen..7 Auf welchem Trägergraphen liegen die Mittelpunkte M n der Parallelogramme AB n C n D n?

6 WS 8/9 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit Lösung: 4. P p: I = 3 + p 3 + q Q p: II 3 = + p + q C C I II: 3 = 5 + p p = q = 3 C = D B p: = = ( ) + 4 S ( 4) D B 4. vgl. Zeichnung B = : B = B = 3 B ( 3) C = : C = 3 C ( 3) Wegen Smmetrie: D ( ) D A B B =,5: B = 6, B =,75 B (,5,75) C =,5: C = 3,75 C (,5 3,75) OD = OA BC OD =, 5, 5 ( 3,75,75) D ( ) 4.3 Cn = Cn = ( ) + ( ) + 3 Cn = C ( + 6 5) 4.4 BA n = = BC n n = = A() = FE = ( + 4) FE A() = [ ( 3) + 6] FE A min = 6 FE für = 3 B (3 ) C ( 4) D ( 3) 4.6 ODn = OA BnCn OD = n 4 8 OD = n D n ( 4 9) Trägergraph der Punkte D n : = 4 9 Z= A; k=,5 4.7 M n = M[ ACn ] C n p p p M n p I z = k ( z ) =,5 = II Z = k ( Z ) + =,5( ) =,5 + + I in II =,5( ) + + = Gleichung des Trägergraphen: = (,5) +,5 S(,5,5)